Matematika++

Informace k přednášce Matematika++, LS 2019/2020

Ida Kantor, Martin Tancer

Důležité: Vzhledem k plošnému zrušení výuky od 18. 3. výuka probíha formou samostatné četby s konzultacemi.

Rozsah

Dvě hodiny přednášky a dvě hodiny cvičení týdně (2/2). Zápočet, zkouška.

Termín

Začínáme ve středu 26. 2. v učebně S3 od 10:40. Některé přednášky budou probíhat v úterý (bude upřesněno dostatečně včas).

Náplň

V moderní informatice se často používají matematické nástroje, které překračují rozsah matematických přednášek v bakalářském programu informatiky. V této přednášce se posluchači seznámí s poněkud zhuštěnými základy některých matematických odvětví, které se pro informatiku a diskrétní matematiku ukázaly zvlášť významné. Zde se pro představu můžete podívat na minulou přednášku na stejné téma.

Předpoklady

Zájem o matematiku, matematické znalosti zhruba v rozsahu informatického bakalářského studia na MFF UK. Navazovat budeme hlavně na analýzu, pravděpodobnost a lineární algebru. Letos se zaměříme na Fourierovy řady a transformace, polynomy ve více proměnných a reprezentace grup.

Cvičení--Exercise sessions

The exercises will be taught in English by Denys Bulavka and Martin Tancer. The main part of the exercises will be solving problems as homeworks. Credit will be given for obtaining 31 points from the solutions. The points obtained before hints are doubled.

Harmonogram semestru--Schedule of the lectures and exercise sessions

Date	Tuesday lecture	Wednesday Lecture	Exercises	New homeworks	Deadlines
26.2.	x	Yes	x	Problem set 1	x
4.3.	x	Yes	Yes	x	x
11.3.	x	x	x	x	x
18.3.	x	x	x	x	x
25.3.	x	x	x	Problem set 2	Hints, problem set 1 (shifted)
1.4.	x	x	x	x	Solutions due, problem set 1 (shifted)
8.4.	x	x	x	x	x
15.4.	x	x	x	x	Hints, problem set 2
22.4.	x	x	x	Problem set 3	Solutions due, problem set 2
29.4.	x	x	x	x	x
6.5.	x	x	x	Problem set 4	x
13.5.	x	x	x	x	Hints, problem set 3
20.5.	x	x	x	x	Solutions due, problem set 3
27.5.					Hints, problem set 4
...
30.6.					Solutions due, problem set 4

Points for homeworks

Nickname	Problem set 1												Problem set 2											Problem set 3												Σ
	1a	1b	1c	2	3a	3b	3c	4	5a	5b	5c	Σ	1	2	3a	3b	4a	4b	4c	5a	5b	5c	Σ	1	2	3	4a	4b	4c	5	6	7	8a	8b	Σ
Maximum	1	1	2	6	2	2	4	4	2	4	2	30	2	4	4	4	2	4	4	2	2	2	30	2	2	4	2	2	4	2	4	2	2	4	30	90
ms	1	1	2		2	2	2	2	2		2	16	2		2		2			2	2	2	12	2		4									6	34
	1	1	2		2							6																								6

Literatura

Většina probíraných témat je v knize I. Kantor, J. Matoušek, R. Šámal: Mathematics++ (měla by být v knihovně v dostatečném počtu). Pokud ne, ozvěte se. Další prameny pro první část přednášky:

Kurz Hameda Hatamiho
Audrey Terras: Fourier Analysis on Finite Groups and Applications (London Mathematical Society Student Texts)
Kurz Irit Dinur a Ehuda Friedguta
Kurz Ryana O'Donnella
Kurz Guye Kindlera
T. W. Körner: Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1989
Y. Katznelson: An Introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press, 2004

Probraná témata

1. přednáška 26.2.2020 (MT): Diskrétní Fourierova transformace = převod funkcí definovaných na konečné abelově grupě do šikovné báze. Definice charakterů a jejich vlastnosti. Podle knížky kapitola 3.1. Systematická verze Fourierovy transformace (pouze definice).
2. přednáška 3.3.2020 (MT): Tradiční verze Fourierovy transformace, definice. Inverzní Fourierova transformace. Základní vlastnosti: Plancherelova a Parsevalova věta. Aplikace: testování linearity booleovské funkce. Kapitoly 3.2 a 3.3.1 podle knihy.
Doporučené téma 3. přednáška, samostatné četba, 18. 3.:: Aritmetické posloupnosti v $\mathbb Z_3^n$. Kapitoly 3.3.2 a 3.4 podle knihy.
Doporučené téma 4. přednáška, 25. 3.:: Konvoluce. Násobení polynomů pomocí konvoluce. KKL věta (stačí projít orientačně; neočekává se, že se důkaz budete učit podrobně). Součet charakterů přes podgrupu a Poissonova sumační formule. Kapitoly 3.4, 3.5 a 3.6 z knihy (pouze velmi stručně).
Doporučené téma 5. přednáška, 1. 4.:: Charaktery, a Fourierova transformace v nekonečných grupách. Popis $\hat{\mathbb Z}$, $\hat{\mathbb R}$ a $\hat{\mathbb T}$. Dále Fourierova analýza pro $\mathbb T$, tedy analýza 1-periodických funkcí. Inverzní Fourierova transformace - Fourierova řada. Fourierova řada pro reálnou 1-periodickou funkci (převod z komplexní exponenciely na siny a kosiny). Konvergence Fourierovy řady: Dirichletova a Fejérova věta. Fourierův koeficient derivace. Kapitoly 3.7.1., 3.7.3, 3.7.5.
Doporučené téma 6. přednáška, 8. 4.:: Motivace a definice reprezentací. Základní příklady. Invariantní podprostor, ireducibilní reprezentace. Rozklad libovolné reprezentace na ireducibilní reprezentace. Weylův unitární trik. (Tenzorový součin lze přeskočit.) Kapitoly 4.1, 4.2.
Doporučené téma 7. přednáška, 15. 4.:: Charakter reprezentace. Schurovo lemma. Ortogonalita funkcí $r_{i,j}$. Charaktery neekvivalentních ireducibilních reprezentací jsou ortonormální. Jednoznačnost rozkladu reprezentace na ireducibilní, charakter určuje reprezentaci. Rozklad regulární reprezentace. Nekomutativní Fourierova analýza. Kapitola 4.3.
Doporučené téma 8. přednáška, 22. 4.:: Ireducibilní reprezentace symetrické grupy. Aplikace v komunikační složitosti (Raz, Spieker). Jedná se o poslední podkapitolu kapitoly 4.
Doporučené téma 9. přednáška, 29. 4.:: Úvod, Schwartz-Zippelovo lemma, polynomiální testování identit. Kapitoly 5.1, 5.2, 5.3.
Doporučené téma 10. přednáška, 6. 5.:: Interpolace, nakažlivé nulování, příprava na Nullstellensatz. Podkapitoly 5.4, 5.5.
Doporučené téma 11. přednáška, 13. 5.:: Nullstellensatz. Podkapitola 5.6.
Doporučené téma 12. přednáška, 20. 5.:: Bézoutova nerovnost. Stručně o Groebnerových varietách. Podkapitoly 7, 8.4.