Lineární algebra 2 (NMAI058) - přednáška

---

Hlavní stránka

Přednáška probíhá každé pondělí v 10:40 v místnosti N1.

Přednášku povede Martin Balko. E-mail přednášejícího: balko (AT) kam.mff.cuni.cz

Stránky cvičení k této paralelce:

• pondělí 9:00, N3 (Martin Černý, Nikola Kalábová),
• úterý 14:00, N2 (Ondřej Pangrác),
• úterý 15:40, N2 (Ondřej Pangrác),
• středa 10:40, N7 (Jiří Šejnoha),
• středa 12:20, N6 (Michaela Seifrtová),
• středa 14:00, N4 (Martin Mareš),
• čtvrtek 14:00, N4 (Jan Bok),
• pátek 10:40, N2 (Ondřej Pangrác),

Informace:	nahoru

• 2/2, Z+Zk, 5 kreditů.
• Anotace:
  • Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, aplikace lineární algebry.
• Zkouška:
  • Přihlašování pomocí SISu, termíny tamtéž. Zkouška má dvě části: písemnou a ústní. Písemná část obsahuje příklady, definice, formulaci tvrzení a důkazy. Čas na zpracování písemné části je zhruba 2 hodiny. Po opravení písemné části následuje u vybraných případů (nerozhodná známka či šance na opravu) ústní část. Ta začíná náhodným výběrem jednoho z témat. Diskuse nad tématem je iterativní proces, zkoušející typicky klade doplňující otázky. Správné zpracování vylosovaného tématu zahrnuje: definování příslušných pojmů, formulace souvisejících tvrzení, alespoň jeden netriviální důkaz a také uvedení souvislostí s ostatními pojmy a výsledky. Řada témat je totiž průřezová! Přehled zkouškových témat: [PDF]
  • Hlaste se přednostně na dřívější termíny, aby vám zbyly volné termíny na případné opravy.
• V případě zájmu o konzultace mi dejte vědět například e-mailem a domluvíme se.
• Seznam literatury:
  • Milan Hladík: Lineární algebra (nejen) pro informatiky, Matfyzpress 2007. [link]
  • Další literatura:
    • Libor Barto a Jiří Tůma: Lineární algebra, elektronická skripta. [PDF]
    • Ladislav Bican: Lineární algebra a geometrie, 2000.
    • Jindřich Bečvář: Lineární algebra, 2005.
    • Jiří Rohn: Lineární algebra a optimalizace, 2004. [PDF, slajdy]
• Sbírky úloh k procvičení:
  • Milan Hladík: Vzorové cvičení z lineární algebry, 2020. [PDF]
  • Jiří Fiala: elektronická sbírka úloh. [link]
  • Karel Výborný a Miloš Zahradník: Používáme lineární algebru, 2011. [link]

