Informace o přednášce Matematická analýza II (NMAI055, paralelka X + Z 43-46, vyučující M. Klazar)

Sylabus a anotace. Viz SIS.

Doba a místo. pátek 9:00 - 10:30 v posluchárně S3 na Malé Straně. Druhou paralelku učí Mgr. Robert šámal, Ph.D.

Literatura. Je uvedena v SISu (skripta prof. Pultra jsou dostupná na jeho webové straně) a v knihovnách lze nalézt celou řadu nejrůznějších učebnic matematické analýzy (v češtině i angličtině). Základní učebnice, podle níž by se přesně vyučovalo, pro tento předmět ale není. Doporučuju proto sledovat záznamy z přednášek, které budu níže umísťovat.

Cvičení a cvičící. K mé paralelce vedou cvičení RNDr. Naděžda Krylová, CSc. (po 15:40 S6, po 17:20 S6, út 15:40 S7), Mgr. Libor Křižka (st 12:20 S6),   RNDr. Markéta Lopatková, Ph.D. (út 14:00 S6, čt 12:20 S7), Mgr. Václav Mácha (po 14:00 S11), RNDr. Pavla Pavlíková, Ph.D. (po 10:40 S1, po 12:20 S11) a Mgr. Robert šámal, Ph.D. (st 14:00 S7). Zápočet ze cvičení je  ke zkoušce nutný. Uděluje se za přiměřenou (aktivní) účast na cvičeních a za přiměřený výkon v zápočtovém písemném testu, podle upřesnění cvičící(ho).

Informace pro studenty kombinovaného studia. S kolegou učícím druhou paralelku jsme si vás rozdělili abecedně podle příjmení takto: A-M Klazar a N-Z šámal, toto rozdělení bude závazné hlavně pro zkoušku. Obracejte se prosím na nás podle něj (individuální přesuny jsou ve zdůvodněných případech možné).  Požadavky pro udělení zápočtu a ke zkoušce jsou stejné jako u prezenčního studia. Podle svých časových možností si vyberte některého cvičícího, nejlépe k odpovídající přednášce, a domluvte se s ním na podmínkách zápočtu. (Ve cvičeních k mé paralelce to bude typicky znamenat napsání zápočtového testu na daný minimální počet bodů, ale přesně to nechávám na cvičícím.)

