Vyuka - Martin Klazar

Doba a místo. Přednášku mám v úterý v 10:40 - 12:10 v posluchárně S3 v budově na Malostranském náměstí. Druhé dvě paralelky učí kolegyně J. Stará (st 12:20 S5) a kolega R. Šámal (st 15:40 S3).

Literatura. Je uvedena v SISu (skripta prof. Pultra jsou dostupná na jeho webové straně) a v knihovnách lze nalézt celou řadu nejrůznějších učebnic matematické analýzy (v češtině i angličtině). Základní učebnice, podle níž by se přesně vyučovalo, pro tento předmět ale není. Doporučuju rovněž sledovat záznamy z přednášek, které budu níže umísťovat. Zde je pro zajímavost můj učební text k této přednášce před 4 lety, kdy ale měla dvojnásobný hodinový rozsah (4/2).

Cvičení a cvičící. K mé paralelce vedou cvičení RNDr. Naděžda Krylová, CSc. (čt 15:40 S6), RNDr. Markéta Lopatková, Ph.D. (út 14:00 S6, út 15:40 S7) a RNDr. Jaroslav Drahoš (st 14:00 T7) (S=malostranská budova, T= budova v Troji). Zápočet ze cvičení je nutný pro připuštění ke zkoušce. Uděluje se za přiměřenou (aktivní) účast na cvičeních a za přiměřený výkon v zápočtovém písemném testu, podle upřesnění cvičící(ho).

Informace pro studenty kombinovaného studia. S kolegy učícími zbylé dvě paralelky jsme si vás rozdělili abecedně podle příjmení takto: A-J Šámal K-P Stará a Q-Z Klazar (teď už to je v souladu s informacemi pro posluchače kombinovaného studia, omlouvám se za zmatek), toto rozdělení bude závazné hlavně pro zkoušku. Obracejte se prosím na nás podle něj (individuální přesuny jsou ve zdůvodněných případech možné). Obecně lze říci, že požadavky pro udělení zápočtu a ke zkoušce jsou stejné jako u prezenčního studia. Podle svých časových možností si vyberte některého cvičícího, nejlépe k odpovídající přednášce, a domluvte se s ním na podmínkách zápočtu. (Ve cvičeních k mé paralelce to bude typicky znamenat napsání zápočtového testu na daný minimální počet bodů, ale přesně to nechávám na cvičícím.)

1. přednáška 5. 10. 2010. Organizační poznámky. První část - reálná čísla. Číselné obory N, Z a Q. Q je uspořádané těleso a R rovněž. Cantorova věta o nespočetnosti R. Skoro všechna reálná čísla nejsou algoritmicky vyčíslitelná. Text 1. přednášky. Úlohy k přednášce. 1. Uveďte další příklady konečných těles. 2. Ukažte, že uspořádané těleso je nutně nekonečné. 3. Jsou-li množiny X₁, X₂, ... nejvýše spočetné, pak i jejich celkové sjednocení je nejvýše spočetná množina. 4. Dokažte, že množina všech podmnožin množiny N (přirozená čísla) je nespočetná.

2. přednáška 12. 10. 2010. Iracionalita odmocniny ze 2. Horní a dolní meze množiny, maxima, minima, infima, suprema. Příklady, zejména: neprázdná a shora omezená množina zlomků, která nemá supremum. Věta o supremu: každá neprázdná a shora omezená množina reálných čísel má supremum (zatím bez důkazu). Cantorova věta o vnořených intervalech. Text 2. přednášky.

Pozor: v rámci výměny přednášky s lineární algebrou (předn. J. Matoušek) je v pondělí 18. 10. od 14 h v S5 místo LA přednáška z analýzy, v úterý 26. 10. je naopak od 10:40 v S3 místo analýzy přednáška z LA.

3. přednáška 18. 10. 2010. Připomenutí definice suprema. Důkaz věty o supremu: hladová definice "největšího prvku'' shora omezené množiny kladných desetinných rozvojů dává přesně její supremum. Druhá část - posloupnosti a řady reálných čísel. Posloupnosti, omezené, neklesající atd. Příklady, zadání posloupnosti vzorcem a rekurencí. Fibonacciova čísla. Limita posloupnosti, vlastní a nevlastní, příklady. Cauchyovské posloupnosti. Posloupnost 1, 1 + 1/2, 1 + 1/2 + 1/3, ... není cauchyovská. Viz část 2 učebního textu .

4. přednáška 19. 10. 2010. Důkaz pomocí binomické věty, že lim n^{1/n} = 1. Základní existenční věty o limitách posloupností: jednoznačnost limity, monotonie a omezenost zaručují konvergenci, podposloupnost má tutéž limitu, B.-W. věta (omezená posloupnost má konvergentní podposloupnost) a konvergence <=> cauchyovskost. Viz str. 16-22 učebního textu .

5. přednáška 2. 11. 2010. Limita a uspořádání, věta o 2 policajtech. Aritmetika limit. Rozšířená reálná osa, počítání s nekonečny, neurčité výrazy. Standardní limity lim n^a a lim q^n. Příklad: lim 2^n / n. Viz str. 22-32 učebního textu .

