Home     Teaching     Research     Misc

Milan Hladík Lineární algebra 1 (NMAI057), zimní semestr 2022/2023

Přednáška

  Základní literatura - skripta: M. Hladík, Lineární algebra (nejen) pro informatiky, MatfyzPress, 2019.

  Doplňkové slajdy k přednášce.

  Konzultační hodiny: po dohodě.

Zkoušky:

Na zkoušku se přihlašuje přes studijní informační systém (SIS). Bude vypsáno pět řádných termínů (10.1., 17.1., 24.1., 31.1., 2.2.) a jeden předtermín (2.1.). Na zkoušku lze přijít pouze s uděleným zápočtem, pokud nemáte vyjednanou výjimku (na zapsání na termín zkoušky ale zápočet není třeba). Při zkoušce jsou zapovězeny mobily, kalkulačky, zápisky, učebnice, etc. Zkouška začíná ráno od 9:00 písemnou částí na 90 minut, skládající se z početních, teoretických a kvízových příkladů. Na základě výsledků písemné části vám bude navržena známka, kterou si můžete nepovinně vylepšit o jeden stupeň při ústním zkoušení odpoledne. Ústní zkoušení začíná náhodným výběrem jednoho z témat uvedených zde: zkoušková témata v pdf. Na přípravu bývá dost času. Správné zpracování vylosovaného tématu zahrnuje: definování příslušných pojmů, formulace souvisejících tvrzení, alespoň jeden netriviální důkaz a také souvislost s ostatními pojmy a výsledky. Řada témat je totiž průřezová! Zde je příklad, jak by mohlo vypadat zpracování tématu jádro matice. Na předtermínu se zkouší pouze teorie, a to ústně.

Příklad souvislostí v lineární algebře je pěkně dokumentován mapou lineární algebry od Pavla Klavíka. Viz také osobní stránky Pavla Klavíka.

Vzorová dopolední písemka je zde. Velmi doporučuji vytisknout a zkusit vypracovat nanečisto!

A zde jak nemá vypadat odevzdaná písemka.

Probraná a plánovaná témata:

4.10.	Soustavy lineárních rovnic, elementární řádkové úpravy, odstupňovaný tvar matice (REF), Gaussova eliminace. [skripta: sekce 2.1-2.2]
11.10.	Redukovaný odstupňovaný tvar matice (RREF) a Gauss-Jordanova eliminace. Operace s maticemi: sčítání, násobení skalárem, násobení matic a transpozice. Součin vektorů. První setkání s maticemi zobrazení. [skripta: sekce 2.3, 3.1]
18.10.	Regulární matice a jejich vlastnosti, elementární matice. Inverzní matice: existence a jednoznačnost, "jedna rovnost stačí". Vlastnosti inverzních matic. Druhé setkání s maticemi zobrazení. [skripta: sekce 3.2-3.3]
25.10.	Numerická stabilita soustav rovnic. Interpolace polynomem a Vandermondova matice. Grupy a jejich vlastnosti, podgrupy. Permutace, znaménko permutace, symetrická grupa permutací. Tělesa: definice, vlastnosti. [skripta: sekce 3.5-6, 4.1-4.3]
1.11.	Konečná tělesa Zp. Charakteristika tělesa, malá Fermatova věta, aplikace: samoopravné kódy. Úvod do vektorových prostorů: definice prostoru a podprostoru, příklady. Lineární obal. [skripta: sekce 4.3-4.5, 5.1-5.2]
8.11.	Lineární obal a lineární kombinace. Lineární závislost a nezávislost, různé charakteristiky. Báze prostoru, souřadnice a jejich linearita, věta o existenci báze. Steinitzova věta o výměně a důsledek. [skripta: sekce 5.2-5.4]
15.11.	Dimenze, vztah počtu prvků k dimenzi. Rozšíření lineárně nezávislého systému na bázi. Dimenze prostoru a podprostoru. Věta o dimenzi spojení a průniku podprostorů. Maticové podprostory (řádkový, sloupcový, jádro) a změna při násobení maticí zleva. [skripta: sekce 5.5-5.6]
29.11.	Maticové prostory a RREF, hodnost matice a její traspozice. Nástin několika aplikací. Lineární zobrazení: definice, příklady, vlastnosti. Obraz a jádro zobrazení. [skripta: sekce 5.6-5.7, 6.1]
6.12.	Charakterizace prostého lineárního zobrazení. Jednoznačnost vzhledem k obrazům báze. Maticová reprezentace lineárního zobrazení. Jednoznačnost matice lineárního zobrazení. Matice přechodu. [skripta: sekce 6.1-6.2]
13.12.	Matice složeného zobrazení. Isomorfismus prostorů: vlastnosti, matice isomorfismu a isomorfismus n-dimenzionálních prostorů. [skripta: sekce 6.2-6.3]
20.12.	Dimenze jádra a obrazu. Prostor lineárních zobrazení, lineární funkcionál a duální prostor. Iterativní metody na řešení soustav lineárních rovnic a Gaussova–Seidelova metoda. LU rozklad a jeho vlastnosti, algoritmus nalezení LU rozkladu. [skripta: sekce 6.3-6.4,3.4-3.5]
3.1.	Afinní podprostory: charakterizace a souvislost se soustavami rovnic, dimenze, afinní kombinace, afinní nezávislost, afinní zobrazení. [skripta: sekce 7.1-7.2]

Další literatura:

• Přibližný podrobný sylabus přednášky najdete na stránkách J. Matouška.

