Informace o zkoušce z Matematické analýzy I (NMAI054), ZS 2016/17 ---------------------------------------------------------------- Zkoušející: Martin Klazar ------------------------- Termíny zkoušek: 20. 1., 27.1., 3. 2., 10.2. a 16. 2. (2017). Eventuální další termíny budou vyhlášeny později. Přihlašování na zkoušku v SISu. Na tyto termíny se mohou zapisovat pouze studenti z mé paralelky I/1-I1X`P (kruhy 31-34). Výjimky jsou možné jen po domluvě. Získání zápočtu je nutnou (a prakticky i postačující) podmínkou připuštění ke zkoušce. Bez uděleného zápočtu, zapsaného v SISu, nebude student ke zkoušce připuštěn. Zápočet uděluje cvičící. Typickou podmínkou pro udělení zápočtu může být účast v zápočtové písemce (+ zisk stanoveného minima bodů). Zkouška se skládá ze dvou písemek: (i) 90 min. zápočtová písemka na cvičení v posledním týdnu semestru, popř. později, na prověření početní techniky, se 4 příklady (příklady okruhů: limita posloupnosti, limita funkce, nekonečná řada, určení spojitosti/výpočet derivace, průběh funkce), a (ii) 90 min. písemka na zkoušce se 4 příklady na prověření teorie. U žádné z písemek není dovoleno používat ani písemné materiály (záznamy z přednášek, učebnice atd.) ani technické pomůcky (laptopy, mobily, kalkulačky atd.), pouze tužku, papír a vlastní hlavu. Výjimky v případě hendikepovaných studentů povoluje zkoušející. Okruhy příkladů v písemce na zkoušce: 1. Početní příklad jako v zápočtové písemce (limita posloupnosti nebo limita funkce nebo nekonečná řada nebo určení spojitosti/výpočet derivace nebo průběh funkce). 2. Jedna až dvě otázky z okruhů A níže (základní pojmy a definice). 3. Jedna otázka z okruhů B níže (věty a výsledky bez důkazů). 4. Jedna otázka z okruhů C níže (věty s důkazy). Příklady 2 a 3 budou obsahovat doplňující otázky ověřující porozumění danému pojmu či definici či větě. Hodnocení zkoušky ----------------- Písemka na cvičení: maximálně 16 bodů (zpravidla 4 body za příklad). Písemka na zkoušce: maximálně 24 bodů (zpravidla 6 bodů za příklad). Celkem lze tedy získat z obou písemek maximálně 40 bodů. 0 -19 bodů = "neprospěl(a)" 20-26 bodů = "dobře" 27-33 bodů = "velmi dobře" 34-40 bodů = "výborně". Výsledky budou oznámeny po opravení písemek, zpravidla týž den. V nerozhodných a sporných případech může zkoušející položit doplňující ústní otázky. Okruhy otázek pro zkouškovou písemku ------------------------------------ A - základní pojmy a definice 1. (shora, zdola) omezená množina (posloupnost, funkce), supremum a infimum množiny reálných čísel. 2. podposloupnost, (ne)rostoucí, (ne)klesající, monotonní, konstantní posloupnost. 3. (vlastní a nevlastní) limita posloupnosti, (prstencové, jednostranné) okolí bodu, cauchyovská posloupnost. 4. řada, (částečný) součet řady, konvergentní a divergentní řady, absolutní konvergence řad, Cauchyova podmínka pro řady. 5. (lokální, globální, ostré) maximum a minimum funkce na množině. 6. (jednostranná, nevlastní) limita funkce v bodě a (jednostranná) spojitost funkce v bodě, spojitost na intervalu. 7. (jednostranná) derivace funkce v bodě, derivace vyšších řádů. 8. (ryze) konvexní a (ryze) konkávní funkce, inflexní bod. 9. Taylorův polynom a Taylorova řada funkce. B - věty, tvrzení a výsledky bez důkazů 0. Základní vlastnosti reálných čísel (nespočetnost, úplnost-existence suprema, věta o vnořených intervalech). 1. Základní vlastnosti limit posloupností (jednoznačnost l., l. a monotonie, podposloupnost a l., věta o monotonní podp., B.-W. věta, l. a cauchyovskost). 