NMAI057 cvičení Lineární algebry 1. cvičí Mgr. Jiří Šejnoha; školní rok 2019/2020

cvičení se konají v pondělí v 10:40-12:10 v učebně S1 v budově na Malostranském náměstí

cvičení lineární algebry

probrané učivo

pondělí 10:40

  • 1. hodina - 7.10. 2019: Podmínky zápočtu, literatura. Plán cvičení. Lehké představení látky zimního semestru.
    Soustavy reálných lineárních rovnic: definice, co znamená lineární rovnice a kde se berou, co znamená řešit rovnici a co řešit soustavu rovnic, příklady, řešení soustavy lineárních rovnic - (ne)jednoznačnost řešení či jeho neexistence. Geometrická řádková interpretace řešení SLR - řádková interpretace. Matice: definice, vektor, typ matice, matice vs. reálná matice. Maticový zápis soustavy lineárních rovnic.
    • Domácí úkol není zadán. Zato Vás příště čeká první malý test na cvičení.
  • 2. hodina - TEST 1.0 - 14. 10. 2019: Pohádka: vaření čaje. Gaussova eliminace = převod matice do odstupňovaného tvaru + zpětná substituce. Řádkové úpravy matice - včetně legálních. REF a RREF definice. Struktura definic. Gaussova eliminace algoritmus a příklady: s jedním řešením, nemající řešení a mnoho/nekonečno řešení (vyparametrizování). Hodnost matice. Vztah hodnosti matice a počtu řešení - Frobeniova věta. Opakování řádkové interpretace řešení SLR a sloupcová interpretace řešení SLR. Dokončena kapitola skript: Soustavy lineárních rovnic.
  • 3. hodina - TEST 1.1 - 21. 10. 2019: Řešení příkladů z písemky. Matice a operace s maticemi - idea: po prvcích. Maticové násobení - definice, výpočet, mnemotechnická pomůcka výpočet „křížem“. Vlastnosti maticového násobemí - zejména nekomutativita maticového násobení. Násobení matice vektorem z prava jako sloupcový selektor a násobení matice vektorem z leva jako řádkový selektor. Matice elementárních řákových úprav. Reprezentace SLR pomocí maticového násobení Ax=b a sloupcová interpretace řešení SLR při zápisu Ax=b.
  • 4. hodina - TEST 2. - 4. 11. 2019: Homogenní reálná SLR a její řešení - právě jedno a to nulový vektor a nebo nekonečno včetně nulového vektoru. Regulární, singulární a kouzelná matice: definice, příklady, ověření regularity. Inverní matice: definice, jednotková matice, výpočet inverzních matic - Gauss-Jordanova elimanace, intuitivně inverzní matice jako inverzní rozbrazení (existuje-li) pro zobrazení: x -> Ax čili x -> b. Řešení SLR Ax=b pomocí inverzní matice - hledání vzoru. Vlastnosti inverzních matic. Maximální počet získatelných bodů za domácí úkoli je 7.
    • Domácí úkol č. 2.0 termín odevzdání do 18. 11. na cvičení
    • Domácí úkol č. 2.1 termín odevzdání do 18. 11. na cvičení
    • Byť jsou zadány dva soubory, jedná se o jeden zadaný úkol. Jen máte více příkladů, které můžete spočítat (jak za domácí úkol, tak třeba cvičně). Maximální počet získatelných bodů úkolu je 7, nezávisle na tom, kolik a za kolik bodů spočítáte a odvzdáte.
  • 5. hodina - 11. 11. 2019 Matematické objekty zadané: a) konkrétně - konstrukcí, b) abstraktně - vlastnostmi. Grupy: rozebrání definice (relace vs. zobrazení vs. operace), axiomy. Příklad diherální grupy D3 - ověření axiomů, uzavřenosti, multiplikativní tabulka, nekomutativita operace grupy: "počítání s něčím jiným nežli s čísly", téměř Cayleyho graf. Pojetí: množina + struktura (co je to ta struktura na množině?). Operace nejen binární (ternální, obecně n-arní, unární, nulární,), arita. Algebraizace a algebry.
  • 6. hodina - TEST 3. - 18. 11. 2019: Opakování grup a algeber. Definice podobjektu resp. podgrupy. Podrupy dihedrální grupy D3. Homomorfismus algeber. Symetrická grupa vládne všem. Těleso: definice, těleso jako zobecnění reálních čísel s operacemi i jako algebra. Konečné Zn těleso. Počítání v Zn řešení SLR pomocí GE.
  • 7. hodina - 25. 11. 2019: Výpočet pomocí inverzní matice příště v Zn. Zn je těleso právě tehdy když n je prvočíslo. Pohádka Barometr. Příklad řešitelnosti konkrétní SLR v různých tělesech. Malá fermatova věta: znění a příklady na: a) výpočet velké mocniny a b) výpočet inverzního prvku.
  • 8. hodina - TEST 4. - 2. 12. 2019: Vektorové prostory: definice, příklady, konkrétní vektorový prostor aritmetických vektorů na tělesem reálných čísel vs. abstraktní definice. Vektorový podprostor a podstruktura. Věta: průnik VP je VP včetně důkazu - co ověřujeme u VP? Lineární obal přes průnik podprostorů. Různé typy lineárních obalu v závislosti na různých typech generátorů.
  • 9. hodina - 9. 12. 2019: Lineární kombinace. Lineární obal defeinovaný pomocí lineární kombinace a ekvivalence definice s definicí za využítí průniku podprostorů. Příklady na vektorové prostory: vyjádření vektorů lineární kombinací na množině generátorů: mající jedno řešení, mající nekonečně řešení, nemající řešení. Lineární nezávislost vektoru na množině vektorů a nezávislost množiny vektorů; vztah nezávislosti množiny vektorů a řešení homogenní SLR. Zadání domácího úkolu typu diagram.
  • 10. hodina - TEST 5. - 16. 12. 2019:
  • 11. hodina - 6. 1. 2019:

