Sylabus a literatura. Viz SIS.

1. přednáška 5. 10. 2015. 1. Metrické prostory. Metrický prostor, izometrie dvou metrických prostorů. Příklady metr. prostorů (l_p metrika a její speciální případy: euklidovská a maximová, L_p metrika definovaná pomocí integrálů, vzdálenost bodů na sféře, Hammingova metrika, ...). Tvrzení: sférická metrika na horní polosféře (vzdálenost dvou bodů je délka kratšího z obou oblouků, na něž tyto dva body dělí jimi procházející hlavní kružnici sféry) se nedá izometricky realizovat v žádném euklidovském prostoru R^n, důkaz. Úloha (dom. cv. na mém cvičení): jak by se totéž dokázalo pro malý sférický vrchlík. Pojem ultrametriky (nearchimedovské metriky). Úloha: dokažte, že v ultrametrice je každý trojúhelník rovnoramenný. Klasická norma (metrika) a p-adická norma (metrika) na celých číslech; p-adické metriky jsou ultrametriky. Ostrowskiho věta: jsou to jediné (netriviální) normy na Z, bez důkazu; přesněji, na Z máme pouze tyto normy: (i) (triviální norma) ||a|| = 1 pro každé nenulové číslo a a ||0|| = 0, (i) (klasická norma) ||a|| = |a|^c, kde c je pevná konstanta z (0, 1]  a (iii) (p-adická norma) ||a|| = c^{ord_p(a)}, kde c je pevná konstanta z (0, 1), p je pevné prvočíslo a ord_p(a) je to k, že p^k dělí a, ale p^{k + 1} už ne. Zápis z 1. přednášky (stejný jako před 2 lety).

2. přednáška 12. 10. 2015. Opakování látky z minulého semestru: koule B(a, r), otevřené a uzavřené množiny a jejich vlastnosti (uzávěrové vlastnosti, ekviv. def. uzavřené množiny), konvergence, spojitá zobrazení, spojitost <=> topologická spojitost (důkaz), kompaktní množiny a jejich vlastnosti (vztah ke spojitosti, k omezenosti a uzavřenosti, nabývání extrémů). Aplikace věty, že spojitá funkce nabývá na kompaktu extrémy: základní věta algebry (každý nekonstantní komplexní polynom má kořen), důkaz. Věta (Heineho-Borelova): množina X je kompaktní (každá posloupnost v X má konvergentní podposloupnost s limitou v X) <=> X je topologicky kompaktní (každé otevřené pokrytí X má konečné podpokrytí), důkaz příště. Zápis z 2. přednášky .  

3. přednáška 19. 10. 2015. Důkaz Heineho-Borelovy věty. Vnitřní, vnější, hraniční, limitní a izolované body množiny v metrickém prostoru, příklady. Homeomorfismus metr. prostorů, příklady. Mezi euklidovskými prostory [0, 2.pi) a jednotkovou kružnicí v rovině je  "skorohomeomorfismus" fi --> (sin fi, cos fi). Tvrzení: prosté spojité zobrazení na kompaktní množině již je homeomorfismus, důkaz. Souvislý metrický prostor: nemá netriviální obojetnou podmnožinu, příklady. Tvrzení: reálný interval je souvislý. Tvrzení: souvislost se zachovává spojitými zobrazeními, důkaz jako cvičení. Tvrzení (dokončující důkaz Základní věty algebry): každé komplexní číslo má každou k-tou odmocninu. Vlastní (topologický) důkaz příště, zatím příprava: zobrazení f(z) = z^k z C do C je spojité a na C bez nuly lokálně prosté. Zápis ze 3. přednášky.

4. přednáška 26. 10. 2015. Tvrzení: každé spojité a lokálně prosté zobrazení z S do S (S je jednotková kružnice v R^2) je na, důkaz. Křivková a oblouková souvislost. Tvrzení: (i) kř. souv. => souv., (ii) <= obecně neplatí, (iii) <= platí v metr. prostorech s kř. souvislými koulemi, důkaz (iii).  Zmínka o dvou prostupujících se souvislých podmnožinách čtverce. Úplné metr. prostory. Příklady. Tvrzení: podmnožina úplného metr.  prostoru je úplná, právě když je uzavřená, důkaz. Banachova věta o pevném bodu, dokončení důkazu příště. Zápis ze 4. přednášky .

5. přednáška 2. 11. 2015. Dokončení důkazu BVOP. Příklad: spojité funkce na [0, 1] s integrální metrikou nejsou úplný MP. Tvrzení: omezené funkce na lib. množině se sup. metrikou jsou úplný MP, důkaz. Věta: omezené spojité funkce na MP se sup. metrikou jsou úplný MP, důkaz. Důsledek: spojité funkce na [a, b] se sup. metrikou jsou úplný MP, důkaz. Příklad situace, kdy BVOP dokazuje existenci řešení: Picardova věta o řešení úlohy y' = f(x, y), y(a) = b, bez důkazu. 2. Posloupnosti a řady funkcí. Bodová, stejnoměrná a lokálně stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f_n: M to R, kde M je podmnožina R. Příklad s posl. funkcí f_n(x) = x^n na množině M = [0,1]. Stejnoměrná B.-C. podmínka: f_n na M stejnoměrně konverguje, právě když  pro každé e > 0 ex. N, že pro každé m, n > N a x z M je |f_m(x) - f_n(x)| < e, důkaz a pokračování příště. Zápis z 5. přednášky .