6. přednáška 9. 11. 2010. Limsup a liminf posloupnosti a_n, věta: limsup a_n = lim_k sup({a_k, a_{k+1}, ...}), bez důkazu. Nekonečné řady reálných čísel, příklady. Konvergentní a divergentní řady, člen řady, částečný součet, dvojznačnost značení řad (stejně se označuje posloupnost i její limita). Dvě důležité řady: geometrická řada 1 + q + q^2 + q^3 + ... a řada 1 + 2^s + 3^s + 4^s + ... a jejich konvergence. Důkaz konvergence řady 1/1^2 + 1/2^2 + ... převedením na řadu 1/1.2 + 1/2.3 + ... = 1. Tvrzení: nutná podmínka konvergence a Cauchyova podmínka konvergence (nutná a postačující). Viz strany 28 - 35 učebního textu. Úlohy k přednášce. 1. Sestrojte posloupnost (a_n) s vlastností, že pro každé rozšířené reálné číslo b existuje v (a_n) podposloupnost s limitou b. 2. Jak by se dokázalo, že 1/1^{3/2} + 1/2^{3/2} + ..., popřípadě obecně 1/1^s + 2^s + ... pro s > 1, konverguje za pomoci metody použité pro s = 2 ?

7. přednáška 16. 11. 2010. absolutní konvergence, implikuje konvergenci. Leibnizovo kritérium neabsolutní konvergence. Lineární kombinace řad. Řady s nezápornými členy: srovnávací kritérium, odmocninové kritérium, podílové kritérium. Příklady. Viz strany 35 - 40 učebního textu.

8. přednáška 23. 11. 2010. Abelovo a Dirichletovo kritérium neabsolutní konvergence řady, bez důkazu. Přerovnání řady nezmění její součet, pakliže konverguje absolutně, důkaz. Na druhou stranu, u neabsolutně konvergentní řady lze přerovnáním součet libovolně změnit, náznak důkazu. Třetí část - funkce jedné reálné proměnné. Rostoucí, omezené funkce atd. Definice různých okolí bodu. Definice limity funkce v bodě. Viz strany 43 - 52 učebního textu.

10. přednáška 7. 12. 2010. Příklady limit funkce v bodě. Jednostranné limity. Jednoznačnost funkční limity. Heineho definice limity, s důkazem. Aritmetika limit funkcí, limity funkcí a uspořádání - analogické limitám posloupností, bez důkazů. Spojitost funkce v bodě. Polynomy a racionální funkce jsou spojité v každém bodu svého definičního oboru. Viz strany 52 - 57 učebního textu.

11. přednáška 14. 12. 2010. Limita složené funkce, bez důkazu. Tvrzení o limitě monotónní funkce, důkaz. Spojitost funkcí na intervalu. Věta: funkce spojitá na kompaktním intervalu (tj. intervalu typu [a,b]) na něm nabývá maxima a minima, důkaz. Darbouxova věta o nabývání mezihodnot: když f(a)<c<f(b) a f je na [a,b] spojitá, pak existuje u, a<u<b, že f(u)=c, důkaz; stručněji: obraz intervalu spojitou funkcí je zase interval. Věta o spojitosti inverzní funkce, bez důkazu. Definice derivace, jednostranné derivace, geometrický a aproximační smysl derivace (speciálně: f'(a) existuje vlastní => f je v a spojitá). Viz strany 57 - 63, 75 - 76 učebního textu.

13. přednáška 4. 1. 2011. Rychlé opakování minulé odpadlé přednášky: (af + bg)' = af' + bg'; (fg)' = f'g + fg'; (f/g)' = (f'g - fg')/g^2; (f(g))' = f'(g).g'; (f^{-1})' = 1/f'(f^{-1}); (x^a)' = ax^{a - 1}; (e^x)' = e^x; (log x)' = 1/x; (sin x)' = cos x; (cos x)' = -sin x; (tan x)' = 1/(cos x)^2; (arcsin x)' = 1/(1 - x^2)^{1/2}; (arctan x)' = 1/(1+x^2); f'(a) != 0 --> f nemá v a lokální extrém; věty o střední hodnotě (Rolle a Lagrange). L'Hospitalovo pravidlo, bez důkazu. Věta o derivaci a monotonii, s důkazem. Derivace vyšších řádů. Konvexní a konkávní funkce. Konvexita implikuje vlastní jednostrannou derivaci, bez důkazu. Konvexita a druhá derivace, bez důkazu. Inflexní bod. Nutná podmínka inflexe a postačující podmínka inflexe, bez důkazů. Definice Taylorova polynomu funkce a jeho základní vlastnost, důkaz příště. Viz strany 88 - 100 učebního textu.

14. přednáška 11. 1. 2011.

leden 2011

Informace o přednášce Matematická analýza I (NMAI054, paralelka Z, vyučující M. Klazar)