Lineární algebra 2, přednáška

NMAI058 Lineární algebra 2

Letní semestr 2023/24

Pondělí 9:00 - 10:30, Troja, učebna N1

Konzultační hodiny: Úterý 10:40 - 11:40, Malá Strana, pracovna 225 na KAM, nebo dle domluvy

Stejně jako tomu bylo v semestru zimním, Lineární algebra 2 má v letním semestru dvě rovnocenné verze přednášek: jednu učím já, v pondělí od 9:00 v učebně N1 v Troji, druhou doc. Fiala také od 9:00 v T1 v Troji. Na obou přednáškách se bude probírat stejná látka v přibližně stejném pořadí, ale bude se lišit způsob výuky: já bude přednášet klasickým způsobem s výkladem u tabule, zatímco doc. Fiala systémem převrácené výuky, tedy předtočených videí a hromadných konzultací.

Cvičení k přednáškám vedou v českém jazyce:

Uskutečněné přednášky

19. únor Zápisky.
- Úvod.
- Determinant
  - Definice.
  - Determinant transponované matice.
  - Linearita.
  - Prohození řádků mění znaménko.
26. únor Zápisky.
- Determinant
  - Elementární řádkové úpravy - determinant jejich matic; jejich vliv na determinant upravované matice.
  - Výpočet determinantu s pomocí Gaussovy eliminace.
  - Determinant a regularita matice.
  - det(AB) = det(A)det(B)
  - Cramerovo pravidlo.
  - Výpočet inverzní matice.
4. březen Zápisky.
- Determinant - dokončení
  - Adjungovaná matice
  - Laplaceův rozvoj
- Vlastní čísla a vlastní vektory
  - Základní definice a vlastnosti
  - Charakteristický polynom
11. březen Zápisky.
- Vlastní čísla a vlastní vektory
  - Matice je diagonizovatelná právě když existuje báze z vl. vektorů
  - Podobné matice mají stejný charakteristický polynom
  - Důležité koeficienty charakteristického polynomu
  - Každá komplexní matice je podobná horní trojúhelníkové matici
18. březen Zápisky.
- Vlastní čísla a vlastní vektory
  - Cayley-Hamiltonova věta
  - Vlastní čísla, determinant a diagonální prvky matice
  - Diagonizovatelnost a algebraická a geometrická násobnost vl. čísel
25. březen Zápisky.
- Vlastní čísla a vlastní vektory
  - Jordanova normální forma
  - Diagonizovatelnost symetrických matic
  - Vlastní čísla matice sousednosti grafu a jeho diametr
8. duben Zápisky.
- Skalární součin
  - Motivace, definice
  - Norma, norma odvozená ze skalárního součinu
  - Cauchy-Schwarzova nerovnost
  - Kolmost, lineární nezávislost nenulových kolmých vektorů
15. duben Zápisky.
- Ortogonalita
  - Ortonormální báze, Fourieorovy koeficienty
  - Ortogonální projekce, Gram-Schmidtova ortonormalizace
  - Ortogonální doplněk
22. duben Zápisky.
- Ortogonalita
  - QR-rozklad regulárních matic jako důsledek Gram-Schmidtovy ortonormalizace
  - Vlastnosti ortogonálního doplňku podprostoru
- Pozitivně definitní matice
  - Definice, ekvivalentní charakterizace
  - Gramova matice
  - Sylvesterova podmínka

Předběžný plán další výuky

Bilineární a kvadratické formy
Maticové rozklady (?)

Různé zdroje

Podrobný sylabus Jiřího Matouška (zahrnuje také přednášku Linearni algebra 1)
Učebnice Milan Hladík, Lineární algebra (nejen) pro informatiky, MatfyzPress, 2019.
Série videí Essence of linear algebra - užitečné pro získání vhledu do významu klíčových pojmů
Příklady na procvičení, řešení zde
Sbírka řešených matematických úloh
Řada odkazů na další literaturu českou i anglickou, online i offline, např. skripta L. Barto, J. Tůma, Lineární algebra (pro matematiky).

Informace ke zkoušce

Zkouška má typicky dvě části: písemnou a ústní. Písemná část obsahuje příklady, definice, formulaci tvrzení a důkazy. Čas na zpracování písemné části je 90 minut. Po opravení písemné části následuje u vybraných studentů (nerozhodná známka či šance na opravu) ústní část. Ta probíhá formou diskuse nad zadaným tématem. Jde o iterativní proces, zkoušející typicky klade doplňující otázky.
Pokud se na některém termínu sejde málo zkoušených a bude o to zájem, můžeme se domluvit, že se ústní část bude prolínat s písemnou (tj. průběžně budu sledovat a komentovat Váš postup, ptát se).
Termíny najdete v SISu, přihlašování tamtéž.

22. 4. 2024