Informace o zkoušce z Matematické analýzy III (NMAI056), ZS 2017/18 ----------------------------------------------------------------- Zkoušející: Martin Klazar ------------------------- Termíny zkoušek: 16.1., 23.1., 31.1., 7.2. a 13.2. 2018, viz SIS Získání zápočtu je nutnou (a prakticky i postačující) podmínkou připuštění ke zkoušce. Bez uděleného zápočtu, zapsaného v SISu, nebude student ke zkoušce připuštěn. Zápočet uděluje cvičící. Typickou podmínkou pro udělení zápočtu může být účast v zápočtové písemce (+ zisk stanoveného minima bodů). Zkouška se skládá pouze z 90 min. písemky, popř. ústního dozkoušení v nerozhodných a zvláštních případech. U písemky není dovoleno používat ani písemné materiály (záznamy z přednášek, učebnice atd.) ani technické pomůcky (laptopy, mobily, kalkulačky atd.), pouze tužku, papír a vlastní hlavu. Výjimky v případě hendikepovaných studentů povoluje zkoušející. V písemce u zkoušky budou 4 otázky: 1 početní příklad, 1 otázka z okruhu A, 1 otázka z okruhu B a 1 otázka z okruhu C Hodnocení zkoušky ----------------- celkem 24 bodů (zpravidla 6 bodů za příklad). 0 - 9 bodů = "neprospěl(a)" 10-14 bodů = "dobře" 15-19 bodů = "velmi dobře" 20-24 bodů = "výborně". (Půlbody s zaokrouhlují nahoru.) Výsledky budou oznámeny po opravení písemek, zpravidla týž den. V nerozhodných a sporných případech může zkoušející položit doplňující ústní otázky. Okruhy otázek pro písemku u zkoušky ------------------------------------ (Odkazy se týkají starých zápisů z přednášek (pdf soubory), v kapitole Úvod do komplexní analýzy aktuální přednášky.) početní příklad: metrické prostory (otevřené a uzavřené množiny, úplné a kompaktní množiny), posloupnosti a řady funkcí (bodová a stejnoměrná konvergence, obor konvergence mocninné řady, Abelova věta, Fourierova řada funkce). A (základní pojmy a definice) 1. Definujte metrický prostor, kouli B(a, r), otevřené a uzavřené množiny. 2. Definujte limitní bod množiny, izolovaný bod množiny, hraniční bod množiny. 3. Definujte spojité zobrazení mezi metrickými prostory a homeomorfismus. 4. Podejte obě definice kompaktního metrického prostoru, resp. kompaktní množiny v metrickém prostoru. 5. Definujte souvislý metrický prostor, resp. souvislou množinu v metrickém prostoru. 6. Definujte úplný metrický prostor a kontrahující zobrazení mezi metrickými prostory. 7. Vysvětlete typy konvergence posloupností a řad funkcí. 8. Definujte mocninnou řadu a poloměr konvergence (v reálném oboru). 9. Definujte trigonometrickou řadu, Fourierovy koeficienty funkce a Fourierovu řadu funkce. 10. Vysvětlete pojem po částech hladké funkce. 11. Definujte holomorfní funkci a analytickou funkci. 12. Definujte (křivkový) integrál komplexní funkce. B (věty a výsledky bez důkazu) 1. Uveďte vlastnosti otevřených a uzavřených množin v metrickém prostoru a topologickou charakterizaci spojitosti zobrazení mezi metrickými prostory (př. 2). 2. Uveďte výsledky o kompaktních množinách v metr. prostoru (př. 2). 3. Uveďte výsledky o souvislých metr. prostorech (3 tvrzení, př. 3). 4. Uveďte výsledky o úplných metr. prostorech (2 tvrzení a 2 věty, př. 4 a 5). 5. Uveďte kritéria stejnoměrné konvergence posloupností a řad funkcí (2 tvrzení na př. 5 a 7, 2 věty na př. 8). 6. Uveďte věty o záměně pořadí operace limity s dalšími operacemi pro posloupnosti a řady funkcí (3 věty v př. 7 a jejich verze pro řady v př. 8). 7. Uveďte výsledky o mocninných řadách (2 věty a tvrzení s důsledkem, př. 8 a př. 9). 8. Uveďte výsledky o Fourierových řadách (tvrzení a 3 věty, př. 9 a 10). 9. Uveďte výsledky o holomorfních funkcích (věty 1-4, základní rozdíly mezi komoplexní a reálnou analýzou). C (věty s důkazy) 1. Dokažte implikaci => věty o ekvivalenci dvou definic kompaktnosti. 2. Dokažte implikaci <= věty o ekvivalenci dvou definic kompaktnosti. 3. Dokažte, že souvislost se zachovává spojitým zobrazení a že z křivkové souvislosti plyne souvislost. 3a. Dokažte, že každé komplexní číslo má každou n-tou odmocninu 3b. Dokažte Základní větu algebry (předchozí lemma o n-té odmocnině nemusíte dokazovat). 4. Dokažte tvrzení o úplném metr. prostoru omezených funkcí. 5. Dokažte Banachovu větu o pevném bodu. 6. Dokažte Diniho větu. 7. Dokažte Mooreovu-Osgoodovu větu. 8. Dokažte větu o záměně pořadí limity a integrování. 9. Dokažte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence řad. 10. Dokažte větu o poloměru konvergence mocninné řady. 11. Dokažte Abelovu větu. 12. Dokažte Besselovu nerovnost a Riemannovo-Lebesgueovo lemma. 13. Dokažte Dirichletovu větu o bodové konvergenci Fourierovy řady (lemma nemusíte dokazovat). 14. Popište schema důkazu Liouvilleovy věty (omezená celá funkce je konstantní) - podrobně by byl (ve srovnání s předchozími otázkami) moc dlouhý, požaduje se proto jen popis jeho logické struktury.