počty získaných bodů

pondělí 10:40

Protože jste někteří z Vás napsali jako přezdívku Vaše jméno nebo jeho část, nepsal jsem ji do tabulky. Pro jistotu si přezdívku ještě od Vás nechám potvrdit do příští písemky popř. ji můžete změnit, díky.

podmínky udělení zápočtu

hlavní princip - zápočet je udělen studentovi/studentce, který/á přesvědčí, že probírané látce rozumí (zná ji i vyzná se v ní) - teoreticky i prakticky

standardní způsob získání zápočtu je uveden níže. Jen ve velmi rozumných a odůvodněných případech (nemoc, apod.) lze získat zápočet jiným, nežli standardním způsobem - princip, že student musí přesvědčit, že probírané látce rozumí, zůstává zachován

podmínky standardního získání zápočtu:

  1. získat alespoň 60% bodů za písemné práce, které jsou psány na začátku hodiny jedenkráte za 2 cvičení. začíná se na 2. cvičení a následně pravidelně ob jedno cvičení. Na posledním cvičení se test nepíše
    • písemná práce se skládá z:
      1. teoretické/teoretických otázky/otázek (typicky definice či věta) z odpřednesených přednášek (nemusí být probrány na cvičení)
      2. kombinace lehčích a středně těžkých příkladů (již procvičené či blízké odcvičeným na cvičení)
    • každá písemná práce je na maximálně 7 bodů
  2. získat alespoň 60% bodů za domácí úkoly
    • domácí úkoly jsou zpravidla početní či teoretické příklady
    • termín odevzádní domácích úkolů je specifikován při zadání domácího úkolu
    • domácí úkoly lze odevzdávat průběžně a každém cvičení na papíře (preferuji)
      • v rozumných případech emailem:
        • ve formátu:
          • v případě scanu: jpg, png
          • v případě textu: docx, odt či pdf
        • soubory musí být pojmenované ve formátu "NMAI057_LA1_2019_2020_DU_<identifikace domácího úkolu>_<příjmení studenta>_<jméno studenta>"; např. "NMAI057_LA1_2019_2020_DU_1.1_Novák_Jan.jpg"
    • odevzdaný domácí úkol musí být (jinak nebude akceptován):
      • čitelný
      • rozumně strukturovaný
      • uvedenou identifikací studenta, domácího úkolu a data vypracování
      • každý domácí úkol musí být vypracovaný a odevzdaný na separátní papír formátu A4; (špatné skeny, typicky telefonem: velký kontrast, zašuměné pozadí apod. neakceptuji; doporučení: pokud budete domácí úkol fotit/skenovat pište na čistý bílý papír bez vzoru např. bez čtverečkovaný), jinak nebude akceptován - je to kvůli povinnému uchovávání materiálů, za základě kterých bylo provedeno hodnocení studenta
    • svůj postup úvah a výpočtu komentujte a vysvětlujte - cílem domácího úkolu není spočítat zadaný příklad, primárně je cílem se naučit a procvičit danou látku a sekundárně mě přesvědčit, že zadanému tématu rozumíte pro udělení zápočtu
    • domácí úkol nemusí být jasně zadaný numerický úkol ale i úkol typu „zpracujte danou úlohu“, přičemž Vaším řešením bude řada podložených úvah na dané téma, (nikoliv plné řešení problému či plky); neboť problém může být značně komplexní