7. přednáška 16. 11. 2015. Důkaz stejnoměrné B.-C. podmínky. Tvrzení: 1) z lokálně stejnoměrné konvergence na kompaktu plyne stejnoměrná konvergence a 2) (Diniho věta) z monotónní konvergence spojitých funkcí ke spojité funkci na kompaktu plyne stejnoměrná konvergence, důkaz. Tři věty o záměně pořadí limity podle n a operace (limita v bodě, integrál, derivace). Mooreova-Osgoodova věta: mají-li funkce f_n(x) v bodě x_0 vlastní bodové limity a_n a konvergují-li na prstencovém okolí x_0 stejnoměrně k funkci f, pak existuje vlastní limita lim a_n = a a rovná se limitě funkce f(x) v bodě x_0, důkaz.  Věta o záměně  limity a integrace, začátek důkazu, dokončení bude příště. Zápis ze 7. přednášky .

8. přednáška 23. 11. 2015. Dokončení důkazu věty o záměně  limity a integrace. Věta o o záměně limity a derivace, bez důkazu. Graf spojité funkce lze aproximovat lomenou čarou, důkaz. Weierstrassova věta o aproximaci spojité funkce polynomem, bez důkazu. Řady funkcí. Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence řady funkcí, důkaz. Věty o záměně sumace s limitou v bodě, s integrováním a s derivováním. Příklady na tyto věty. Abelovo a Dirichletovo kritérium stejnoměrné konvergence - jen zmíněna, jejich formulace dána za dom. cv. Mocninné řady. Věta o poloměru konvergence, důkaz dán za dom. cv. Tvrzení o lokálně stejnoměrné konvergenci mocninné řady na intervalu konvergence, důkaz. Zápis z 8. přednášky .

9. přednáška 30. 11. 2015. Důsledek: funkce daná součtem moc. řady je nekonečně hladká. Abelova věta o moc. řadách, důkaz. Příklad: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = log 2. Fourierovy řady: základní definice (trig. řada, F. koeficienty, F. řada, skoroskalární součin dvou funkcí). Tvrzení o ortogonalitě sin(nx) a cos(nx), důkaz příště. Besselova nerovnost a Riemannovo-Lebesgueovo lemma, důkaz. Zápis z 9. přednášky.

10. přednáška 7. 12. 2015. Tvrzení o ortogonalitě sin(nx) a cos(nx), důkaz pomocí komplexní exponenciály. Po částech hladké funkce. Dirichletova věta: je-li f: [-pi, pi] --> R po částech hladká, pak její Fourierova řada bodově konverguje v x k hodnotě (f(x + 0) + f(x - 0))/2, důkaz příště. Věta: je-li navíc v D. větě f spojitá funkce, je konvergence její F. řady stejnoměrná, důkaz dělat nebudeme. Eulerův vzorec 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = pi^2/6, důkaz podle jednoho článečku z Internetu. Zápis z 10. přednášky.

11. přednáška 14. 12. 2015. Jeden příklad na Fourierův rozvoj (je uveden v zápisu z minulé přednášky). Důkaz Dirichletovy věty. 3. Úvod do komplexní analýzy. Definice holomorfní funkce (má v každém bodě otevřené množiny D komplexních čísel derivaci). Uvedena Základní věta: Je-li f(z) holomorfní na D, pak má f na D derivace všech řádů a v každém otevřeném kruhu se středem z_0 obsaženém v D je f(z) rovna součtu své Taylorovy řady se středem z_0. Tuto větu budeme ve zbývajících přednáškách dokazovat.  Zápis z 11. přednášky.

13. přednáška 4. 1. 2016. Dokazujeme větu: je-li f: C -> C celistvá funkce, pak existují taková komplexní čísla a_0, a_1, ..., že pro každé číslo z v C je f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + ... . Nejprve jsme dokázali větu o obdélníku, že pro každý pravoúhlý obdélník R v C (tj. se stranami rovnoběžnými s osami) má každá celistvá funkce nulový integrál přes hranici R. To platí i obecněji pro R obsažený v otevřené množině D a f holomorfní na D. Odtud jsme  pomocí integrace definovali ke každé celistvé funkci f její primitivní funkci F (jako F(z) = int_g f, kde g je libovolná pravoúhlá lomená čára spojující 0 s bodem z). Důkaz vyžaduje lemma, že každá uzavřená pravoúhlá lomená čára je součtem hranic pravoúhlých obdélníků - úloha. Tedy hned plyne (výpočtem integrálu pomocí primitivní funkce), že každá celistvá funkce má nulový integrál přes každou uzavřenou křivku. Pak jsme větu o obdélníku, existenci primitivní funkce a nulovost integrálu přes uzavřenou křivku mírně zobecnili: tyto vlastnosti má i každá funkce g tvaru g(z) = (f(z) - f(a))/(z - a) pro z různé od a, g(a) = (df/dz)(a), kde f je celistvá a a je libovolný bod. Tím jsem skončil, důkaz dokončím příště. Zápis ze 13. přednášky.