Informace o zkoušce z Matematické analýzy II (NMAI055), LS 20012/13 ----------------------------------------------------------------- Zkoušející: Martin Klazar ------------------------- Termíny zkoušek: 31.5., 7.6., 14.6., 20.6. (zde i MAI) (viz SIS) v září vypíšu ještě jeden termín Na tyto termíny se mohou zapisovat pouze studenti z mé paralelky I-1/X (kruhy 31-33). Výjimky jsou možné jen po domluvě. Získání zápočtu je nutnou (a prakticky i postačující) podmínkou připuštění ke zkoušce. Bez uděleného zápočtu, zapsaného v SISu, nebude student ke zkoušce připuštěn. Zápočet uděluje cvičící. Typickou podmínkou pro udělení zápočtu může být účast v zápočtové písemce (+ zisk stanoveného minima bodů). Zkouška se skládá ze dvou písemek: (i) 90 min. zápočtová písemka na cvičení v posledním týdnu semestru, popř. později, na prověření početní techniky, se 4 příklady (příklady okruhů: primitivní funkce, integrál, parciální derivace, extrémy funcí více proměnných), a (ii) 90 min. písemka na zkoušce se 4 příklady na prověření teorie. U zkouškové písemky není dovoleno používat ani písemné materiály (záznamy z přednášek, učebnice atd.) ani technické pomůcky (laptopy, mobily, kalkulačky, tablety atd.), pouze tužku, papír a vlastní hlavu. Výjimky v případě hendikepovaných studentů povoluje zkoušející. Okruhy příkladů v písemce na zkoušce: 1. Početní příklad (integrál nebo extrémy funcí více proměnných nebo implicitní funkce). 2. Jedna až dvě otázky z okruhů A níže (základní pojmy a definice). 3. Jedna otázka z okruhů B níže (věty a výsledky bez důkazů). 4. Jedna otázka z okruhů C níže (věty a výsledky s důkazy). Příklady 2 a 3 budou obsahovat doplňující otázky ověřující porozumění danému pojmu či definici či větě. Hodnocení zkoušky ----------------- Písemka na cvičení: maximálně 16 bodů (zpravidla 4 body za příklad). Písemka na zkoušce: maximálně 24 bodů (zpravidla 6 bodů za příklad). Celkem lze tedy získat z obou písemek maximálně 40 bodů. 0 -19 bodů = "neprospěl(a)" 20-26 bodů = "dobře" 27-33 bodů = "velmi dobře" 34-40 bodů = "výborně". Výsledky budou oznámeny po opravení písemek, zpravidla týž den. V nerozhodných a sporných případech může zkoušející položit doplňující ústní otázky. Okruhy otázek pro zkouškovou písemku ------------------------------------ A - základní pojmy a definice 1. Definujte primitivní funkci k dané funkci. 2. Definujte Riemannův integrál funkce. 3. Definujte stejnoměrnou spojitost funkce. 4. Definujte množinu Lebesgueovy míry nula. 5. Definujte Newtonův integrál. 6. Definujte pojem parciální derivace a diferenciálu funkce více proměnných. 7. Definujte Jacobiho matici zobrazení a Hessovu matici funkce více proměnných. 8. Napište definici vícerozměrného Riemannova integrálu přes box v R^n a přes obecnou podmnožinu R^n. 9. Definujte pojem metrického prostoru a pojem otevřené a uzavřené množiny. 10. Definujte spojité zobrazení mezi metrickými prostory a kompaktní množinu. B - věty a výsledky bez důkazů 1. Uveďte základní vlastnosti primitivních funkcí (jednoznačnost a prim. funkce, spojité funkce a prim. funkce, prim. funkce a nabývání mezihodnot). 2. Popište obecný tvar primitivní funkce k racionální funkci. 3. Uveďte postupy pro hledání prim. funkcí (per partes, substituce). 4. Uveďte Lebesgueovu větu o existenci Riemannova integrálu a její důsledky. 