• L. Barto a J. Tůma: elektronická skripta
• J. Rohn: Lineární algebra a optimalizace, 2004 (ke stažení zde a ve formě slajdů zde)
• L. Bican: Lineární algebra a geometrie, 2000
• J. Bečvář: Lineární algebra, 2005

• Povídání o lineární algebře, postupně vznikající doplňující text od P. Klavíka

Sbírky úloh k procvičení:

• vzorové cvičení od M. Hladíka,
• (nejen) pro případnou distanční výuku postupně se rozšiřující materiál:
  • příklady na procvičení pouze zadání, a zde i s řešením (nejprve příklady zkuste vyřešit sami!)
  • úlohy vhodné jako domácí, bez řešení
• elektronická sbírka od J. Fialy
• L Bican: Lineární algebra v úlohách, 1979
• J. Bečvář: Sbírka úloh z lineární algebry, 1975
• K. Výborný, M. Zahradník: Používáme lineární algebru, 2002 (pro náročnější)

Další inspirace v češtině:

• M. Čadek (skripta + sbírka úloh), P. Olšák (přednáška), Dostál, Vondrák & Lukáš (slajdy+testy), P. Zlatoš: Lineárna algebra a geometria (slovensky), učební text a příklady od J. Slováka, Matematika on-line Ústavu informatiky FSI VUT v Brně

Další inspirace v angličtině:

• J. Hefferon: Linear algebra, (rozsáhlá sbírka úloh a kniha)
• C.D. Meyer: Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM, 2000
• legendární videozáznam přednášek G. Stranga na MIT, 1999
• Essence of linear algebra, animované vysvětlení lineární algebry, případně další příspěvky kanálu 3Blue1Brown

Software:

• komerční: Matlab, Maple, Mathematica
• nekomerční: Octave, Scilab

Různé poznámky:

• článek o tom jak permutace optimalizují strategii výběru životního partnera

Cvičení (Pá 11:30 N3, skupina X.33)

Podmínky pro zápočet:

• získat aspoň 50% bodů (konkrétně aspoň 60 bodů ze 120) za domácí úkoly (zde v PDF), termín odevzdání je vždy následující cvičení
• získat aspoň 50% bodů (konkrétně aspoň 60 bodů ze 120) za písemky, přičemž na začátku každého cvičení se píše malá písemka

Body za domácí úkoly:

Skupina 33	1  2  3  4  5  6  7  8  9	∑
JustPatrik	10 10 10 05 10 03 09 -- 08	65
anonym1	-- -- -- -- -- -- -- -- --	0
pernikar	10 10 10 05 10 03 10 08 --	66
Trumtulus	10 12 10 10 09 10 10 -- --	71
X	08 10 10 -- 10 02 03 -- 08	51
jinx	10 10 10 -- 10 03 03 -- 07	53
WildGreen	10 06 10 05 09 03 10 07 --	60
KH	10 14 10 10 10 10 10 09 10	93
puppy223	10 10 10 10 09 02 10 -- --	61
Luborché	10 12 10 10 -- 10 03 -- --	55
Adalbert Kolínsky	10 13 10 10 07 10 10 10 10	90
Miretka	10 14 10 05 10 10 10 -- --	69
bežec	08 10 10 10 08 05 10 -- --	61
Spekulant	10 12 10 10 09 10 10 08 --	79
lepsha	10 10 10 10 10 03 10 -- --	63
meelay	10 09 10 10 09 03 03 -- --	54
anonym3	10 10 10 10 03 -- 10 -- --	53
anonym2	-- -- -- -- -- -- 02 -- --	2
anonym5	10 10 10 10 -- 10 01 -- --	51
Guppy	10 10 10 10 10 03 03 02 10	68
Maxim Dokonalý	10 10 10 10 10 10 10 10 10	90

Body za písemky:

Skupina 33	1  2  3  4  5  6  7  8  9	∑
JustPatrik	10 10 10 03 10 08 10 04 10	75
anonym1	05 03 -- -- -- 06 -- -- --	14
pernikar	10 05 06 04 05 -- 10 04 04	48
Trumtulus	05 09 02 10 05 06 08 08 --	53
X	07 02 04 05 05 02 10 04 01	40
jinx	05 02 02 05 05 03 10 10 01	43
WildGreen	10 04 09 06 10 03 10 04 03	59
KH	10 09 10 01 07 03 07 08 10	65
puppy223	07 04 07 08 05 04 10 10 10	65
Luborché	08 05 10 09 -- 08 10 -- 08	58
Adalbert Kolínsky	10 10 10 09 10 10 10 10 10	89
Miretka	07 09 10 07 05 08 10 10 03	69
bežec	10 04 -- 04 -- 08 10 10 04	50
Spekulant	10 09 10 09 10 07 07 08 --	70
lepsha	-- 02 03 -- 10 01 01 -- --	17
meelay	10 08 02 08 04 07 05 08 07	59
anonym3	10 04 02 07 05 02 06 07 04	47
anonym2	10 01 05 00 -- 00 10 00 01	27
anonym5	10 01 02 05 06 03 08 -- --	35
Guppy	06 06 10 08 -- 04 -- 08 01	43
Maxim Dokonalý	10 10 10 10 10 10 10 10 10	90

Komu chybí max 10 bodů za písemky, může si doplnit počet bodů vyřešením dodatečných úloh. Každá úloha se počítá za 2 body. Komu chybí více bodů za písemky, je potřeba napsat náhradní zápočtovou písemku (termín domluvou).
Komu chybí body za domácí úkoly, domluvíme se na postupu individuálně.