|
|
Základní informace k přednáškám Lineární algebra 1 a 2.
Probraná a plánovaná témata:
| 1. | Soustavy lineárních rovnic, elementární řádkové úpravy, odstupňovaný tvar matice (REF), Gaussova eliminace.
[skripta: sekce 2.1-2.2] |
| 2. | Redukovaný odstupňovaný tvar matice (RREF) a Gauss-Jordanova eliminace. Operace s maticemi: sčítání, násobení skalárem, násobení matic a transpozice. Součin vektorů. První setkání s maticemi zobrazení.
[skripta: sekce 2.3, 3.1] |
| 3. | Regulární matice a jejich vlastnosti, elementární matice. Inverzní matice: existence a jednoznačnost, "jedna rovnost stačí". Vlastnosti inverzních matic. Druhé setkání s maticemi zobrazení.
[skripta: sekce 3.2-3.3] |
| 4. | Numerická stabilita soustav rovnic. Interpolace polynomem a Vandermondova matice. Grupy a jejich vlastnosti, podgrupy. Permutace, znaménko permutace, symetrická grupa permutací. Tělesa: definice, vlastnosti. [skripta: sekce 3.5-6, 4.1-4.3] |
| 5. | Konečná tělesa Zp.
Charakteristika tělesa, malá Fermatova věta, aplikace: samoopravné kódy. Úvod do vektorových prostorů: definice prostoru a podprostoru, příklady. Lineární obal. [skripta: sekce 4.3-4.5, 5.1-5.2] |
| 6. | Lineární obal a lineární kombinace.
Lineární závislost a nezávislost, různé charakteristiky.
Báze prostoru, souřadnice a jejich linearita, věta o existenci báze. Steinitzova věta o výměně a důsledek.
[skripta: sekce 5.2-5.4] |
| 7. | Dimenze, vztah počtu prvků k dimenzi. Rozšíření lineárně nezávislého systému na bázi. Dimenze prostoru a podprostoru. Věta o dimenzi spojení a průniku podprostorů. Maticové podprostory (řádkový, sloupcový, jádro) a změna při násobení maticí zleva. [skripta: sekce 5.5-5.6] |
| 8. |
Maticové prostory a RREF, hodnost matice a její traspozice. Nástin několika aplikací. Lineární zobrazení: definice, příklady, vlastnosti. Obraz a jádro zobrazení. [skripta: sekce 5.6-5.7, 6.1] |
| 9. | Charakterizace prostého lineárního zobrazení. Jednoznačnost vzhledem k obrazům báze. Maticová reprezentace lineárního zobrazení. Jednoznačnost matice lineárního zobrazení. Matice přechodu.
[skripta: sekce 6.1-6.2] |
| 10. |
Matice složeného zobrazení. Isomorfismus prostorů: vlastnosti, matice isomorfismu a isomorfismus n-dimenzionálních prostorů.
[skripta: sekce 6.2-6.3] |
| 11. |
Dimenze jádra a obrazu. Prostor lineárních zobrazení, lineární funkcionál a duální prostor. Iterativní metody na řešení soustav lineárních rovnic a Gaussova–Seidelova metoda. LU rozklad a jeho vlastnosti, algoritmus nalezení LU rozkladu. [skripta: sekce 6.3-6.4,3.4-3.5] |
| 12. | Afinní podprostory: charakterizace a souvislost se soustavami rovnic, dimenze, afinní kombinace, afinní nezávislost, afinní zobrazení.
[skripta: sekce 7.1-7.2] |
Podmínky pro zápočet:
