Sylabus a literatura. Viz SIS. K přednášce píšu souběžně učební text, jehož doplňovaná předběžná verze je/bude zde (je tu teď předběžná verze z 8. ledna 2018).

1. přednáška 2. 10. 2017. 1. Metrické prostory. Metrický prostor, izometrie dvou metrických prostorů. Příklady metr. prostorů (l_p metrika a její speciální případy: euklidovská a maximová, L_p metrika definovaná pomocí integrálů, vzdálenost bodů na sféře, Hammingova metrika, ..). Tvrzení: sférická metrika na horní polosféře (vzdálenost dvou bodů je délka kratšího z obou oblouků, na něž tyto dva body dělí jimi procházející hlavní kružnici sféry) se nedá izometricky realizovat v žádném euklidovském prostoru R^n, důkaz.  Pojem ultrametriky (nearchimedovské metriky). Klasická norma (metrika) a p-adická norma (metrika) na zlomcích; p-adické metriky jsou ultrametriky. Ostrowskiho věta: jsou to jediné (netriviální) normy na tělese zlomků Q, bez důkazu. Ostrowskiho věta přesněji říká, že na tělese Q máme pouze tyto normy: (i) (triviální norma) ||a|| = 1 pro každý nenulový zlomek a a ||0|| = 0, (ii) (klasická norma) ||a|| = |a|^c, kde c je pevná konstanta z (0, 1]  a (iii) (p-adická norma) ||a|| = c^{ord_p(a)}, kde c je pevná konstanta z (0, 1), p je pevné prvočíslo a ord_p(a) je p-adický řád zlomku a (to celé číslo k, že a = p^k(b/d), kde ve zlomku b/d už p nedělí ani čitatele b ani jmenovatele d, ord_p(0) je +oo). Zápis z 1. přednášky (probrali jsme skoro totéž jako před 2 lety, jen Ostrowskiho větu jsem vyslovil pro zlomky a ne pro celá čísla)

2. přednáška 9. 10. 2017. Opakování látky z minulého semestru: koule B(a, r), otevřené a uzavřené množiny a jejich vlastnosti (uzávěrové vlastnosti, ekviv. def. uzavřené množiny), konvergence, spojitá zobrazení, spojitost <=> topologická spojitost (důkaz), kompaktní množiny a jejich vlastnosti (vztah ke spojitosti, k omezenosti a uzavřenosti, nabývání extrémů). Aplikace věty, že spojitá funkce nabývá na kompaktu extrémy: základní věta algebry (každý nekonstantní komplexní polynom má kořen), důkaz. Věta (Heineho-Borelova): množina X je kompaktní (každá posloupnost v X má konvergentní podposloupnost s limitou v X) <=> X je topologicky kompaktní (každé otevřené pokrytí X má konečné podpokrytí), důkaz příště. Zápis z 2. přednášky (závěr důkazu ZVA, vlastnost 2, jsem nestihl a bude příště).

3. přednáška 16. 10. 2017.  Dokončení důkazu ZVA, přesněji její redukce na případ binomického polynomu. Že těleso C je uzavřené na n-té odmocniny dokážeme příště. Důkaz Heineho-Borelovy věty. Vnitřní, vnější, hraniční, limitní a izolované body množiny v metrickém prostoru, příklad jsem přeskočil. Homeomorfismus metr. prostorů, příklady. Mezi euklidovskými prostory [0, 2.pi) a jednotkovou kružnicí S v rovině je  "skorohomeomorfismus" fi --> (sin fi, cos fi).  Souvislý metrický prostor: nemá netriviální obojetnou podmnožinu, příklady. Tvrzení: souvislé podmnožiny reálné osy jsou přesně intervaly, důkaz jako cvičení. Tvrzení: souvislost se zachovává spojitým obrazem, důkaz jako cvičení. Zápis ze 3. přednášky (letos jsem toho stihl méně).

4. přednáška 23. 10. 2017. Jednodušší argument, proč [0, 2.pi) a S nejsou homeomorfní (kompaktnost). Poznámky o podprostoru (je-li X podprostor M, pak A je otevřená v X, právě když je průnikem X s otevřenou množinou v M, totéž pro uzavřené).  Tvrzení: prosté spojité zobrazení na kompaktní množině má spojitý inverz, důkaz jako cvičení. Tvrzení (množina, co vše zaplní): je-li A neprázdná souvislá a středově souměrná podmnožina jednotkové kružnice S, pak se A rovná S, důkaz. Důsledkem je tvrzení, že každé komplexní číslo má každou lichou (tím pádem každou, podle vzorce pro 2^m-té odmocniny uvedeného na přednášce) odmocninu, důkaz. To dokončuje důkaz ZVA. Křivková a oblouková souvislost. Tvrzení: (i) kř. souv. => souv., (ii) <= obecně neplatí, (iii) <= platí v metr. prostorech s kř. souvislými koulemi, důkaz (iii).  Příklad dvou prostupujících se souvislých podmnožin čtverce běžících zleva doprava a shora dolů. Zmíněno, že takově dvě kř. souvislé množiny neexistují (resp. se musejí protnout). Viz zápis ze 4. přednášky (ale před dvěma lety, takže úplné MPy až příště) a učební text odkazovaný výše (dokončení důkazu ZVA jsem letos udělal myslím lépe).

5. přednáška 30. 10. 2017. Úplné MPy, tvrzení o úplnosti versus uzavřenosti. Zmíněna Baireova věta: úplný MP není spočetným sjednocením řídkých množin (množina je řídká, když každá koule obsahuje podkouli s množinou disjunktní). Banachova věta o pevném bodu, důkaz. Jako aplikace BVOP zmíněna Picardova věta o existenci a jednoznačnosti řešení ODR 1. řádu, bez důkazu. Tvrzení: omezené funkce na lib. množině se sup. metrikou jsou úplný MP, důkaz. Věta: omezené spojité funkce na MP se sup. metrikou jsou úplný MP, důkaz. Důsledek: spojité funkce na [a, b] se sup. metrikou jsou úplný MP, důkaz. 2. Posloupnosti a řady funkcí. Bodová, stejnoměrná a lokálně stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f_n: M to R, kde M je podmnožina R. Zápis z 5. přednášky (před dvěma lety, letos stále máme ztrátu).

6. přednáška 6. 11. 2017. Příklad s posl. funkcí f_n(x) = x^n na množině M = [0,1]. Stejnoměrná B.-C. podmínka: f_n na M stejnoměrně konverguje, právě když  pro každé e > 0 ex. N, že pro každé m, n > N a x z M je |f_m(x) - f_n(x)| < e, důkaz. Tvrzení: 1) z lokálně stejnoměrné konvergence na kompaktu plyne stejnoměrná konvergence a 2) (Diniho věta) z monotónní konvergence spojitých funkcí ke spojité funkci na kompaktu plyne stejnoměrná konvergence, důkaz. Tři věty o záměně pořadí limity podle n a operace (limita v bodě, integrál, derivace). Mooreova-Osgoodova věta: mají-li funkce f_n(x) v bodě x_0 vlastní bodové limity a_n a konvergují-li na prstencovém okolí x_0 stejnoměrně k funkci f, pak existuje vlastní limita lim a_n = a a rovná se limitě funkce f(x) v bodě x_0, důkaz.  Věta o záměně  limity a integrace, bez důkazu, je v zápisu z přednášky. Věta o výměně pořadí limity a derivace, bez důkazu,  je v zápisu z přednášky. Zápis ze 6. přednášky (před dvěma lety označena jako 7., protože jedna mezitím tenkrát odpadla).

7. přednáška 13. 11. 2017. Graf spojité funkce lze aproximovat lomenou čarou, důkaz nechán jako cvičení. Aplikace: existence primitivní funkce ke spojité funkci, bez důkazu. Weierstrassova věta o aproximaci spojité funkce polynomem, bez důkazu. Řady funkcí. Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence řady funkcí, důkaz. Věty o záměně sumace s limitou v bodě, s integrováním a s derivováním. Příklady na tyto věty. Abelovo a Dirichletovo kritérium stejnoměrné konvergence - jen zmíněna, jejich formulace dána za dom. cv. Mocninné řady. Věta o poloměru konvergence, důkaz. Zápis ze 7. přednášky (před dvěma lety označena jako 8., protože jedna mezitím tenkrát odpadla).