Konzultační hodiny.  pátek 13-14 a  po dohodě (klazar et kam.mff.cuni.cz). Pracovnu mám v malostranské budově ve 2. patře, místnost č. 224.
Zkouška. Zkouškové termíny jsou zveřejněny v SISu. Zde jsou požadavky ke zkoušce z MAI055. 
1. přednáška  27. 2. 2009. 1. Primitivní funkce a Riemannův integrál.  Motivace: výpočet plochy roviného útvaru pod grafem funkce pomocí primitivní funkce (základní věta analýzy). Definice primitivní funkce a tvrzení o její (ne)jednoznačnosti (s důkazem). Spojitost prim. funkce a příklady nespojité funkce s prim. funkcí a funkce nemající prim. funkci. Každá spojitá funkce má prim. funkci (zatím bez důkazu).  Funkce, která má prim. funkci, nabývá všech mezihodnot (s důkazem). Vzorec pro integraci per partes (s důkazem) a pár příkladů na něj. O motivaci integrálu viz str. 1-4 učebního textu a o prim. funkci viz strany 112-119 učebního textu.
2. přednáška  6. 3. 2009. Tabulka primitivních funkcí k elementárním funkcím. Vzorec pro integraci pomocí substituce  (s důkazem) a příklady na něj. Příklady funkcí, jejichž primitivní funkce nelze vyjádřit vzorcem: exp(x2), 1/log x, sin(x)/x  ad.  (bez důkazu). Tvrzení o obecném tvaru primitivní funkce k racionální funkci (bez důkazu), pár příkladů. Darbouxova definice Riemannova integrálu funkce f: [a, b] --> R pomocí dolního a horního integrálu (dělení intervalu, dolní a horní součty atd.). Tvrzení: neomezená funkce není integrovatelná (důkaz jako cvicení). Příklad omezené funkce, která není integrovatelná (Dirichletova funkce). Riemannova funkce: f(p/q)=1/q, je-li p/q zlomek v základním tvaru, a f(x)=0 pro iracionální x --- má f integrál na intervalu [0, 1]? O primitivní funkci viz strany 112-119 učebního textu (bohužel tam chybí racionální funkce ) a o integrálu viz strany 4-9 učebního textu.
3. přednáška  13. 3. 2009. Tvrzení o nerovnostech mezi dolními a horními součty pro různá dělení intervalu (důkaz). Důsledek: f má na [a, b] integrál, právě když rozdíl S(f, D) - s(f, D) může být pro vhodná dělení D intervalu [a, b] libovolně malý (důkaz). Věta: 1) monotónní funkce jsou integrovatelné a 2) spojité funkce jsou integrovatelné (důkaz, dokončení důkazu 2 příště).  Úložka: sestrojte rostoucí funkci f: [0, 1] --> R, která je nespojitá v každém racionálním čísle a spojitá v každém iracionálním čísle. Věta (Lebesgue): f je na [a,b] integrovatelná, právě když je omezená a množina jejích bodů nespojitosti má míru 0 (bez důkazu), vysvětlení a aplikace příště. Viz strany 6-16 učebního textu.
4. přednáška  20. 3. 2009. Výsledek o stejnoměrné spojitosti dokážeme později v rámci metrických prostorů. Množiny míry 0 a jejich vlastnosti. Důsledky Lebesgueovy věty: součet i součin integrovatelných funkcí jsou integrovatelné atd. Tvrzení: integrovatelné funkce tvoří vektorový prostor a integrál je lineární zobrazení (důkaz). Tvrzení:  integrál f přes [a, b] = integrál f přes [a, c] + integrál f přes [c, b] (důkaz jako cvičení). Dvě základní věty analýzy: 1) F(x)=(integrál f přes [a, x]) je spojitá funkce a F'(x)=f(x) v každém bodu x spojitosti funkce f, 2) má-li f na [a, b] integrál a primitivní funkci F, potom integrál f přes [a, b] = F(b) - F(a). Důkaz příště. Viz strany 16-22 učebního textu.
5. přednáška  27. 3. 2009. Důkaz základní věty analýzy. Newtonův integrál a jeho srovnání s Riemannovým integrálem. Počítání integrálů per partes a substitucí. Aplikace integrálů: integrální kritérium konvergence řad. Viz strany 20-26 učebního textu.
6. přednáška  3. 4. 2009. Odhad harmonických čísel (1+1/2+...+1/n) a faktoriálu (log 2 +log 3+...+log n) pomocí integrálu. Rozšiřování faktoriálu pomocí integrálů (gamma funkce). Vzorce pro délku křivky v rovině, obsah rovinného útvaru a objem rotačního tělesa pomocí integrálu. Viz strany 26-32 učebního textu. 2. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Euklidovský prostor R^n, euklidovská vzdálenost a norma. Funkce z (podmnožiny) R^m do R a zobrazení z (podmnožiny) R^m do R^n. Viz přednáška 5 před dvěma lety.
7. přednáška  10. 4. 2009. Parciální derivace funkce a diferenciál funkce i zobrazení v daném bodě a. Příklady na parciální derivace (samy o sobě nezaručují spojitost v daném bodě). Tvrzení: (i) diferenciál zobrazení f=(f_1, f_2, ..., f_n), kde f_i=f_i(x_1, x_2, ..., x_m) jsou souřadnicové funkce, je určený jednoznačně, (ii) f  má diferenciál v a, právě když ho má každá f_i a (iii) diferenciál v a implikuje spojitost v a, bez důkazu. Tvrzení: má-li zobrazení f v a diferenciál, jsou prvky matice (tzv. Jacobiho matice f v a), jež ho určuje, rovny hodnotám parciálních derivací souřadnicových funkcí v a, důkaz. Věta: má-li funkce f v okolí a všechny parciální derivace a ty jsou spojité v a, pak má f v a diferenciál, důkaz pro případ dvou proměnných. Viz  přednáška 5 před dvěma lety a přednáška 6 před dvěma lety.
8. přednáška  17. 4. 2009. Lagrangeova věta o střední hodnotě pro funkce více proměnných, bez důkazu. Souvislá otevřená množina, funkce je na ní konstantní, má-li v každém bodě nulový diferenciál. Počítání s diferenciály a parciálními derivacemi. Věta: diferenciál složeného zobrazení  je  složenina diferenciálů, s důkazem. Řetízkové pravidlo pro parciální derivování složené funkce. Geometrický význam diferenciálu: rovnice tečné roviny ke grafu funkce.  Viz  přednáška 6 před dvěma lety a přednáška 7 před dvěma lety.
9. přednáška  24. 4. 2009. Parciální derivace vyšších řádů. Tvrzení: na pořadí proměnných ve smíšených parciálních derivacích nezáleží, pokud jsou v daném bodu spojité, důkaz. Tvrzení: Taylorův rozvoj pro funkce více proměnných, bez důkazu. Věta: kritérium lokálního extrému pomocí matice druhých derivací, důkaz příště. Viz přednáška 7 před dvěma lety.
10. a 11. přednáška 1. a 8. května kvůli státním svátkům odpadají --- jsou proto nahraženy učebním textem o vícerozměrném integrálu a přednáškou 9 před dvěma lety. 15 kopií těchto textů je k rozebrání na skříni před pracovnou č. 224 (na chodbě KAM).
12. přednáška  15. 5. 2009. Věta o implicitních funkcích, příklad,  a její důsledky: existence inverzního zobrazení  a tvrzení o Lagrangeových multiplikátorech (vše bez důkazu). přednáška 10 před dvěma lety.
13. přednáška  22. 5. 2009. 3. Metrické prostory. Definice a příklady, otevřená koule B(a, r), otevřené a uzavřené množiny. Tvrzení o vlastnostech otevřených a uzavřených množin (průniky a sjednocení, uzavřenost=uzavřenost na limity), důkaz. Kompaktní množiny v metr. prostorech. Tvrzení o vlastnostech spojitých funkcí na kompaktních množinách (stejnoměrná spojitost, nabývání extrému), důkaz. Tvrzení o kompaktních množinách v euklidovském prostoru R^n (jsou to právě uzavřené a omezené množiny), náznak důkazu. (Tato látka je obsažená v přednáškách 1-3 MAIII před dvěma lety. )

květen 2009