5. Uveďte základní výsledky o Riemannově integrálu a třídě riemannovsky integrovatelných funkcí (integr. funkce a monotonie, integr. funkce a spojité funkce, integr. funkce tvoří vekt. prostor a integrál je lin. funkcionál, závislost integrálu na integračním intervalu). 6. Uveďte výsledky o výpočetních vlastnostech Riemannova integrálu (linearita, per partes a substituce). 7. Vysvětlete, jak spolu souvisí Riemannův a Newtonův integrál. 8. Uveďte některé aplikace integrálů (integrální kritérium pro řady, formule pro výpočet plochy, délky křivky a objemu rotačního tělesa). 9. Uveďte základní vlastnosti parciálních derivací a diferenciálů funkcí více proměnných (dvě tvrzení a věta ze 7. př.). 10. Uveďte základní výsledky o počítání s parciálními derivacemi a diferenciály (dvě tvrzení a věta z 8. př.). 11. Uveďte větu o Taylorově polynomu a větu o lokálních extrémech funkcí více proměnných. 12. Uveďte větu o implicitních funkcích a větu o Lagrangeových multiplikátorech. 13. Uveďte a vysvětlete Fubiniovu větu pro vícerozměrný Riemannův integrál (viz náhradní text). 14. Uvedte výsledky o otevřených a uzavřených množinách v metrickém prostoru (uzávěrové vlastnosti vlastnosti, uzavřenost na limity). 15. Uveďte vlastnosti kompaktních množin v metrickém prostoru (viz poslední př.) C - věty s důkazy 1. Dokažte, že funkce, která má prim. funkci, nabývá všech mezihodnot. 2. Zformulujte pravidla pro integraci (tj. hledání primitivní funkce) per partes a substitucí a dokažte je. 3. Dokažte kritérium existence Riemannova integrálu (f má na [a, b] R. i., právě když je rozdíl S(f, D) - s(f, D) libovolně malý pro vhodná D). 4. Dokažte, že spojitá funkce má na kompaktním intervalu [a, b] Riemannův integrál. 5. Dokažte, že funkce spojitá na [a, b] má na [a, b] primitivní funkci (pomocí 1. základní věty analýzy). 7. Dokažte výsledek o souvislosti integrálu a primitivní funkce (2. základní věta analýzy). 8. Dokažte, že spojitost parciálních derivací implikuje diferencovatelnost. 9. Uveďte a dokažte větu o diferenciálu složeného zobrazení. 10. Uveďte a dokažte tvrzení o záměnnosti parc. derivací. 11. Uveďte a dokažte větu o lokálních extrémech funkcí více proměnných . 12. Dokažte, že kompaktní množiny v MP jsou uzavřené a omezené. Platí to i naopak? Vzorová zkušební písemka Písemná zkouška z Matematické analýzy III, ?. ?. 2013 (90 minut) Jméno: Kruh: ------------------------------------------------------------- Příklad 1 (6 bodů) Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x,y,z) = y.cos(z) - y^2 - x^2 na množině R^3. Určete globální maximum a minimum (zda existuje, kde se nabývá, jaká je jeho hodnota). Výsledek zdůvodněte. ------------------------------------------------------------- Příklad 2 (6 bodů) a) Definujte Jacobiho matici zobrazení a Hessovu matici funkce více proměnných. b) Je dán bod a v R^m. Rozhodněte, zda každá matice A s rozměrem n krát m a reálnými položkami je Jacobiho maticí v bodě a nějakého zobrazení F z R^m do R^n. Své tvrzení zdůvodněte. ------------------------------------------------------------- Příklad 3 (6 bodů) a) Uveďte (bez důkazu) výsledky o metrických prostorech: vlastnosti otevřených a uzavřených množin. b) Nechť X je množina reálných čísel (pracujeme v euklidovském prostoru R s obvyklou metrikou), která není ani prázdná ani rovná celému R. Dokažte, že taková X nemůže být současně otevřená i uzavřená množina. Návod: použijte supremum. -------------------------------------------------------------- Příklad 4 (6 bodů) Dokažte, že funkce spojitá na kompaktním intervalu [a, b] na něm má Riemannův integrál.