NMAI058 Lineární algebra 2
Letní semestr 2023/24
Pondělí 9:00 - 10:30, Troja, učebna N1
Informace ke zkoušce
- Alespoň jeden termín zkoušky bude ještě v září, pravděpodobně ve druhé půlce měsíce.
-
Zápočet je podmínkou pro konání zkoušky.
-
Zkouška má typicky dvě
části: písemnou a ústní. Písemná část obsahuje příklady, definice, formulaci
tvrzení a důkazy. Čas na zpracování písemné části je 90 minut. Po
opravení písemné části následuje u vybraných studentů (nerozhodná známka či
šance na opravu) ústní část. Ta probíhá formou diskuse nad zadaným tématem.
Jde o iterativní proces, zkoušející typicky klade doplňující otázky.
-
Pokud se na některém termínu sejde málo zkoušených a bude o to zájem,
můžeme se domluvit, že se ústní část bude prolínat s písemnou (tj. průběžně
budu sledovat a komentovat Váš postup, ptát se).
- Termíny najdete v SISu, přihlašování tamtéž.
Stejně jako tomu bylo v semestru zimním, Lineární algebra 2 má v letním semestru
dvě rovnocenné verze přednášek: jednu učím já,
v pondělí od 9:00 v učebně N1 v Troji,
druhou doc. Fiala
také od 9:00 v T1 v Troji.
Na obou
přednáškách se bude probírat stejná látka v přibližně stejném pořadí, ale bude
se lišit způsob výuky: já bude přednášet klasickým způsobem s výkladem u
tabule, zatímco doc. Fiala systémem převrácené výuky, tedy předtočených videí a
hromadných konzultací.
Cvičení k přednáškám vedou v českém jazyce:
Uskutečněné přednášky
- 19. únor Zápisky.
- Úvod.
- Determinant
- Definice.
- Determinant transponované matice.
- Linearita.
- Prohození řádků mění znaménko.
- 26. únor Zápisky.
- Determinant
- Elementární řádkové úpravy - determinant jejich matic; jejich vliv na determinant upravované matice.
- Výpočet determinantu s pomocí Gaussovy eliminace.
- Determinant a regularita matice.
- det(AB) = det(A)det(B)
- Cramerovo pravidlo.
- Výpočet inverzní matice.
- 4. březen Zápisky.
- Determinant - dokončení
- Adjungovaná matice
- Laplaceův rozvoj
- Vlastní čísla a vlastní vektory
- Základní definice a vlastnosti
- Charakteristický polynom
- 11. březen Zápisky.
- Vlastní čísla a vlastní vektory
- Matice je diagonizovatelná právě když existuje báze z vl. vektorů
- Podobné matice mají stejný charakteristický polynom
- Důležité koeficienty charakteristického polynomu
- Každá komplexní matice je podobná horní trojúhelníkové matici
- 18. březen Zápisky.
- Vlastní čísla a vlastní vektory
- Cayley-Hamiltonova věta
- Vlastní čísla, determinant a diagonální prvky matice
- Diagonizovatelnost a algebraická a geometrická násobnost vl. čísel
- 25. březen Zápisky.
- Vlastní čísla a vlastní vektory
- Jordanova normální forma
- Diagonizovatelnost symetrických matic
- Vlastní čísla matice sousednosti grafu a jeho diametr
- 8. duben Zápisky.
- Skalární součin
- Motivace, definice
- Norma, norma odvozená ze skalárního součinu
- Cauchy-Schwarzova nerovnost
- Kolmost, lineární nezávislost nenulových kolmých vektorů
- 15. duben Zápisky.
- Ortogonalita
- Ortonormální báze, Fourieorovy koeficienty
- Ortogonální projekce, Gram-Schmidtova ortonormalizace
- Ortogonální doplněk
- 22. duben Zápisky.
- Ortogonalita
- QR-rozklad regulárních matic jako důsledek Gram-Schmidtovy ortonormalizace
- Vlastnosti ortogonálního doplňku podprostoru
- Pozitivně definitní matice
- Definice, ekvivalentní charakterizace
- Gramova matice
- Sylvesterova podmínka
- 29. duben Zápisky.
- Pozitivně definitní matice
- Sylvesterova podmínka - důkaz
- Rekurentní podmnínka
- Testování pomocí Gaussovy eliminace
- Výpočet Choleského rozkladu pomocí Gaussovy eliminace (dokončíme příště)
- 6. květen Zápisky.
- Pozitivně definitní matice - dokončení
- Metoda nejmenších čtverců
- Bilineární a kvadratické formy
- 13. květen Zápisky.
- Bilineární a kvadratické formy
- Diagonalizace symetrických bilineárních forem
- Sylvestrův zákon setrvačnosti kvadratických forem
- 20. květen Zápisky.
- Bilineární a kvadratické formy - dokončení důkazu Sylvestrova zákona - setrvačnost
- Ohlédnutí za semestrem - co jsme dělali a jak to spolu souvisí
- Lineární algebra a GPT (dvě pěkná videa Granta Sandersona doporučuji: GPT, Attention)
Různé zdroje
27. 6. 2024