cvičení lineární algebry

čtvrtek 10:40 v N4

• 1. hodina - 29. 09. 2022: Podmínky zápočtu, literatura. Plán konstrukce cvičení a lehké představení látky zimního semestru. (cvičení se koná před první přednáškou) Úvod do (nestandardního) počítání v konečném tělese/grupě (Z_3 a Z_5 se sčítáním a násobením; uzavřenost, neutrální a inverzní prvky).
• 2. hodina - 06. 10. 2022: Soustavy reálných lineárních rovnic: motivace, definice rovnice a soustavy reálných lineárních rovnic. Co znamená řešit rovnici a co řešit soustavu rovnic. Řádkově odstupňovaný tvar matice - REF a RREF tvar. Gaussova eliminační metoda a elementární řádkové úpravy. Příklady na řešení soustavy lineárních rovnic - (ne)jednoznačnost řešení či jeho neexistence. Geometrická řádková interpretace řešení SLR (řádková interpretace).
• 3. hodina - 13. 10. 2022: Test. Homogenní reálná SLR a její řešení - právě jedno a to nulový vektor a nebo nekonečno včetně nulového vektoru. Příklady na vypametrizování v GE. Matice a maticové operace. (Ne)standardnost asociativity a komutativity.
• 4. hodina - 20. 10. 2022: Maticové násobení - definice, výpočet, mnemotechnická pomůcka výpočet „křížem“. Vlastnosti maticového násobemí - zejména nekomutativita. Násobení matice vektorem z prava jako sloupcový selektor a násobení matice vektorem z leva jako řádkový selektor. Matice elementárních řákových úprav. Reprezentace SLR pomocí maticového násobení Ax=b a sloupcová interpretace řešení SLR při zápisu Ax=b. Transpozice matic a její vlastnosti, příklady.
• 5. hodina - 27. 10. 2022: Imatrikulace - výuka se nekoná
• 6. hodina - 03. 11. 2022: Homogenní reálná SLR a její řešení - právě jedno a to nulový vektor a nebo nekonečno včetně nulového vektoru. Regulární, singulární a kouzelná matice: definice, příklady, ověření regularity. Inverní matice: definice, jednotková matice, výpočet inverzních matic - Gauss-Jordanova elimanace, intuitivně inverzní matice jako inverzní rozbrazení (existuje-li) pro zobrazení: x -> Ax čili x -> b. Řešení SLR Ax=b pomocí inverzní matice - hledání vzoru. Vlastnosti inverzních matic.
• 7. hodina - 10. 11. 2022: Matematické objekty zadané: a) konkrétně - konstrukcí, b) abstraktně - vlatnostmi. Grupy: rozebrání definice (relace vs. zobrazení vs. operace), axiomy. Příklad diherální grupy D3 - ověření axiomů, uzavřenosti, multiplikativní tabulka, nekomutativita operace grupy: "počítání s něčím jiným nežli s čísly". Pojetí: množina + struktura (co je to ta struktura na množině?).
• 8. hodina - 17. 11. 2022: Výuka se nekoná - Státní svátek
• 9. hodina - 24. 11. 2022: Pokračování grup: Grupa (Z_3,+) a (Z_3, *) a jejich (skoro) Cayleyho diagram; totožná množina a různé struktury dané různými operacemi. Intuivně pojem algebry. Úvaha o podobjektu a podalgebře a definice podgrupy. Podrupy dihedrální grupy D3. Homomorfismus algeber. Symetrická grupa vládne všem. Těleso: definice, těleso jako zobecnění reálních čísel s operacemi (+ a *) i jako příklad algebry. Konečné Zn těleso, těleso právě tehdy když n=p. Počítání v Zn řešení SLR pomocí GE a výpočtem inverzní matice. Malá Fermatova věta: znění a příklady: výpočet mocnin a inverzu.
• 10. hodina - 01. 12. 2022: Vektorové prostory: definice, příklady, konkrétní vektorový prostor aritmetických vektorů na tělesem reálných čísel vs. abstraktní definice. Vektorový podprostor a podstruktura. Věta: průnik VP je VP včetně důkazu - co ověřujeme u VP? Lineární obal přes průnik podprostorů. Lineární kombinace, vektor jako: „bod“ nebo „šipka“. Lineární kombinace jako „expandér“ přes operace VP a generátory. Ekvivalentní zavedení lineárního obalu přes lineární kombinace (u konenčně generovaných VP). Různé lineární obaly v závislosti na různých typech generátorů.
• 11. hodina - 08. 12. 2022: Lineární nezávislost a její testování. „Vylepšení“ generátorů na bázi. Báze: definice, příklady, dimenze, různé báze téhož VP, určení báze VP i vybrání báze VP, Steinitzova věta, rozšíření na bázi a příklady.
• 12. hodina - 15. 12. 2022: Fundamentální podprostory matice: S(A) a R(A), Ker(A): definice, výpočet báze a dimenze. Vztah dim(S(A)) = dim(R(A))=rank(A)=rank(A^T) a n = rank(A) + dim(Ker(A)); kterým prostorů náleží x a b v SLR dáno Ax=b, elementární řádkové úpravy matice a (ne)změna S(A) a R(A), Ker(A).
• 13. hodina - 22. 12. 2022: Test - Lineární zobrazení: definice, příklady co je a co není lineární zobrazení v rovině. Lineární zobrazení jako homomorfismus VP. Popis lineárního zobrazení obrazem báze. Matice lineárního zobrazení z definice. Vzájemná korespondece matice a lineárních zobrazení. Matice přechodu a matice transformace. Příklady.
• 14. hodina - 05. 01. 2023: Skládání lineárních zobrazení, skládání lineárních zobrazení v maticové reprezentaci - maticové násobení. Příklady. Jádro a obraz lineárního zobrazení a souvislosti s maticovou reprezentací (jádro a obraz matice vs. jádro a obraz zobrazení). Inverzní lineární zobrazení a matice, prosté a na zobrazení (a různé podmínky prostoru a zobrazení na), izomorfismus a věta o izomorfismu (pro konečně generované VP na dim n nad tělesem T). Příklady.