Letos se zaměříme na topologii -- jak ve smyslu zkoumání otevřených množin, spojitých zobrazení, atd. (tzv. množinová, či obecná topologie), tak zkoumání homotopií, homologií, atd. (algebraická topologie).
There will be an oral exam from both the theory and from the exercises. If you want to be examined, send an email to all the teachers.
| Datum | Obsah | Zdroje |
|---|---|---|
| 8. 3. | [IK] Úvod do obecné topologie. Metrické prostory, otevřené množiny v nich. Definice topologického prostoru, definice homeomorfismu. Definice topologického podprostoru. Uzavřené množiny, uzávěr, hranice, vnitřek, okolí. Báze a subbáze. Základní příklady topologických prostorů (indiskrétní, diskrétní, topologie konečných a spočetných doplňků, Zariského topologie, Sorgenfreyova přímka a rovina, Sierpinského prostor, reálná přímka se zdvojenou nulou). Vlastnosti: souvislost, křivková souvislost, komponenty souvislosti (křivkové souvislosti). Příklad s Cantorovou množinou (každý bod je komponenta souvislosti). | Kniha kap. 6.1 a 6.2., Anotované zápisky, Videozáznam přednášky |
| 15. 3. | [IK] Příklad použití souvislosti: otevřený a uzavřený interval nejsou homeomorfní. Separační axiomy (zmíněny T_0,T_1,T_2,T_3,T_4). Separabilní prostor. Tietzeho věta o rozšíření (bez důkazu), Urysohnova metrizační věta (s důkazem). Definice kompaktnosti. Lemma: uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktní, kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřená, spojitá funkce zobrazí kompaktní množinu na kompaktní. | Kniha kap. 6.2 a 6.3., Anotované zápisky, Videozáznam přednášky |
| 22. 3. | [IK] Spojitá funkce na kompaktní množině nabývá minima. Součiny topologických prostorů, součinová topologie. Příklady: reálná rovina, Cantorova množina. Poznámka o box topology. de Bruijn - Erdosova věta o barvení nekonečných grafů. Podmnožina Euklidovského prostoru je kompaktní právě tehdy, když je uzavřená a omezená. Motivace homotopické ekvivalence. Homotopie, homotopická zobrazení, příklady. Homotopicky ekvivalentní prostory. Deformační retrakt. | Kniha kap. 6.3 a 6.4., Anotované zápisky, Videozáznam přednášky |
| 29. 3. | [IK] Příklady: homotopicky ekvivalentní prostory, Bingův dům je kontrahovatelný. Antipodálně symetrická zobrazení. Borsuk-Ulamova věta (3 verze, bez důkazu), Ljusternik-Šnirelmanova věta. Aplikace: barevnost Kneserových grafů. Disjunktní sjednocení topologických prostorů, faktorprostor. | Kniha kap. 6.4. a 6.5., Anotované zápisky, Videozáznam přednášky |
| April 12 | [RS] Join of topological spaces, cones and suspensions. A crashcourse in category theory -- basic definition, mono- and epi- and isomorphisms. A new definition of a product. | Book chapter 6.6 Lecture notes, Recorded lecture |
| April 19 | [RS] Limits of diagrams. Simplicial complexes -- abstract and geometric. Simplicial maps and corresponding continuous map between topological spaces. | Book chapter 6.7 Lecture notes, Recorded lecture |
| April 26 | [RS] Triangulations, simplicial joins. Alternatives to simplicial complexes (CW complexes, simplicial sets). (More thorough explanation with nice pictures.) Non-embeddability -- motivation, overview. Van Kampen-Flores theorem (only part of the proof sofar). | Book chapter 6.7, 6.8 Lecture notes, Recorded lecture |
| May 3 | [RS] Finishing the proof of Van Kampen-Flores theorem (definition of deleted simplicial joins). Homotopy and homology -- why do we care, and where they differ. Pointed spaces, pointed maps, etc. Definition of the fundamental group $\pi(X)$. Functors. | Book chapter: end of 6.8, start of 6.9. Lecture notes, Recorded lecture |
| May 10 | [MT] Fundamental group of the circle (sketch). Higher homotopy groups: definition, commutativity, Hopf map---just informally. Homology. Simplicial homology over Z2: k-chains, boundary operator, k-boundaries, k-cycles. Homology group. | Book chapter: end of 6.9, start of 6.10. Recording available on demand (write an email to Martin Tancer) |
| May 17 | [MT] Properties of homology: depends only on the homotopy type, without proof; homology of basic spaces; Euler characteristic via homology.Homology with integer coefficients. Example H2(M) with integer versus Z2 coefficients if M is a surface. Functoriality of homology: maps f# and f*. | Book chapter: 6.10. For Euler characteristic see Theorem 2.44 in [H]. Recording available on demand (write an email to Martin Tancer) |
| May 24 | [MT] Chain complex and chain map. Homology of a chain complex. Singular homology. Two applications of homology: Rm is distinct from Rn for m and n distinct; Brouwer fixed point theorem. Brief introduction to cohomology. | Book chapter: End of 6. 10., beginning of 6. 13. For singular homology see (the beginning of) section "Singular homology" in Chapter 2 of [H]. Recording available on demand (write an email to Martin Tancer) |
| May 31 | [MT] Exact sequence. Mayer-Vietoris exact sequence on homology (without proof). Examples: sphere again and Klein bottle. Manifolds, just definition and examples. | Book chapter: 6.14. For Mayer-Vietoris sequence see the corresponding section in Chapter 2 of [H]. Recording available on demand (write an email to Martin Tancer) |