2. přednáška 27. 2. 2013. Tabulka
prim. funcí. Věta o integraci substitucí, důkaz a příklady. Jsou
funkce, např. exp(x^2), sin(x)/x, 1/log x, jejichž prim. funkce nelze
vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Poznámky o prim. funkcích k
racionálním funkcím, podrobněji v zápisu z přednášky.
Riemannův integrál. Dvě
definice: původní Riemannova a Darbouxova. Tvrzení: neomezená funkce
nemá R. integrál (ani podle jedné definice), důkaz ponechán jako
cvičení.
Zápis z 2. přednášky.
3. přednáška 6. 3. 2013. Zjemnění
dělení a důkaz nerovností pro s(f, D) a S(f,D) po náhradě dělení jeho
zjemněním. Tvrzení: dolní integrál je nejvýše horní integrál,
důkaz.
Důsledek: kritérium
integrovatelnosti, důkaz. Příklady: omezená funkce bez integrálu a
výpočet int_0^1 x^2 dx podle definice. Množiny míry nula a jejich
vlastnosti. Lebesgueova věta: f má R. integrál, právě když je
omezená a množina bodů nespojitosti má míru nula. Na dotaz z pléna
popis nespočetné množiny s mírou nula - Cantorovo diskontinuum.
Zápis ze 3. přednášky.
4. přednáška 13. 3. 2013. Tvrzení: monotonie => integrovatelnost, důkaz. Stejnoměrná spojitost.
Tvrzení: spojitost na kompaktním intervalu => stejnoměrná
spojitost, důkaz. Tvrzení : spojitost => integrovatelnost, důkaz.
Tvrzení o linearitě integrálu, důkaz ponechán jako cvičení. Totéž pro:
složení spojité funkce a integrovatelné dává integrovatelnou. Tvrzení o
linearitě integrálu jako funkci integračních mezí, důkaz.
Zápis ze 4. přednášky.
5. přednáška 20. 3. 2013. První
a druhá základní věta analýzy (vztah mezi integrálem a primitivní
funkcí), důkazy. Newtonův integrál a porovnání s Riemannovým
integrálem, důkaz. Počítání integrálů per partes (cvičení) a substitucí
(důkaz). Aplikace integrálu: odhady log(n+1) < H_n = 1 + 1/2 + 1/3 +
... + 1/n < 1 + log n. (Cvičení: dokažte, že pro n > 1 nikdy H_n
není celé číslo.)
Zápis z 5. přednášky.
6. přednáška 27. 3. 2013. Odhad
faktoriálu pomocí integrálu funkce log x. Tvrzení: integrální kritérium
konvergence nekonečné řady, důkaz a příklady. Zobecnění faktoriálu:
funkce Gamma. Počítání plochy rovinného útvaru, délky oblouku
křivky a objemu rotačního tělesa pomocí integrálu, bez důkazu (a ani
jsme si nedefinovali délku oblouku křivky a objem v R^3).
Diferenciální počet funkcí několika proměnných. R^n jako vektorový prostor, euklidovská norma a vzdálenost a jejich vlastnosti. Koule B(r,s), definice otevřené množiny.
Zápis z 6. přednášky.
7. přednáška 3. 4. 2013. Parciální
derivace funkce a diferenciál funkce i zobrazení v daném bodě a.
Příklady na parciální derivace (samy o sobě nezaručují spojitost v
daném bodě). Tvrzení: (i) diferenciál zobrazení f=(f_1, f_2, ..., f_n),
kde f_i=f_i(x_1, x_2, ..., x_m) jsou souřadnicové funkce, je určený
jednoznačně, (ii) f má diferenciál v a, právě když ho má každá
f_i a (iii) diferenciál v a implikuje spojitost v a, důkaz jako cvičení.
Tvrzení: má-li zobrazení f v a diferenciál, jsou prvky matice (tzv.
Jacobiho matice f v a), jež ho určuje, rovny hodnotám parciálních
derivací souřadnicových funkcí v a, důkaz. Věta: má-li funkce f v okolí
a všechny parciální derivace a ty jsou spojité v a, pak má f v a
diferenciál, důkaz příště.
Zápis ze 7. přednášky.
8. přednáška 10. 4. 2013. Důkaz
slíbený minule, pouze pro 2 proměnné. Zobecnění Lagrangeovy věty o
střední hodnotě pro více proměnných. Souvislé otevřené množiny.
Tvrzení: nulové parc. derivace na souvislé otevřené množině implikují
konstantnost. Počítání s parc. derivacemi a diferenciály. Věta o
diferenciálu složeného zobrazení, důkaz.
Zápis z 8. přednášky.
9. přednáška 17. 4. 2013. Jacobiho
matice složeného zobrazení je součin J. matic těchto zobrazení,
řetízkové pravidlo pro parciální derivování složené funkce. Tečná
rovina. Parciální derivace vyšších řádů. Věta o jejich
záměnnosti, důkaz. Taylorův polynom funkcí několika proměnných, bez
důkazu.
Zápis z 9. přednášky.
10. přednáška 24. 4. 2013. Rekapitulace
kritéria lokálního extrému pomocí druhé derivace pro funkce jedné
proměnné. Věta o nabývání extrému na kompaktu, (zatím?) bez důkazu.
Hessova matice. Věta o lokálních extrémech pro funkce několika
proměnných, důkaz. Příklad na lokální extrémy, jeho řešení je v zápisu
z přednášky. Věta o implicitních funkcích, bez důkazu.
Zápis z 10. přednášky.
1. a 8. května přednášky odpadly kvůli státním svátkům.
Text o vícerozměrném Riemannově integrálu (ručně psaný),
zde je přepsaný a upravený do čitelnější podoby.
11. přednáška 15. 5. 2013. Příklad na implicitní funkce.Vázané extrémy a Lagrangeovy multiplikátory. Dva příklady.
Metrické prostory. Definice, příklady, základní pojmy: koule, otevřené množiny atd. Tvrzení: uzavřenost množiny znamená její uzavřenost na limity.
Zápis z 11. přednášky.
12. přednáška 22. 5. 2013. Dokončení
důkazu posledního tvrzení. Definice topologického prostoru. Cvičení:
topologický prostor nepocházející z metrického prostoru.
Spojitá zobrazení mezi MP, ekvivalentní definice pomocí otevřených množin, bez důkazu.
Kompaktní
množiny, i topologická definice, bez důkazu. Tvrzení: kompaktní množina
se spojitým zobrazením posílá na kompaktní množinu, důkaz. Tvrzení:
kompaktní množiny jsou omezené a uzavřené, důkaz. Příklad, že naopak to
obecně neplatí. Tvrzení: naopak to platí v eukleidovských prostorech,
důkaz. Tvrzení: spojité zobrazení nabývá na kompaktní množině mimimum i
maximum, důkaz. Poznámka, že tímto lze dokázat základní větu algebry
(každý nekonstantní komplexní polynom má kořen), bez důkazu -
důkaz je napsán v následujícím textu:
Zápis z 12. přednášky.
květen 2013