NMAI058 cvičení Lineární algebry II. cvičí Mgr. Jiří Šejnoha; školní rok 2018/2019

cvičení se konají v pondělí v 12:20-13:50 v učebně T10 Trojské budově
a v úterý 12:20-13:50 v S1 v budově na Malostranském náměstí

cvičení lineární algebry

probrané učivo

pondělí 12:20

  • 1. hodina - 18.2. 10. 2019: (cvičení se konalo ještě před první přednáškou) Podmínky zápočtu, literatura. Plán cvičení. Lehké představení látky letního semestru.
    • Domácí úkol není zadán. Zato Vás příště čeká první malý test na cvičení.
  • 2. hodina - TEST - 25. 2. 2019: Definice axiomaticky a konkrétní. Rozšíření struktury vektorového prostoru a možnost měřit velikosti vektorů - opravdu jsme si tak představovali vektorový prostor? Skalární součin: definice reálná i komplexní. Příklady skalárních součinů - standardní i nestandardní. Norma: definice a příklady norem (p normy a norma indukovaná skalárním součinem). Jednotková kružnice podle různých (euklidovská, maximová a součtová) norem. Kolmost. Důkaz Cauchy–Schwarzovy nerovnosti s využitím projekce.
  • 3. hodina - 4. 3. 2019: Vylepšení báze: ortogonální a ortonormální a co tím získáme. Gram-Schmidtova ortogonalizace: princip (induktivní nakolmování vektorů odečtem ortogonální projekce "toho, co lze vyjádřit již nakolmenými vektory") - výpočet z definice (geometricky).
  • 4. hodina - TEST se nepsal - 11. 3. 2019: Gram-Schmidtova ortogonalizace: výpočet dle algoritmu ze skript s využitím fourierových koeficientů. Fourierovy koeficienty. Ortogonalice lineárně závislého vektoru. Vztah ortogonality a lineární nezávislosti vektorů, probrání důkazu.
  • 5. hodina - 18. 3. 2019: Ortogonální projekce, definice. Vztah minimality a kolmosti. Vypočet ortogonální projekce: a) přes ortonormální bázi za pomocí fourierových koeficientů; b) maticí projekce do sloupcového prostoru. Odvození matice projekce a její geometrický pohled dle Stranga. Metoda nejmenších čtverců a jejíc vztah k projekci: SLR Ax=b má řešení právě tehdy když b náleží S(A). Ale co když b nenáleží S(A)? Hledáme "nejlepší" možné b', co znamená nejlepší možné - minimalita vzhledem k normě e-rror vektoru. Příklad na matici projekce.
  • 6. hodina - TEST - 25. 3. 2019: Ortogonální doplněk: definice, vlastnosti ortogonálního doplňku množiny a prostoru. Výpočet ortogonáního doplňku přes ortogonální bázi a přes jádro matice. Vztah jádra matice a ortogonálního doplňku. Kolmost fundamentálních prostorů matice (R(A) vs Ker(A) a S(A) vs levý Kernel). Za domácí úkoly lze získat maximálně v součtu 7b.
  • 7. hodina - 1. 4. 2019: Permutace: definice, metody zápisu, znaménko permutace a jeho vlastnosti. Determinant: definice, interpretace determinantu jako charakterizace matice. Výpočty determinantů z definice. Determinant transponované a inverzní matice. Řádková linearita determinantu. Metody výpočtu pro malé matice (typu 2x2 a 3x3) a speciální matice např. diagonílní či trojúhelníkové matice. Výpočet determinantu matice převodem na REF tvar matice a vliv elementárních řádkových úprav na hodnotu determinantu. Multiplikativnost determinantu. Hodnota determinantu a regularita matice.
  • 8. hodina - 8. 4. 2019: Pokračování determinantu - příklady a vysvětlení: rozvoj podle řádku/sloupce, Cramerovo pravidlo (včetně geometrické interpretace), determinant jako zobecněný objem (roznoběžnostěnu i změna objemu lineárním rozbrazením). Za domácí úkoly lze získat maximálně v součtu 7b.
  • 9. hodina - TEST - 15. 4. 2019: Vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory. Definice. Geometrická interpretace a rozdíl mezi škálováním v tělese reálných a komplexních čísel. Způsob výpočtu vlastních čísel a proč se nevyhneme tělesu komplexních čísel. Výpočty vlastních čísel a příslušných vlastních vektorů, charakteristický polynom, určení algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Matice společnice. Diagonalizace matice - pohled lineárního zobrazení a gemetrická interpretace: "zjednodušit" LZ v maticové reprezentaci/"vidět do LZ" volbou vhodné báze. Podmínky diagonalizace: ekvivaletní podmínka (n LN VLV) a implikace (n různých VLČ).
  • 10. hodina - 22. 4. 2019: Hodina se nekonala - Velkonoční pondělí.
  • 11. hodina - TEST - 29. 4. 2019: Dokončení kapitoly vlastních čísel: symetrické matice - spektrální rozklady (definice a jejich rozklady) a reálná vlastní čísla. Markovovské procesesy/matice. Výpočet vlastních čísel mocninou metodou (rozdíl mezi přímými a iterativními metodami výpočtu) a Geshgorinovi disky.
      Domácí úkol typ článek:
    • TEDxBrno video „Ještě že děti neučí mluvit škola!“ od Oldřicha Botlíka (mimochodem matfyzák)
    • kapitola „Intuice a Logika v Matematice“ z knihy Číslo – prostor – čas od Henriho Poincarého (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
    • TEDxPrague video „Jak se z touhy učit se stane sběratelství známek“ od Jany Nováčkové (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
    • článek „All the Math Taught at University Can Be Outsourced. What Now?“ od Dr. Keitha Devlina, Stanford University
  • 12. hodina - 6. 5. 2019: Pozitivní definitnost a semidefinitnost: definice a ekvivaletní podmínky. Metody testování pozitivní definitnosti a semidefinitnosti. Cholského rozklad. Nestandardní skalární součiny a jejich charakterizace - umíme je popsat všechny; "všechny skalární součiny jsou si rovny až na změnu báze".
  • 13. hodina - TEST - 13. 5. 2019:
  • 14. hodina - 20. 5. 2019:

úterý 12:20

  • 1. hodina - 19.2. 10. 2019: (cvičení se konalo ještě před první přednáškou) Podmínky zápočtu, literatura. Plán cvičení. Lehké představení látky letního semestru.
    • Domácí úkol není zadán. Zato Vás příště čeká první malý test na cvičení.
  • 2. hodina - TEST - 26. 2. 2019: Definice axiomaticky a konkrétní. Rozšíření struktury vektorového prostoru a možnost měřit velikosti vektorů - opravdu jsme si tak představovali vektorový prostor? Skalární součin: definice reálná i komplexní. Příklady skalárních součinů - standardní i nestandardní. Norma: definice a příklady norem (p normy a norma indukovaná skalárním součinem). Jednotková kružnice podle různých (euklidovská, maximová a součtová) norem. Kolmost. Důkaz Cauchy–Schwarzovy nerovnosti s využitím projekce.
  • 3. hodina - 5. 3. 2019: Hodina se nekonala pro neúčast studentů (měli laborka).
  • 4. hodina - TEST se nepsal - 12. 3. 2019: Vylepšení báze: ortogonální a ortonormální a co tím získáme. Gram-Schmidtova ortogonalizace: princip (induktivní nakolmování vektorů odečtem ortogonální projekce "toho, co lze vyjádřit již nakolmenými vektory") - výpočet z definice (geometricky). Gram-Schmidtova ortogonalizace: výpočet dle algoritmu ze skript s využitím fourierových koeficientů. Fourierovy koeficienty. Ortogonalice lineárně závislého vektoru. Vztah ortogonality a lineární nezávislosti vektorů, probrání důkazu.
  • 5. hodina - 19. 3. 2019: Ortogonální projekce, definice. Vztah minimality a kolmosti. Vypočet ortogonální projekce: a) přes ortonormální bázi za pomocí fourierových koeficientů; b) maticí projekce do sloupcového prostoru. Odvození matice projekce a její geometrický pohled dle Stranga. Metoda nejmenších čtverců a jejíc vztah k projekci: SLR Ax=b má řešení právě tehdy když b náleží S(A). Ale co když b nenáleží S(A)? Hledáme "nejlepší" možné b', co znamená nejlepší možné - minimalita vzhledem k normě e-rror vektoru. Příklad na matici projekce.
  • 6. hodina - TEST - 26. 3. 2019: Ortogonální doplněk: definice, vlastnosti ortogonálního doplňku množiny a prostoru. Výpočet ortogonáního doplňku přes ortogonální bázi a přes jádro matice. Vztah jádra matice a ortogonálního doplňku. Kolmost fundamentálních prostorů matice (R(A) vs Ker(A) a S(A) vs levý Kernel). Za domácí úkoly lze získat maximálně v součtu 7b.
  • 7. hodina - 2. 4. 2019: Permutace: definice, metody zápisu, znaménko permutace a jeho vlastnosti. Determinant: definice, interpretace determinantu jako charakterizace matice. Výpočty determinantů z definice. Determinant transponované a inverzní matice. Řádková linearita determinantu. Metody výpočtu pro malé matice (typu 2x2 a 3x3) a speciální matice např. diagonílní či trojúhelníkové matice. Výpočet determinantu matice převodem na REF tvar matice a vliv elementárních řádkových úprav na hodnotu determinantu. Multiplikativnost determinantu. Hodnota determinantu a regularita matice.
  • 8. hodina - 9. 4. 2019: Hodina se z důvodů nemoci nekonala.
  • 9. hodina - TEST - 16. 4. 2019: Pokračování tereminantu - rozvoj podle řádku/sloupce, Cramerovo pravidlo (včetně geometrické interpretace), determinant jako zobecněný objem (roznoběžnostěnu i změna objemu lineárním rozbrazením). Za domácí úkoly lze získat maximálně v součtu 7b.
  • 10. hodina - 23. 4. 2019: Vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory. Definice. Geometrická interpretace a rozdíl mezi škálováním v tělese reálných a komplexních čísel. Způsob výpočtu vlastních čísel a proč se nevyhneme tělesu komplexních čísel. Výpočty vlastních čísel a příslušných vlastních vektorů, charakteristický polynom, určení algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Matice společnice. Diagonalizace matice - pohled lineárního zobrazení a gemetrická interpretace: "zjednodušit" LZ v maticové reprezentaci/"vidět do LZ" volbou vhodné báze. Podmínky diagonalizace: ekvivaletní podmínka (n LN VLV) a implikace (n různých VLČ).
      Domácí úkol typ článek:
    • TEDxBrno video „Ještě že děti neučí mluvit škola!“ od Oldřicha Botlíka (mimochodem matfyzák)
    • kapitola „Intuice a Logika v Matematice“ z knihy Číslo – prostor – čas od Henriho Poincarého (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
    • TEDxPrague video „Jak se z touhy učit se stane sběratelství známek“ od Jany Nováčkové (v případě, že jste nepsali v zimním semestru)
    • článek „All the Math Taught at University Can Be Outsourced. What Now?“ od Dr. Keitha Devlina, Stanford University
  • 11. hodina - TEST - 30. 4. 2019: Dokončení kapitoly vlastních čísel: symetrické matice - spektrální rozklady (definice a jejich rozklady) a reálná vlastní čísla. Markovovské procesesy/matice. Výpočet vlastních čísel mocninou metodou (rozdíl mezi přímými a iterativními metodami výpočtu) a Geshgorinovi disky.
  • 12. hodina - 7. 5. 2019: Pozitivní definitnost a semidefinitnost: definice a ekvivaletní podmínky. Metody testování pozitivní definitnosti a semidefinitnosti. Cholského rozklad. Nestandardní skalární součiny a jejich charakterizace - umíme je popsat všechny; "všechny skalární součiny jsou si rovny až na změnu báze".
  • 13. hodina - TEST - 14. 5. 2019: - se cvičení nekoná
  • 14. hodina - 21. 5. 2019:

počty získaných bodů

pondělí 12:20

úterý 12:20

podmínky udělení zápočtu

hlavní princip - zápočet je udělen studentovi/studentce, který/á přesvědčí, že probírané látce rozumí (zná ji i vyzná se v ní) - teoreticky i prakticky

standardní způsob získání zápočtu je uveden níže. Jen ve velmi rozumných a odůvodněných případech (nemoc, apod.) lze získat zápočet jiným, nežli standardním způsobem - princip, že student musí přesvědčit, že probírané látce rozumí, zůstává zachován

podmínky standardního získání zápočtu:

  1. získat alespoň 60% bodů za písemné práce, které jsou psány na začátku hodiny jedenkráte za 2 cvičení. začíná se na 2. cvičení a následně pravidelně ob jedno cvičení. Na posledním cvičení se test nepíše
    • písemná práce se skládá z:
      1. teoretické/teoretických otázky/otázek (typicky definice či věta) z odpřednesených přednášek (nemusí být probrány na cvičení)
      2. kombinace lehčích a středně těžkých příkladů (již procvičené či blízké odcvičeným na cvičení)
    • každá písemná práce je na maximálně 7 bodů
  2. získat alespoň 60% bodů za domácí úkoly
    • domácí úkoly jsou zpravidla početní či teoretické příklady
    • termín odevzádní domácích úkolů je specifikován při zadání domácího úkolu
    • domácí úkoly lze odevzdávat průběžně a každém cvičení na papíře (preferuji)
      • v rozumných případech emailem:
        • ve formátu:
          • v případě scanu: jpg, png
          • v případě textu: docx, odt či pdf
        • soubory musí být pojmenované ve formátu "NMAI058_LAII_2018_2019_DU_<identifikace domácího úkolu>_<příjmení studenta>_<jméno studenta>"; např. "NMAI058_LAII_2018_2019_DU_1.1_Novák_Jan.jpg"
    • odevzdaný domácí úkol musí být (jinak nebude akceptován):
      • čitelný
      • rozumně strukturovaný
      • uvedenou identifikací studenta, domácího úkolu a data vypracování
      • každý domácí úkol musí být vypracovaný a odevzdaný na separátní papír formátu A4; (špatné skeny, typicky telefonem: velký kontrast, zašuměné pozadí neakceptuji; doporučení: pokud budete domácí úkol fotit/skenovat pište na čístý bílý papír bez vzoru např. bez čtverečkování), jinak nebude akceptován - je to kvůli povinnému uchovávání materiálů, za zakladě kterých bylo provedeno hodnocení studenta
    • svůj postup úvah a výpočtu komentujte a vysvětlujte - cílem domácího úkolu není spočítat zadaný příklad, primárně je cílem se naučit a procvičit danou látku a sekundárně mě přesvědčit, že zadanému tématu rozumíte pro udělení zápočtu
    • domácí úkol nemusí být jasně zadaný numerický úkol ale i úkol typu „zpracujte danou úlohu“, přičemž Vaším řešením bude řada podložených úvah na dané téma, (nikoliv plné řešení problému či plky); neboť problém může být značně komplexní
    • každý domácí úkol je na maximálně 7 bodů, ale odevzdat můžeze domácí úkoly i za více bodů (aby jste si látku více procvičili; pro sichr, abyste měli body), pokud v součtu získaných bodů překročíte hranici 7 bodů získáte maximálně 7 bodů; v bodování budu preferovat řádně dopočítaný příklad oproti více rozpočítaným a nedopočítaným příkladům
  3. splnit dva povinné domácí úkoly:
    1. domácí úkol strukturální diagram
      • formou strukturálního diagramu zpracujete jednu z kapitol: a) skalární součin a blízké či b) vlastní čísla a blízké
      • termín odevzdání diagramu je až budete chtít zápočet ale ne déle nežli do začátku letního zkouškového období (v rozumných případech je po předchozí domluvě možno odevzdat i déle)
      • diagram vypracujte v programu Orgpad (doporučení: nejprve si zkuste save/load, nežli začnete něco dělat a práci si často průběžně zálohujte a zkuste si zálohu obnovit)
      • pouze v případě, že byste si s programem zásadně nerozuměly - můžete po vzájmené domluvě se mnou diagram zpracovat i na papír - velikosti minimálně A3
      • bez předchozí domluvy jiný formát či sw neakceptuji
    2. domácí úkol článek
      • v průběhu semestru bude na cvičení odkázán a stránce cvičení zveřejněn článek/video na téma okolo matematiky/výuky/vzdělání a Vašim úkolem bude napsat na článek poučení (preferuji) (rozmyslete si, jak se liší poučení od úvahy, eseje apod.) či úvahy (když poučení nepůjde).
      • článek odevzdejte v digitální formě; v jednom z formátů: docx, odt
      • Váš text musí mít v textu uvedenou identifikací studenta, domácího úkolu a data vypracování
      • soubor musí být pojmenovan ve formátu "NMAI058_LAII_2018_2019_DU_článek_<příjmení studenta>_<jméno studenta>_<název článku>"; např. "NMAI058_LAII_2018_2019_DU_článek_Novák_Jan_Botlík.odt"

při nedostatku bodů ze cvičení

  • je možno si nahradit dvě písemné práce, které jste nepsali, nebo ty, z kterých máte nejméně bodů
  • v případě více nepsaných prací nebo rovnosti bodů více psaných prací vyberu práci/probíranou látku, která bude nahrazena
  • nahrazování probíhá v zápočtovém týdnu či ve zkouškovém období, výjimečně po vzájemné domluvě během semestru (termín ve zkouškovém období nedoporučuji, věnujte čas raději přípravám na zkoušky)
  • pokud i tak budete mít nedostatek bodů (za písemky i za domácí úkoly); dostanete náhradní domácí úkoly, které však budete muset osobně předvést/vysvětlit a to včetně teorie; takto získané body budou obtížněji získatelné, nežli standardním způsobem; berte prosím v potaz, že cvičící nemusí být vždy přítomen; rozumně rychlou odezvu čekejte pouze ve zkouškovém období

literatura