NMAI058 Lineární algebra 2

Letní semestr 2024/25

Středa 12:20 - 13:50, Troja, učebna N1

Konzultační hodiny: Úterý 10:40 - 11:40, Malá Strana, pracovna 225 na KAM, nebo dle domluvy

Stejně jako tomu bylo v semestru zimním, Lineární algebra 2 má v letním semestru dvě rovnocenné verze přednášek: jednu učím já, druhou prof. Milan Hladík. Na obou přednáškách se bude probírat stejná látka v přibližně stejném pořadí (determinanty a skalární součin budou v opačném pořadí), ale bude se lišit způsob výuky: já budu přednášet s výkladem u tabule, zatímco prof. Hladík se slidy.

Informace ke zkoušce

• Zápočet je podmínkou pro konání zkoušky.
• Zkouška má typicky dvě části: písemnou a ústní. Písemná část obsahuje příklady, definice, formulaci tvrzení a důkazy. Čas na zpracování písemné části je 90 minut. Po opravení písemné části následuje u vybraných studentů (nerozhodná známka či šance na opravu) ústní část. Ta probíhá formou diskuse nad zadaným tématem. Jde o iterativní proces, zkoušející typicky klade doplňující otázky.
• Pokud se na některém termínu sejde málo zkoušených a bude o to zájem, můžeme se domluvit, že se ústní část bude prolínat s písemnou (tj. průběžně budu sledovat a komentovat Váš postup, ptát se).
• Termíny najdete v SISu, přihlašování tamtéž.

Uskutečněné přednášky

• 19. únor Zápisky.
  • Úvod
  • Determinant
    • Definice
    • Determinant transponované matice
    • Linearita
    • Prohození řádků mění znaménko
    • Elementární řádkové úpravy a determinant jejich matic
• 26. únor Zápisky.
  • Determinant
    • Elementární řádkové úpravy - determinant jejich matic; jejich vliv na determinant upravované matice
    • Výpočet determinantu s pomocí Gaussovy eliminace
    • Determinant a regularita matice
    • det(AB) = det(A)det(B)
    • Cramerovo pravidlo
    • Výpočet inverzní matice
    • Adjungovaná matice, Laplaceův rozvoj - pouze nastíněno
• 5. březen
  • Rozšiřující téma a host: Prof. Luděk Kučera, Řešení soustavy lineárních rovnic metodou konjugovaných gradientů
• 12. březen Zápisky.
  • Determinant - dokončení
    • Adjungovaná matice
    • Laplaceův rozvoj
  • Skalární součin
    • Motivace, definice
    • Norma, norma odvozená ze skalárního součinu
    • Cauchy-Schwarzova nerovnost
• 19. březen Zápisky.
  • Ortogonalita
    • Lineární nezávislost nenulových kolmých vektorů
    • Ortonormální báze, Fourieorovy koeficienty
    • Ortogonální projekce, Gram-Schmidtova ortonormalizace
• 26. březen Zápisky.
  • Ortogonalita
    • QR-rozklad regulárních matic jako důsledek Gram-Schmidtovy ortonormalizace
    • Ortogonální doplněk
    • Vlastnosti ortogonálního doplňku podprostoru
  • Vlastní čísla a vlastní vektory
    • Základní definice a vlastnosti
    • Charakteristický polynom
• 2. duben Zápisky.
  • Vlastní čísla a vlastní vektory
    • Matice je diagonizovatelná právě když existuje báze z vl. vektorů
    • Podobné matice mají stejný charakteristický polynom
    • Důležité koeficienty charakteristického polynomu
    • Každá komplexní matice je podobná horní trojúhelníkové matici
• 9. duben Zápisky.
  • Vlastní čísla a vlastní vektory
    • Cayley-Hamiltonova věta
    • Vlastní čísla, determinant a diagonální prvky matice
    • Diagonizovatelnost a algebraická a geometrická násobnost vl. čísel
• 16. duben Zápisky.
  • Vlastní čísla a vlastní vektory
    • Diagonizovatelnost a algebraická a geometrická násobnost vl. čísel - dokončení
    • Diagonizovatelnost symetrických matic
    • Diametr grafu a vlastní čísla jeho matice sousednosti (bez důkazu)
    • Charakterizace bipartitních grafů pomocí vlastních čísel matice sousednosti (jedna implikace)
• 23. duben Zápisky.
  • Vlastní čísla a vlastní vektory
    • Jordanova normální forma
  • Pozitivně definitní matice
    • Definice, ekvivalentní charakterizace
    • Gramova matice
    • Sylvesterova podmínka
• 30. duben Zápisky.
  • Pozitivně definitní matice
    • Rekurentní podmnínka
    • Testování pomocí Gaussovy eliminace
    • Výpočet Choleského rozkladu pomocí Gaussovy eliminace
    • Jednoznačnost Choleského rozkladu
• 7. květen Zápisky.
  • Metoda nejmenších čtverců
  • Bilineární a kvadratické formy
• 14. květen Zápisky.
  • Bilineární a kvadratické formy
    • Diagonalizace symetrických bilineárních forem
    • Sylvestrův zákon setrvačnosti kvadratických forem
• 21. květen Zápisky.
  • Bilineární a kvadratické formy - signatura
  • Ohlédnutí za semestrem - co jsme dělali a jak to spolu souvisí
  • Lineární algebra a GPT (doporučuji také dvě pěkná videa Granta Sandersona: GPT, Attention)

Různé zdroje

• Podrobný sylabus Jiřího Matouška (zahrnuje také přednášku Linearni algebra 1)
• Prezentace a videa Jiřího Fialy
• Učebnice Milan Hladík, Lineární algebra (nejen) pro informatiky, MatfyzPress, 2019
• Série videí Essence of linear algebra - užitečné pro získání vhledu do významu klíčových pojmů
• Příklady na procvičení, řešení zde
• Sbírka řešených matematických úloh
• Řada odkazů na další literaturu českou i anglickou, online i offline, např. skripta L. Barto, J. Tůma, Lineární algebra (pro matematiky)

24. 5. 2025