Informace o zkoušce z Matematické analýzy I (NMAI054), ZS 2010/11 ---------------------------------------------------------------- Zkoušející: Martin Klazar ------------------------- Termíny zkoušek: 21. 1., 28. 1., 2. 2., 9. 2. a 16. 2. Eventuální další termíny budou vyhlášeny později. Přihlašování na zkoušku v SISu. Na tyto termíny se mohou zapisovat pouze studenti z mé paralelky I1Z (kruhy 43-46) a studenti kombinovaného studia (s příjmením Q-Z). Výjimky jsou možné jen po domluvě. Získání zápočtu je nutnou (a prakticky i postačující) podmínkou připuštění ke zkoušce. Bez uděleného zápočtu, zapsaného v SISu, nebude student ke zkoušce připuštěn. Zápočet uděluje cvičící. Typickou podmínkou pro udělení zápočtu může být účast v zápočtové písemce (+ zisk stanoveného minima bodů). Zkouška se skládá ze dvou písemek: (i) 90 min. zápočtová písemka na cvičení v posledním týdnu semestru, popř. později, na prověření početní techniky, se 4 příklady (příklady okruhů: limita posloupnosti, limita funkce, nekonečná řada, určení spojitosti/výpočet derivace, průběh funkce), a (ii) 90 min. písemka na zkoušce se 4 příklady na prověření teorie. U obou písemek není dovoleno používat ani písemné materiály (záznamy z přednášek, učebnice atd.) ani technické pomůcky (laptopy, mobily, kalkulačky atd.), pouze tužku, papír a vlastní hlavu. Výjimky v případě hendikepovaných studentů povoluje zkoušející. Okruhy příkladů v písemce na zkoušce: 1. Početní příklad jako v zápočtové písemce (limita posloupnosti nebo limita funkce nebo nekonečná řada nebo určení spojitosti/výpočet derivace nebo průběh funkce). 2. Jedna až dvě otázky z okruhů A níže (základní pojmy a definice). 3. Jedna otázka z okruhů B níže (věty a výsledky bez důkazů). 4. Jedna otázka z okruhů C níže (věty s důkazy). Příklady 2 a 3 budou obsahovat doplňující otázky ověřující porozumění danému pojmu či definici či větě. Hodnocení zkoušky ----------------- Písemka na cvičení: maximálně 16 bodů (zpravidla 4 body za příklad). Písemka na zkoušce: maximálně 24 bodů (zpravidla 6 bodů za příklad). Celkem lze tedy získat z obou písemek maximálně 40 bodů. 0 -19 bodů = "neprospěl(a)" 20-26 bodů = "dobře" 27-33 bodů = "velmi dobře" 34-40 bodů = "výborně". Ke zkoušce je započítávána 1/2 bodů z bonifikační písemky uprostřed semestru (tj. maximálně 8 bodů). Výsledky budou oznámeny po opravení písemek, zpravidla týž den. V nerozhodných a sporných případech může zkoušející položit doplňující ústní otázku/y. Okruhy otázek pro zkouškovou písemku ------------------------------------ (Poznámka z 11. 1. 2011: otázky A5, B10 až B12 a C14 nebyly kvůli odpadlé přednášce úplně celé probrány, ale vše lze nalézt v učebním textu, kde je prosím nastudujte.) A - základní pojmy a definice 1. (shora, zdola) omezená množina (posloupnost, funkce), supremum a infimum množiny reálných čísel. 2. vybraná posloupnost, (ne)rostoucí, (ne)klesající, monotonní, konstantní posloupnost. 3. (vlastní a nevlastní) limita posloupnosti, (prstencové, jednostranné) okolí bodu, cauchyovská posloupnost. 4. nekonečná řada, (částečný) součet řady, konvergentní a divergentní řady, absolutní konvergence řad, Cauchyova podmínka pro řady. 5. (lokální, globální, ostré) maximum a minimum funkce na množině. 6. (jednostranná, nevlastní) limita funkce v bodě a (jednostranná) spojitost funkce v bodě, spojitost na intervalu. 7. (jednostranná) derivace funkce v bodě, derivace vyšších řádů. 8. (ryze) konvexní a (ryze) konkávní funkce, inflexní bod. 9. Taylorův polynom a Taylorova řada funkce. B - věty a výsledky bez důkazů 0. Základní vlastnosti reálných čísel (nespočetnost, úplnost-existence suprema, vlastnost vnořených intervalů). 1. Základní vlastnosti limit posloupností (Věta, Tvrzení 2.1 až 2.5: jednoznačnost l., l. a monotonie, podposloupnost a l., B.