2. Vztahy mezi uspořádáním, resp. aritmetickými operacemi, a limitou posloupnosti (l. a uspořádání, věta o 2 policajtech, l. a aritmetické operace). 3. Kritéria konvergence řad (Leibnizovo kr., srovnávací kr., Cauchyovo odmocninové kr., d'Alembertovo podílové kr.). 4. Konvergence a součet dvou nejdůležitějších řad (geometrická řada a řada 1^s + 2^s + 3^s + ...). 5. Kritéria neabsolutní konvergence řad (Abelovo a Dirichletovo kr.). 6. Věty o přerovnání řad (rozdíl mezi přerovnáváním absolutně a neabsolutně konvergentní řady). Násobení abs. konv. řad (nekonečný distributivní zákon). 7. Exponenciální funkce (definice řadou, převádí součet na součin, def. sinu a cosinu řadou) 8. Základní vlastnosti limit funkcí (Heineho definice limity, l. funkce a aritmetické operace, l. funkce a uspořádání). 8. Výsledky o limitě a skládání, resp. monotonii, funkcí (l. funkce a skládání funkcí, l. funkce a monotonie funkce). 9. Vlastnosti funkcí spojitých na intervalu (Darbouxova věta o nabývání mezihodnot, princip maxima pro spojité funkce, spojitost inverzní funkce). 10. Základní výsledky o derivacích a jejich počítání (derivace a spojitost, aritmetika derivací, derivace a složené funkce, derivace a inverzní funkce, též přehled derivací elementárních funkcí). 11. Výsledky o souvislosti monotonie funkce a jejích extrémů s derivací (d. a lokální extrém funkce, d. a monotonie funkce). 12. Věty o střední hodnotě a jejich aplikace (Rolleova a Lagrangeova věta o střední hodnotě, l'Hospitalovo pravidlo). 13. Věty o derivaci a konvexitě/konkavitě (implikují vlastní jednostr. derivace, jak souvisi s f'') a inflexním bodu (nutná podmínka, postačujicí podmínka). 14. Taylorův polynom (Věta charakterizující T. polynom a dva tvary zbytku Taylorova polynomu, Taylorovy řady základních elementárních funkcí a jejich konvergence). C - věty s důkazy Reálná čísla. 1. Cantorova věta o vnořených intervalech. 2. Nespočetnost množiny R. 3. Dokažte, že odmocnina ze tří je iracionální číslo. Posloupnosti. 4. Výsledky o limitě monotónní posloupnosti a o limitě podposloupnosti 5 Věta o monotónní podposloupnosti. 6. Bolzanova-Weierstrassova věta. 7. Konvergence a cauchyovskost. Řady. 8. Nutná podmínka konvergence řady a vztah mezi absolutní konvergencí a konvergencí 9. Leibnizovo kritérium konvergence. 10. Konvergence a součet geometrické řady. 11. Odmocninové kritérium konvergence. 12. Podílové kritérium konvergence. 13. Věta o přerovnání abs. konvergentní řady Limita funkce, spojité funkce. 14. Heineho definice limity. 15. Darbouxova věta (Věta 3.7) a 16. Princip maxima. Derivace funkce. 17. Věty o střední hodnotě. 18. Věta o derivaci funkce a monotonii 19. Charakterizace Taylorova polynomu. Vzorová písemka na zkoušce -------------------------- Odpovědi zdůvodněte! 1. Spočtěte limitu lim_{x --> +nekonečno} x^2(log(1+1/x) - sin(1/x)). 2. Definujte pojmy: nekonečná řada, částečný součet řady, součet řady, konvergentní řada, divergentní řada, absolutně konvergentní řada, Cauchyova podmínka pro řady. Rozhodněte zda platí ekvivalence: řada a_1+a_2+a_3+a_4+... konverguje, právě když obě řady a_1+a_3+a_5+... a a_2+a_4+a_6+... konvergují. Pokud ne, rozhodněte, která z obou implikací platí (pokud vůbec nějaká platí). 3. Uveďte (a nedokazujte) výsledky o souvislost monotonie funkce a jejích extrémů s derivací (Tvrzení 4.5, Věta 4.11). Aplikujte tyto výsledky na funkci definovanou jako f(x) = 1 - cos x pro x z [-pi/2, pi/2] a x různé od 0 a f(0)=1/2 a určete s jejich pomocí lokální a globální extrémy f(x) na intervalu [-pi/2, pi/2]. 4. Dokažte, že množina reálných čísel je nespočetná.