cvičení lineární algebry

středa 10:40

• 1. hodina - 16. 02.2022: Definice axiomatické a konkrétní. Vektorový prostor jako algebra; množina a struktura. Rozšíření struktury vektorového prostoru o skalární součin, možnost měřit velikosti vektorů - opravdu jsme si tak představovali vektorový prostor?
  • Domácí úkol není zadán.
• 2. hodina - 23. 02. 2022: Forma definic. Skalární součin: definice reálná i komplexní. Příklady skalárních součinů - standardní i nestandardní. Norma: definice a příklady norem (p normy a norma indukovaná skalárním součinem). Příklady na skalární součin a normy.
  • Domácí úkol č. 1.0. termín odevzdání do začátku cvičení 16. 03. 2022.
• 3. hodina - 02. 03.2022: Jednotková kružnice pro různé p-normy. Vylepšení báze vektorového prostoru: ortogonální a ortonormální báze a co tím získáme. Gram-Schmidtova ortogonalizace: princip (induktivní nakolmování vektorů odečtem ortogonální projekce - "toho, co lze z nakolmonovaného vektoru vyjádřit" již nakolmenými vektory) - výpočet dle „Zahradníka“ (z definice a geometricky) a výpočet dle algoritmu ze skript s využitím fourierových koeficientů. Souřadnice vektoru vůči ortonotmální bázi skalárním součinem (fourierův koeficient). Kolmost.
  • Domácí úkol č. 2.0. termín odevzdání do začátku cvičení 16. 03. 2022.
• 4. hodina - 09. 03. 2022: Vzdálenost bodu od roviny (použití ortogonální projekce). Gram-Schmidtova ortogonalizace LZ závislé množiny (pro "Z" algoritmus a pro algoritmus ze skript). Ortogonální doplněk: definice, vlastnosti ortogonálního doplňku množiny a prostoru. Výpočet ortogonáního doplňku přes ortogonální bázi a přes jádro matice. Vztah jádra matice a ortogonálního doplňku. Kolmost fundamentálních prostorů matice (R(A) vs Ker(A) a S(A) vs levý Kernel). Ortogonální projekce definice.
  • Domácí úkol č. 3.0. termín odevzdání do začátku cvičení 23. 03. 2022.
• 5. hodina - 16. 03. 2022: Ortogonální projekce: vztah minimality a kolmosti. Vypočet ortogonální projekce: a) přes ortonormální bázi za pomocí fourierových koeficientů; b) maticí projekce do sloupcového prostoru. Odvození matice projekce a její geometrický pohled dle Stranga. Metoda nejmenších čtverců a jejíc vztah k projekci: SLR Ax=b má řešení právě tehdy když b náleží S(A). Ale co když b nenáleží S(A)? Hledáme "nejlepší" možné b', co znamená nejlepší možné? - minimalita vzhledem k normě e-rror vektoru. Příklad na matici projekce.
  • Domácí úkol č. 4.0. termín odevzdání do začátku cvičení 31. 03. 2022.
• 6. hodina - 23. 03. 2022: Permutace: definice, metody zápisu, znaménko permutace a jeho vlastnosti. Determinant: definice, interpretace determinantu jako charakterizace matice. Výpočty determinantů z definice. Metody výpočtu pro malé matice (typu 2x2 a 3x3) a speciální matice např. diagonální, trojúhelníkové matice, výběr jediné nenulové permutace. Výpočet determinantu matice převodem na REF tvar matice a vliv elementárních řádkových úprav na hodnotu determinantu. Hodnota determinantu a regularita matice. Multiplikativnost determinantu. Cramerovo pravidlo (včetně geometrické interpretace). Determinant jako zobecněný objem (roznoběžnostěnu i změna objemu lineárním rozbrazením).
  • Domácí úkol č. 5.0 termín odevzdání do začátku cvičení 20. 04. 2022.
• 7. hodina - 30. 03. 2022: Pokračování determinantu - Cramerovo pravidlo a jeho důkaz včetně geometrické intuice. La Placeho rozvoj determinátu podle řádku a sloupce. Adjungovaná matice a výpočet inverzní matice - důkaz: multi La Place; celočiselný inverz matice a determinant.
  • Domácí úkol č. 6.0. termín odevzdání do začátku cvičení 20. 04. 2022.
  • Domácí úkol č. 6.1. termín odevzdání začátku cvičení do 20. 04. 2022.
• 8. hodina - 06. 04. 2022: Pokračování determinantu - příklady a vysvětlení: rozvoj podle řádku/sloupce. La Place. Adjungovaná, inverzní a celočíselná inverzní matice. Vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory. Definice. Geometrická interpretace a rozdíl mezi škálováním v tělese reálných a komplexních čísel. Způsob výpočtu vlastních čísel a proč se nevyhneme tělesu komplexních čísel. Výpočty vlastních čísel a příslušných vlastních vektorů, charakteristický polynom, určení algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Matice společnice.
• 9. hodina - 13. 04. 2022: Diagonalizace matice - pohled lineárního zobrazení a geometrická interpretace: "zjednodušit" LZ v maticové reprezentaci/"vidět do LZ" volbou vhodné báze. Podmínky diagonalizace: ekvivaletní podmínka (n LN VLV) a implikace (n různých VLČ).
• 10. hodina - 20. 04. 2022: Jordanova forma a nediagonalizovatelné matice. Mocnina matice a maticové procesy. Symetrické matice, rozklady symetrických matice a reálná VLČ. Pokračování příkladů.
• 11. hodina - 27. 04. 2022: Výpočty VLČ a VLV - mocniná metoda a graf konvergence. Geshgorinovi disky a diagonálně dominantní matice. Pokračování příkladů-
• 12. hodina - 04. 05. 2022: Pozitivní (semi)definitnost: definice, motivace (zobecněné kvadratické rovnice, energie systému, Hessián, lehce skalární součiny, maticové hry dvou hráčů), zesymestrizování matice, převod matice na analytickou formu, kriteria a příklady testování PD: vlastní čísla, Choleského rozklad, rekuretní vzorec, GE, Sylvestrovo kritérium. Třída matic zobrazující daný vektor na danou hodnotu.
• 13. hodina - 11. 05. 2022: Pozitivní definitnost a semidefinitnost: definice a ekvivaletní podmínky. Motivace: reprezentace skalárních součinů, "energie systémů", ... Metody testování pozitivní definitnosti a semidefinitnosti a jejich porovnání. Cholského rozklad. Skalární součiny a jejich charakterizace - umíme je popsat všechny, "všechny skalární součiny jsou si rovny až na změnu báze" - rozebrání důkazu věty.