8. přednáška 20. 11. 2017. Tvrzení o lokálně stejnoměrné konvergenci mocninné řady na intervalu konvergence, důkaz. Důsledek: funkce daná součtem moc. řady je nekonečně hladká. Abelova věta o moc. řadách, důkaz. Příklad: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = log 2. Fourierovy řady: základní definice (trig. řada, F. koeficienty, F. řada, skoroskalární součin dvou funkcí). Tvrzení o ortogonalitě sin(nx) a cos(nx), důkaz příště. Besselova nerovnost a Riemannovo-Lebesgueovo lemma, důkaz příště. Zápis z 8. přednášky (před dvěma lety označena jako 9., protože jedna mezitím tenkrát odpadla).

9. přednáška 27. 11. 2017. Důkaz Besselovy nerovnosti a R.--L. lemmatu. Důkaz tvrzení o ortogonalitě sin(nx) a cos(nx) pomocí komplexní exponenciály. Po částech hladké funkce. Dirichletova věta: je-li f: [-pi, pi] --> R po částech hladká, pak její Fourierova řada bodově konverguje v x k hodnotě (f(x + 0) + f(x - 0))/2, důkaz příště. Věta: je-li navíc v D. větě f spojitá funkce, je konvergence její F. řady stejnoměrná, důkaz dělat nebudeme. Důkaz Eulerova vzorce 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = pi^2/6 rozvojem f(x) = x^2 do F. řady. Zápis z 9. přednášky (před dvěma lety označena jako 10., protože jedna mezitím tenkrát odpadla. Obsahuje i další důkaz Eulerova vzorce.).

10. přednáška 4. 12. 2017. Důkaz Dirichletovy věty pomocí Lemmatu o Dirichletově jádře, jehož důkaz jsem zapomněl říci, ale přednesu ho příště, viz zápis z 10. přednášky (před dvěma lety označená jako 11.). 3. Úvod do komplexní analýzy. Holomorfní a analytické funkce, základní a hluboký výsledek je, že to je jedno a totéž. Celé funkce. Věta 1: každá celá funkce f je tvaru f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + ... . Příklad, že v reálné analýze to neplatí. Věta 2 (Liouvilleova): každá celá omezená funkce f je tvaru f(z) = const. Příklady, že v reálné analýze to neplatí. K důkazům těchto dvou a ještě alespoň jedné další věty směřujeme. Proberu tak (s nějakými redukcemi) oddíly 3.1 a 3.2 vznikajícího učebního textu (předběžná verze z 20. prosince).

11. přednáška 11. 12. 2017. Důkaz Lemmatu o Dirichletově jádře. Důsledek Liouvilleovy věty: jednoduchý důkaz Základní věty algebry. Věta 3: derivace holom. funkce je vždy spojitá (v reálné analýze neplatí), důkaz později. Věta 4: princip maxima modulu (v reálné analýze neplatí), asi nedokážeme. Důkazy vět 1-3. Úsečka u = ab, její dělení p, délka, ||.||, ekvidělení, C(f, p) (f je funkce definovaná na u). Integrál f přes u. Obdélník R, jeho hranice, vnitřek, obvod. Integrál f přes hranici R. Věta 5 (základní vlastnosti integrálu): definice je korektní, linearita, M-L odhady, rozdělení u bodem na dvě podúsečky a otočení orientace u, důkaz příště.  Tvrzení 6: int_{ab}(cz+d) = g(b) - g(a), kde g(z) = cz^2/2 + dz, důkaz přímo z definice integrálu. Viz oddíly 3.0 a 3.2 učebního textu (předběžná verze z 20. prosince).

13. přednáška 8. 1. 2018. Věta 9 (funkcionál integrál): int(f) := int_{hranice R} f pro libovolnou holomorfní f definovanou mimo kompaktní množinu A nezávisí na volbě obdélníka R obsahujícího A uvnitř a dále 1) platí linearita, 2) je to 0 pro A = {a} a f omezenou u a, 3) je to ro = 2pi.i pro f(z) = 1/(z - a) a 4) pro f_n jdoucí stejnoměrně k f na hranici R (R obsahuje uvnitř kompakt A a f a f_n jsou holomorfní mimo A) limití int(f_n) k int(f), důkaz. Věta 10: dva Cauchyovy vzorce f(a) = (1/ro)int(f(z) / (z - a)) a f'(a) = (1/ro)int(f(z) / (z - a)^2), důkaz. Důkazy vět 1, 2 a 3. Na závěr ještě definice obecného křivkového integrálu.Viz oddíly 3.0 a 3.2 učebního textu (předběžná verze z 8. ledna 2018).