    • každý domácí úkol je na maximálně 7 bodů, ale odevzdat můžeze domácí úkoly i za více bodů (aby jste si látku více procvičili; pro sichr, abyste měli body), pokud v součtu získaných bodů překročíte hranici 7 bodů získáte maximálně 7 bodů; v bodování budu preferovat řádně dopočítaný příklad oproti více rozpočítaným a nedopočítaným příkladům
  3. splnit dva povinné domácí úkoly:
    1. domácí úkol strukturální diagram
      • formou strukturálního diagramu zpracujete jednu z kapitol: a) vektorové prostory a blízké či b) lineární zobrazení a blízké
      • termín odevzdání diagramu je až budete chtít zápočet ale ne déle, nežli do začátku letního semestru (v rozumných případech je po předchozí domluvě možno odevzdat i déle)
      • diagram vypracujte v programu Orgpad nová (pracovní) verze Orgpadu zde (doporučení: nejprve si zkuste save/load, nežli začnete něco dělat a práci si často průběžně zálohujte a zkuste si zálohu obnovit)
      • pouze v případě, že byste si s programem zásadně nerozuměly - můžete, po vzájmené domluvě se mnou, diagram zpracovat i na papír - velikosti minimálně A3
      • bez předchozí domluvy jiný formát či sw neakceptuji
      • Template Orgpadu
    2. domácí úkol článek
      • v průběhu semestru bude na cvičení odkázán a stránce cvičení zveřejněn článek/video na téma okolo matematiky/výuky/vzdělání a Vašim úkolem bude napsat na článek poučení (preferuji) (rozmyslete si, jak se liší poučení od úvahy, eseje apod.) či úvahy (když poučení nepůjde).
      • článek odevzdejte v digitální formě; v jednom z formátů: docx, odt
      • Váš text musí mít v textu uvedenou identifikací studenta, domácího úkolu a data vypracování
      • soubor musí být pojmenovan ve formátu "NMAI057_LA1_2019_2020_DU_článek_<příjmení studenta>_<jméno studenta>_<název článku>"; např. "NMAI058_LA1_2019_2020_DU_článek_Novák_Jan_Botlík.odt"

při nedostatku bodů ze cvičení

  • je možno si nahradit dvě písemné práce, které jste nepsali, nebo ty, z kterých máte nejméně bodů
  • v případě více nepsaných prací nebo rovnosti bodů více psaných prací vyberu práci/probíranou látku, která bude nahrazena
  • nahrazování probíhá v zápočtovém týdnu či ve zkouškovém období, výjimečně po vzájemné domluvě během semestru (termín ve zkouškovém období nedoporučuji, věnujte čas raději přípravám na zkoušky)
  • pokud i tak budete mít nedostatek bodů (za písemky i za domácí úkoly); dostanete náhradní domácí úkoly, které však budete muset osobně předvést/vysvětlit a to včetně teorie; takto získané body budou obtížněji získatelné, nežli standardním způsobem; berte prosím v potaz, že cvičící nemusí být vždy přítomen; rozumně rychlou odezvu čekejte pouze ve zkouškovém období

literatura