-W. věta, l. a cauchyovskost). 2. Vztahy mezi uspořádáním, resp. aritmetickými operacemi, a limitou posloupnosti (Věta, Tvrzení 2.6 až 2.8: l. a uspořádání, věta o 2 policajtech, l. a aritmetické operace). 3. Kritéria konvergence řad (Věta, Tvrzení 2.14, 2.16 až 2.18: Leibnizovo kr., srovnávací kr., Cauchyovo odmocninové kr., d'Alambertovo podílové kr.). 4. Konvergence a součet dvou nejdůležitějších řad (geometrická řada a řada 1^s + 2^s + 3^s + ...). 5. Kritéria neabsolutní konvergence řad (Věta 2.20: Abelovo-Dirichletovo kr.). 6. Věty o přerovnávání řad (Věty 2.22 a 2.23: rozdíl mezi přerovnáváním absolutně a neabsolutně konvergentní řady). 7. Základní vlastnosti limit funkcí (Věta, Tvrzení 3.2 až 3.4: Heineho definice limity, l. funkce a aritmetické operace, l. funkce a uspořádání). 8. Výsledky o limitě a skládání, resp. monotonii, funkcí (Věty 3.5 a 3.6: l. funkce a skládání funkcí, l. funkce a monotonie funkce). 9. Vlastnosti funkcí spojitých na intervalu (Věty 3.7 až 3.9: Darbouxova věta o nabývání mezihodnot, princip maxima a minima pro spojité funkce, spojitost inverzní funkce). 10. Základní výsledky o derivacích a jejich počítání (Věta, Tvrzení 4.1 až 4.4: derivace a spojitost, aritmetika derivací, derivace a složené funkce, derivace a inverzní funkce, též přehled derivací elementárních funkcí). 11. Výsledky o souvislosti monotonie funkce a jejích extrémů s derivací (Tvrzení 4.5, Věta 4.11: d. a lokální extrém funkce, d. a monotonie funkce). 12. Věty o střední hodnotě a jejich aplikace (Věta, Tvrzení 4.6 až 4.7, 4.9: Rolleova a Lagrangeova věta o střední hodnotě, l'Hospitalovo pravidlo). 13. Věty o derivaci a konvexitě/konkavitě (Věta, Tvrzení 4.12 až 4.15). 14. Taylorův polynom (Věta 4.17 charakterizující T. polynom a důsledek Věty 4.18 - dva tvary zbytku Taylorova polynomu, Taylorovy řady základních elementárních funkcí a jejich konvergence). C - věty s důkazy Reálná čísla. 1. Cantorova věta o vnořených intervalech (Věta 1.2). 2. Nespočetnost množiny R (Věta 1.3). 3. Dokažte, že odmocnina ze tří je iracionální číslo. Posloupnosti. 4. Výsledky o limitě monotónní posloupnosti a o limitě podposloupnosti (Věta 2.2 a Tvrzení 2.3). 5. Bolzanova-Weierstrassova věta (Věta 2.4). 6. Konvergence a cauchyovskost (Věta 2.5). Nekonečné řady. 7. Podmínka konvergence řady a vztah mezi absolutní konvergencí a konvergencí (Věta 2.12 a Tvrzení 2.13). 8. Leibnizovo kritérium konvergence (Věta 2.14). 9. Konvergence a součet geometrické řady. 10. Odmocninové kritérium konvergence (Věta 2.17). 11. Podílové kritérium konvergence (Věta 2.18). Limita a spojitost funkce. 12. Heineho věta (Věta 3.2) a tvrzení o limitě a uspořádání (Tvrzení 3.4). 13. Darbouxova věta (Věta 3.7) a věta o extrémech spojité funkce (Věta 3.8). Derivace funkce. 14. Věty o střední hodnotě (Věta 4.6 a 4.7). Věta o derivaci funkce a monotonii (Věta 4.11). Charakterizace Taylorova polynomu (Věta 4.17). Vzorová písemka na zkoušce -------------------------- Odpovědi zdůvodněte! 1. Spočtěte limitu lim_{x --> +nekonečno} x^2(log(1+1/x) - sin(1/x)). 2. Definujte pojmy: nekonečná řada, částečný součet řady, součet řady, konvergentní řada, divergentní řada, absolutně konvergentní řada, Cauchyova podmínka pro řady. Rozhodněte zda platí ekvivalence: řada a_1+a_2+a_3+a_4+... konverguje, právě když obě řady a_1+a_3+a_5+... a a_2+a_4+a_6+... konvergují. Pokud ne, rozhodněte, která z obou implikací platí (pokud vůbec nějaká platí). 3. Uveďte (a nedokazujte) výsledky o souvislost monotonie funkce a jejích extrémů s derivací (Tvrzení 4.5, Věta 4.11). Aplikujte tyto výsledky na funkci definovanou jako f(x) = 1 - cos x pro x z [-pi/2, pi/2] a x různé od 0 a f(0)=1/2 a určete s jejich pomocí lokální a globální extrémy f(x) na intervalu [-pi/2, pi/2]. 4. Dokažte, že množina reálných čísel je nespočetná.