2. přednáška 14. 10. 2016. Důkaz
Bernoulliovy nerovnosti matematickou indukcí. Binární operace a
uspořádání, zejména lineární uspořádání. Číselné obory N, Z a Q,
(Z,+,x) je okruh a (Q,+,x,<) je uspořádané těleso. Definice suprema
(i infima) v obecné lin. usp. množině. Uspořádání na Q není úplné
(některé neprázdné shora omezené množiny v Q nemaji supremum), ale
uspořádání na reálných číslech R úplné je (každá neprázdná shora
omezená množina v R má supremum) - podrobněji příště.
Zápis ze 2. přednášky (jak to bylo před 2 lety, letos nějak nabíráme zpoždění).
3. přednáška 21. 10. 2016. R, reálná čísla spolu s aritmetickými operacemi a uspořádáním, lze zavést jako
nekonečné
desetinné rozvoje +-a_0,a_1a_2..., kde +- je znaménko, a_0 nezáporné
celé číslo a a_i pro i>0 je z {0, 1, ..., 9}. Popsali jsme si jen
uspořádání: -<+ a lexikograficky zleva. (Podrobně je resp. bude
zavedení reálných čísel pomocí
nekonečných desetinných rozvojů popsáno ve
skriptech.)
Funkce f(x) = x^2 je na intervalu řekněme [0, 2] rostoucí a spojitá.
Tvrzení: {x zlomek | x>=0 a x^2<2} nemá ve (Q,<) supremum s,
důkaz - nemůže být ani s^2>2 ani s^2<2, takže s^2=2, ale to taky
nejde. Tvrzení: {x reálné číslo | x>=0 a x^2<2} má v (R,<)
supremum s, důkaz pomocí "hladové" konstrukce "maxima" této množiny.
Funguje to pro každou neprázdnou a shora omezenou množinu reálných
čísel. Důsledek: toto s splňuje nutně s^2=2 (ostatní dvě možnosti jsou
vyloučeny stejně jako u zlomků), takže v R máme druhou odmocninu ze
dvou. Věta: existuje až na izomorfismus jediné úplné uspořádaně těleso
(a říkáme mu R), bez důkazu. Poznámky o konstrukcích R. Cantorova věta
o vnořených intervalech, důkaz stručně. Konečné, spočetné a nespočetné
množiny. Příklady
spočetných
množin: N, Z, Z^2, Q. Jako cvičení si dokažte, že spočetné sjednocení
spočetných množin je spočetná množina. Věta (Cantor, 1873): Množina
reálných čísel je nespočetná, důkaz diagonální metodou.
Limita posloupnosti. Zatím jen připomenutí, co je to (nekonečná) posloupnost (reálných čísel).
Zápis ze 3. přednášky (jak to bylo před 2 lety).
přednáška 28. 10. 2016 odpadla kvůli
státnímu svátku.
4. přednáška 4. 11. 2016. Definice vlastní i nevlastní limity, jednoznačnost
limity.
Příklad: lim n^{1/n} = 1.
Věta
o monotónní posloupnosti, důkaz. Podposloupnost, tvrzení o limitě
podposloupnosti, důkaz jako úloha. Tvrzení o aritmetice limit, důkaz.
Příklad s rekurentní posloupností a_1 = 2, a_{n+1} = a_n/2 + 1/a_n
(ne na přednášce, jen v zápisu)
. Tvrzení o limitě a uspořádání, důkaz. Věta o 2 policajtech, důkaz až příště.
Zápis ze 4. přednášky (jak to bylo před 2 lety, ale letos už skoro stejně).
5. přednáška 11. 11. 2016. Důkaz věty o 2 policajtech.
Dvě
základní limity, lim n^a a lim q^n. Věta o monotónní podposloupnosti,
důkaz. Bolzanova - Weierstrassova věta, důkaz. Cauchyovské posloupnosti
a Cauchyho podmínka, důkaz. Aritmetika nekonečen, neurčité výrazy,
rozšířená aritmetika limit, bez důkazu. Limes inferior a limes superior
posloupnosti, dvě ekvivalentní definice, na přednášce bez důkazu, ale v
zápisu z 5. přednášky (před dvěma lety) s důkazem.
6. přednáška 18. 11. 2016. Dopovězení liminf a limsup: lim a_n existuje <=>
liminf a_n = limsup a_n.
Nekonečné řady. Základní
definice. Poznámky o značení nekonečných řad. Příklady řad. Tvrzení o
podmínkách konvergence řad, důkaz. Geometrická řada a zeta(s). Absolutní konvergence, implikuje
obyčejnou, důkaz.
Zápis ze 6. přednášky (před dvěma lety, konec s Leibnizem jsem letos nestihl).
7. přednáška 25. 11. 2016. Leibnizovo kritérium, důkaz pomocí lemmatu o střídavém součtu.