Jednotlivé přednášky:	nahoru

• První přednáška (14.2.2022):
  • Prostory se skalárním součinem: definice, příklady, [skripta: sekce 8.1]
  • norma indukovaná skalárním součinem a norma obecně, [skripta: sekce 8.1]
  • Pythagorova věta, [skripta: sekce 8.1]
  • Cauchyho–Schwarzova nerovnost a trojúhelníková nerovnost, [skripta: sekce 8.1]
  • metrika: definice, přiklady a aplikace, [skripta: sekce 8.1]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF].
• Druhá přednáška (21.2.2022):
  • Ortogonální a ortonormální systémy, [skripta: sekce 8.2]
  • Fourierovy koeficienty, [skripta: sekce 8.2]
  • Gramova–Schmidtova ortogonalizace a její důsledky, [skripta: sekce 8.2]
  • vyjádření libovolného skalárního součinu pomocí standardního, [skripta: sekce 8.2]
  • ortogonální doplněk a jeho vlastnosti pro množinu (s náčrtem důkazu) a pro podprostor (bez důkazu), [skripta: sekce 8.3]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF, link, link].
• Třetí přednáška (28.2.2022):
  • Ortogonální doplněk a jeho vlastnosti pro podprostor, [skripta: sekce 8.3]
  • ortogonální projekce a věta o ortogonální projekci, [skripta: sekce 8.4]
  • ortogonální doplněk a projekce pro standardní skalární součin, [skripta: sekce 8.4]
  • vlastnosti matice projekce, [skripta: sekce 8.4]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF].
• Čtvrtá přednáška (4.3.2022):
  • Přednáška proběhla přes Zoom.
  • Ortogonální matice (Householderova, Givensova), jejich charakterizace a vlastnosti, [skripta: sekce 8.6]
  • metoda nejmenších čtverců, [skripta: sekce 8.5]
  • prezentace [PDF].
• Pátá přednáška (14.3.2022):
  • Determinanty, definice a příklady, [skripta: sekce 9.1]
  • řádková linearita, vliv elementárních řádkových úprav, výpočet pomocí REF [skripta: sekce 9.1]
  • kritérium regularity a determinant transponované matice, [skripta: sekce 9.2]
  • multiplikativnost determinantu, [skripta: sekce 9.2]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF].
• Šestá přednáška (21.3.2022):
  • Laplaceův rozvoj determinantu, [skripta: sekce 9.2]
  • Cramerovo pravidlo, [skripta: sekce 9.2]
  • adjungovaná matice, [skripta: sekce 9.3]
  • geometrická interpretace determinantu, [skripta: sekce 9.4]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF].
• Sedmá přednáška (28.3.2022):
  • Vlastní čísla: definice a základní charakterizace, [skripta: sekce 10.0]
  • charakteristický polynom, [skripta: sekce 10.1]
  • vlastní čísla a jejich vlastnosti: součet a součin vlastních čísel, regularita a vlastní čísla, [skripta: sekce 10.1]
  • spektrum matice, matice společnice (zatím jen nastínění, doděláme příště), [skripta: sekce 10.1]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF].
• Osmá přednáška (4.4.2022):
  • Cayleyho–Hamiltonova věta a důsledky, [skripta: sekce 10.2]
  • podobnost matic, [skripta: sekce 10.3]
  • diagonalizovatelnost obecných matic a její charakterizace, postačující podmínka, [skripta: sekce 10.3]
  • vlastní vektory různých vlastních čísel, [skripta: sekce 10.3]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF].
• Devátá přednáška (11.4.2022):
  • Jordanova normální forma matice (bez důkazu) a důsledky, [skripta: sekce 10.4]
  • symetrické matice: reálná vlastní čísla, [skripta: sekce 10.5]
  • symetrické matice: diagonalizovatelnost (spektrální rozklad pomocí ortogonální matice), [skripta: sekce 10.5]
  • mocninná metoda (náčrt), [skripta: sekce 10.7]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF, link].
• Desátá přednáška (18.4.2022):
  • Přednáška se nekoná (Velikonoce).
• Jedenáctá přednáška (25.4.2022):
  • Pozitivně (semi-)definitní matice, definice a základní vlastnosti, [skripta: sekce 11]
  • charakterizace pozitivně (semi-)definitních matic, [skripta: sekce 11]
  • testování pozitivně (semi-)definitních matic, rekurentní vzoreček (důkaz se nebude zkoušet), [skripta: sekce 11.1]
  • testování pozitivní definitnosti pomocí Gaussovy metody, [skripta: sekce 11.1]
  • Sylvesterovo kritérium pro pozitivně definitní matice, [skripta: sekce 11.1]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF].
• Dvanáctá přednáška (2.5.2022):
  • Sylvesterovo kritérium pro pozitivně semidefinitní matice, [skripta: sekce 11]
  • Choleského rozklad znění s důkazem, pseudokód, [skripta: sekce 11]
  • aplikace pozitivně definitních matic: skalární součiny, [skripta: sekce 11.2]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF].
• Třináctá přednáška (9.5.2022):
  • Bilineární formy, definice a příklady, [skripta: sekce 12.1]
  • matice formy vzhledem k bázi, maticové vyjádření forem a jejich chování při změně báze, [skripta: sekce 12.1]
  • kvadratické formy, definice a příklady, [skripta: sekce 12.1]
  • Sylvesterův zákon o setrvačnosti (zatím jen znění), [skripta: sekce 12.2]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF].
• Čtrnáctá přednáška (16.5.2022):
  • Sylvesterův zákon o setrvačnosti s důkazem, [skripta: sekce 12.2]
  • důsledky Sylvesterova zákonu o setrvačnosti, [skripta: sekce 12.2]
  • kvadriky a transformace kvadrik (nebude se zkoušet), [skripta: sekce 12.2]
  • zápisky [PDF] a prezentace [PDF].