NMAI058 cvičení Lineární algebry 2; cvičí Mgr. Jiří Šejnoha; školní rok 2021/2022 letní semestr

cvičení lineární algebry

probrané učivo

středa 10:40

  • 1. hodina - 16. 02.2022: Definice axiomatické a konkrétní. Vektorový prostor jako algebra; množina a struktura. Rozšíření struktury vektorového prostoru o skalární součin, možnost měřit velikosti vektorů - opravdu jsme si tak představovali vektorový prostor?
    • Domácí úkol není zadán.
  • 2. hodina - 23. 02. 2022: Forma definic. Skalární součin: definice reálná i komplexní. Příklady skalárních součinů - standardní i nestandardní. Norma: definice a příklady norem (p normy a norma indukovaná skalárním součinem). Příklady na skalární součin a normy.
  • 3. hodina - 02. 03.2022: Jednotková kružnice pro různé p-normy. Vylepšení báze vektorového prostoru: ortogonální a ortonormální báze a co tím získáme. Gram-Schmidtova ortogonalizace: princip (induktivní nakolmování vektorů odečtem ortogonální projekce - "toho, co lze z nakolmonovaného vektoru vyjádřit" již nakolmenými vektory) - výpočet dle „Zahradníka“ (z definice a geometricky) a výpočet dle algoritmu ze skript s využitím fourierových koeficientů. Souřadnice vektoru vůči ortonotmální bázi skalárním součinem (fourierův koeficient). Kolmost.
  • 4. hodina - 09. 03. 2022: Vzdálenost bodu od roviny (použití ortogonální projekce). Gram-Schmidtova ortogonalizace LZ závislé množiny (pro "Z" algoritmus a pro algoritmus ze skript). Ortogonální doplněk: definice, vlastnosti ortogonálního doplňku množiny a prostoru. Výpočet ortogonáního doplňku přes ortogonální bázi a přes jádro matice. Vztah jádra matice a ortogonálního doplňku. Kolmost fundamentálních prostorů matice (R(A) vs Ker(A) a S(A) vs levý Kernel). Ortogonální projekce definice.
  • 5. hodina - 16. 03. 2022: Ortogonální projekce: vztah minimality a kolmosti. Vypočet ortogonální projekce: a) přes ortonormální bázi za pomocí fourierových koeficientů; b) maticí projekce do sloupcového prostoru. Odvození matice projekce a její geometrický pohled dle Stranga. Metoda nejmenších čtverců a jejíc vztah k projekci: SLR Ax=b má řešení právě tehdy když b náleží S(A). Ale co když b nenáleží S(A)? Hledáme "nejlepší" možné b', co znamená nejlepší možné? - minimalita vzhledem k normě e-rror vektoru. Příklad na matici projekce.
  • 6. hodina - 23. 03. 2022: Permutace: definice, metody zápisu, znaménko permutace a jeho vlastnosti. Determinant: definice, interpretace determinantu jako charakterizace matice. Výpočty determinantů z definice. Metody výpočtu pro malé matice (typu 2x2 a 3x3) a speciální matice např. diagonální, trojúhelníkové matice, výběr jediné nenulové permutace. Výpočet determinantu matice převodem na REF tvar matice a vliv elementárních řádkových úprav na hodnotu determinantu. Hodnota determinantu a regularita matice. Multiplikativnost determinantu. Cramerovo pravidlo (včetně geometrické interpretace). Determinant jako zobecněný objem (roznoběžnostěnu i změna objemu lineárním rozbrazením).
  • 7. hodina - 30. 03. 2022: Pokračování determinantu - Cramerovo pravidlo a jeho důkaz včetně geometrické intuice. La Placeho rozvoj determinátu podle řádku a sloupce. Adjungovaná matice a výpočet inverzní matice - důkaz: multi La Place; celočiselný inverz matice a determinant.
  • 8. hodina - 06. 04. 2022: Pokračování determinantu - příklady a vysvětlení: rozvoj podle řádku/sloupce. La Place. Adjungovaná, inverzní a celočíselná inverzní matice. Vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory. Definice. Geometrická interpretace a rozdíl mezi škálováním v tělese reálných a komplexních čísel. Způsob výpočtu vlastních čísel a proč se nevyhneme tělesu komplexních čísel. Výpočty vlastních čísel a příslušných vlastních vektorů, charakteristický polynom, určení algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Matice společnice.
  • 9. hodina - 13. 04. 2022: Diagonalizace matice - pohled lineárního zobrazení a geometrická interpretace: "zjednodušit" LZ v maticové reprezentaci/"vidět do LZ" volbou vhodné báze. Podmínky diagonalizace: ekvivaletní podmínka (n LN VLV) a implikace (n různých VLČ).
  • 10. hodina - 20. 04. 2022: Jordanova forma a nediagonalizovatelné matice. Mocnina matice a maticové procesy. Symetrické matice, rozklady symetrických matice a reálná VLČ. Pokračování příkladů.
  • 11. hodina - 27. 04. 2022: Výpočty VLČ a VLV - mocniná metoda a graf konvergence. Geshgorinovi disky a diagonálně dominantní matice. Pokračování příkladů-
  • 12. hodina - 04. 05. 2022: Pozitivní (semi)definitnost: definice, motivace (zobecněné kvadratické rovnice, energie systému, Hessián, lehce skalární součiny, maticové hry dvou hráčů), zesymestrizování matice, převod matice na analytickou formu, kriteria a příklady testování PD: vlastní čísla, Choleského rozklad, rekuretní vzorec, GE, Sylvestrovo kritérium. Třída matic zobrazující daný vektor na danou hodnotu.
  • 13. hodina - 11. 05. 2022:

počty získaných bodů

podmínky udělení zápočtu

hlavní princip získání zápočtu

  • zápočet je udělen studentovi/studentce, který/á mě přesvědčí, že probírané látce rozumí (zná ji i vyzná se v ní) - teoreticky i prakticky
  • standardní způsob získání zápočtu je uveden níže. Jen ve velmi rozumných a odůvodněných případech (nemoc, apod.) lze získat zápočet jiným, nežli standardním způsobem - princip, že student musí přesvědčit, že probírané látce rozumí, zůstává zachován

podmínky standardního získání zápočtu

  1. získat alespoň 60% bodů za domácí úkoly, přičemž každý úkol musí být splněn alespoň na 3b ze 7b
  2. získat alespoň 60% bodů za písemné práce, které jsou psány na začátku hodiny jedenkráte za dvě cvičení
  3. splnit domácí úkol typu strukturální diagram

pokyny pro vypracování domácích úkolů

  • získat alespoň 60% bodů ze zadaných domácích úkolů
  • přičemž každý úkol musí být splněn alespoň na 3b ze 7b
  • za každou série domácích úkolů je možno získat maximálně 7 bodů (nebude-li u úkolu explicitně uvedeno jinak), i když bude zadáno více příkladů; aby byl konkrétní příklad započítán, musí být splněn alespoň z poloviny
  • domácí úkol odevzdaný po termínu nebude akceptován
  • termín odevzdání domácích úkolů je specifikován při zadání domácího úkolu
  • odevzdaný domácí úkol musí být (jinak nebude akceptován):
    • čitelný
    • rozumně strukturovaný
    • uvedenou identifikací studenta, domácího úkolu a data vypracování
    • každý domácí úkol musí být vypracovaný a odevzdaný na separátní bílý papír formátu A4; (špatné skeny, typicky telefonem: velký kontrast, zašuměné pozadí apod. neakceptuji)
  • svůj postup úvah a výpočtu komentujte a vysvětlujte - primárním cílem domácího úkolu není spočítat zadaný příklad; primárním cílem je se naučit a procvičit danou látku a sekundárně mě přesvědčit, že zadanému tématu rozumíte pro udělení zápočtu
  • domácí úkoly jsou zpravidla početní či teoretické příklady
  • domácí úkol nemusí být jasně zadaný numerický úkol ale i úkol typu „zpracujte danou úlohu“, přičemž Vaším řešením bude řada podložených a argumentovaných úvah otázek na dané téma; neboť problém může být značně komplexní a i dobré dílčí řešení je dobrý výsledek
  • odevzdávejte před Owl token: d2e61167945d
  • soubor musí být pojmenovaný ve formátu "NMAI058_LA2_2021_2022_DU_<identifikace domácího úkolu>_<příjmení studenta>_<jméno studenta>"; např. "NMAI058_LA2_2021_2022_DU_1.1_Novák_Jan.pdf"

pokyny pro vypracování domácího úkolu typu strukturální diagram

  • formou strukturálního diagramu zpracujete jednu z kapitol: a) skalární součin a blízké či b) vlastní čísla a blízké
  • termín odevzdání strukturálního diagramu je do konce výukového období (tj. období končící začátkem zkouškového období) a minimálně 5 pracovních dní před Vaším požadavkem na zápočet zápočet (v rozumných případech je po předchozí domluvě možno odevzdat i déle)
  • je možno poslat ke konzultaci přeběžnou verzi
  • podrobnosti zadání budou uvedeny během semestru

při nedostatku bodů ze cvičení

za přůběžné písemné práce

  • je možno si nahradit dvě písemné práce, které jste nepsali, nebo ty, z kterých máte nejméně bodů
  • v případě více nepsaných prací nebo rovnosti bodů více psaných prací vyberu práci/probíranou látku, která bude nahrazena
  • nahrazování probíhá v zápočtovém týdnu či ve zkouškovém období (termín ve zkouškovém období nedoporučuji, věnujte čas raději přípravám na zkoušky)

jiné případy

  • pokud i tak budete mít nedostatek bodů (za písemné práce či za domácí úkoly); dostanete náhradní domácí úkoly, které však budete muset osobně předvést/vysvětlit a to včetně teorie; takto získané body budou obtížněji získatelné, nežli body získané standardním způsobem; berte prosím v potaz, že cvičící nemusí být vždy přítomen; rozumně rychlou odezvu lze garantovat v semestru a ve zkouškovém období

literatura