Abelovo
a Dirichletovo kritérium, bez důkazu. Důkaz, že zeta(s) pro s > 1
konverguje, zobecňuje ho Cauchyovo kondenzační kritérium (bez důkazu). Srovnávací
kritérium, zatím bez důkazu. Srovnání s geometrickou řadou: odmocninové a podílové
kritérium, důkazy.
Zápis ze 7. přednášky (před dvěma lety, letos závěr nestíháme).
8. přednáška 2. 12. 2016. Důkaz
srovnávacího
kritéria ponechán jako cvičení. Příklady řad sum a_n a sum b_n, že (i)
obě řady konvergují, ale sum a_nb_n diverguje a (ii) první řada
konverguje a a_n/b_n jde limitně k 1, ale druhá řada přesto diverguje.
Přerovnání řad. Riemannova věta o přerovnání
neabsolutně konvergentní řady, náznak důkazu.Věta o přerovnání
absolutně konvergentní řady, důkaz. Abs. konvergentní řady s
libovolnou (spočetnou) množinou indexů. Násobení abs. konv. řad, bez
důkazu. Aplikace násobení AK řad: prvočísel je nekonečně mnoho, důkaz
pomocí Eulerovy identity prod_p (1 - 1/p^s)^{-1} = sum 1/n^s pro s >
1 (toto není v zápisu z přednášky).
Exponenciální funkce. Exponenciála
jako součet nekonečné řady. Tvrzení: exp(x + y) = exp(x) exp( y),
důkaz. Tvrzení: lim (1 + x / n)^n = exp(x), bez důkazu. Eulerovo číslo e.
Zápis z 8. přednášky (před dvěma lety, letos závěr nestíháme).
9. přednáška 9. 12. 2016. Definice kosinu a sinu geometricky, Eulerova identita e^{it} = cos t + i.sin t.
Limita funkce v bodě a spojitost funkce. Okolí
bodu, prstencové, jednostranné. Limita funkce v bodě a je A, a a A
mohou být i nekonečno. Poznámky a příklady k této definici.
Jednostranná
limita funkce v bodě.
Spojitost
funkce v bodě. Tvrzení o jednoznačnosti limity funkce, důkaz. Heineho
definice limity funkce v bodě, zatím bez důkazu. Tvrzení o aritmetice limit
funkcí, zatím bez důkazu. Tvrzení o limitě monotónní funkce, zatím bez důkazu.
Zápis z 9. přednášky (před dvěma lety).
10. přednáška 16. 12. 2016. Důkaz ekvivalence Heineho
definice limity funkce v bodě s vychozí definicí. Tvrzení o limitě funkce a uspořádání, bez důkazu. Tvrzení o limitě
složené funkce, důkaz. Funkce spojité na intervalu. Darbouxova věta o
mezihodnotách, důkaz. Princip maxima, důkaz. Tvrzení o spojitosti
inverzní funkce, bez důkazu. Třídy spojitých funkcí: polynomy,
racionální funce, exponenciála, goniometrické funkce, ... .
Zápis z 10. přednášky (před dvěma lety).
Během vánočních prázdnin si prosím přečtěte následující 11. přednášku. V novém roce budeme pokračovat dvanáctou přednáškou.
11. přednáška. Samostudium, viz
11. přednáška před 2 lety.
12. přednáška 6. 1. 2017. Důkazy
vět o střední hodnotě. L'Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit
neurčitých výrazů, bez důkazu. [Tvrzení (jednostranná derivace jako
jednostranná limita derivace), bez důkazu - letos jsem přeskočil.] Věta (derivace a monotonie),
důkaz. Přehled derivací elementárních funkcí. Derivace vyšších řádů.
Konvexní a konkávní funkce. Tvrzení (konv., konk. => f'_{+-}), bez
důkazu. Důsledek:
konv., konk.
funkce je spojitá. Věta (konv., konk. a f''), bez důkazu. Inflexní bod.
Tvrzení (f'' není 0 => není inflexe), bez důkazu. Tvrzení
(postačující podmínka inflexe), bez důkazu.
Zápis z 12. přednášky (pred 2 lety).
13. přednáška 13. 1. 2017. Taylorův
polynom, Věta (charakterizace T. polynomu), důkaz. Věta (obecný tvar
zbytku T. polynomu) a Lagrangeův a Cauchův tvar zbytku, bez důkazu.
Taylorova řada funkce. Taylorovy řady (se středem v 0) několika
elementárních funkcí: exp(x), sin(x), cos(x), log(1 + x), log(1 -
x), log(1 - x)^{-1}, (1 + x)^a, arctan x. Poznámky o tom, jak odvodit
T. rozvoj funkce arctan x: (arctan x)' = 1/(1+x^2) a toto
rozvinout do geom. řady nebo derivovat ve tvaru 1/2(1+ix) + 1/2(1-ix).
Zápis ze 13. přednášky (před 2 lety, letos jsem o střídavých permutacích nemluvil).
leden 2017