Informace o přednášce Matematická analýza II (NMAI055, LS 2018/19, paralelka Y+bioinformatika, vyučující M. Klazar)

Sylabus a anotace. Viz SIS.

Doba a místo. úterý v 10:40 - 12:10 v posluchárně S9 v budově na Malostranském náměstí. Další paralelky učí kolega D. Pokorný (pá 12:20 S5)  a kolegyně T. Klimošová (st 9:00 S11, v angličtině).

Literatura. Je uvedena v SISu (skripta prof. Pultra jsou dostupná na jeho webové straně) a v knihovnách lze nalézt celou řadu nejrůznějších učebnic matematické analýzy (v češtině i angličtině). Základní učebnice, podle níž by se přesně vyučovalo, pro tento předmět ale není. Umisťuji proto zde vznikající učebnici (stav k 19. 6. 2019), v níž se budu snažit držet krok s přednáškou.

Cvičení a cvičící.  K paralelce vedou cvičení RNDr. Naděžda Krylová, CSc. (čt 9:00 S10),  doc. RNDr. Markéta Lopatková, Ph.D. (st 15:40 v S7 a čt 15:40 v S7) a Mgr. Jaroslav Hančl (po 14:00 S10 a po 15:40 S10). Zápočet ze cvičení je nutný pro absolvování zkoušky. Uděluje se za přiměřenou (aktivní) účast na cvičeních, vypracování domácích úloh a za přiměřený výkon v zápočtovém písemném testu, podle pokynů cvičící(ho) (upřesnění viz SIS).  

Konzultační hodiny. Po dohodě. Pracovnu mám v malostranské budově ve 2. patře, místnost č. 224.

Zkouška. Zkouškové termíny budou v SISu. Požadavky ke zkoušce z NMAI055 (tyto jsou zatím zpřed čtyř let, ale letošní budou dosti podobné).  

1. přednáška 19. 2. 2019. Primitivní funkce. Motivace pomocí ploch. Definice primitivní funkce a základní vlastnosti: nejednoznačnost, spojitost, linearita. Darbouxova vlastnost, důkaz. Spojitá funkce má primitivní f., zatím bez důkazu. Integrace per partes, důkaz. Značení, příklad: integrál z log(x). Zápis z 1. přednášky (jen malé změny proti přednášce před čtyřmi lety).

2. přednáška 26. 2. 2019. Tabulka prim. funcí. Věta o integraci substitucí, důkaz a příklady. Poznámky o prim. funkcích k racionálním funkcím (hlavně věta: pro každou rac. funkci se její prim. funkce dá vyjádřit rac. funkcemi, logaritmy a arkustangentami, na přednášce bez důkazu), podrobněji v zápisu z přednášky a v učebnici. Riemannův integrál. Dvě definice: původní Riemannova a Darbouxova. Tvrzení: neomezená funkce nemá R. integrál (ani podle jedné definice), důkaz  ponechán jako cvičení. Zápis z 2. přednášky (jen malé změny proti přednášce před čtyřmi lety).
3. přednáška 5. 3. 2019. Zajímavost: Liouvilleova věta o nevyjádřitelnosti vzorcem primitivní funkce k funkci f.e^g, kde f a g jsou racionální. Odvozeno, že prim. funkce k exp(x^2) se nedá vyjádřit vzorcem. Zjemnění dělení a důkaz nerovností pro s(f, D) a S(f,D) po náhradě dělení jeho zjemněním. Tvrzení: dolní integrál je nejvýše horní integrál, důkaz. Důsledek: kritérium integrovatelnosti, důkaz. Příklady: omezená funkce bez integrálu a (viz zápis, na přednášce nebylo) výpočet int_0^1 x^2 dx podle definice. Množiny míry nula a jejich vlastnosti. Lebesgueova věta: funkce má R. integrál, právě když je omezená a množina bodů, kde je nespojitá, má míru nula. Aplikace: složenina funkcí f(g), kde g má R. integrál a f je spojitá, má R. integrál. Zmínka o nespočetné množině s mírou nula, podrobněji příště. Zápis ze 3. přednášky (před 4 lety, letos skoro stejné).
4. přednáška 12. 3. 2019.  Nespočetná množiny s mírou nula - Cantorovo diskontinuum.  Tvrzení: monotonie => integrovatelnost, důkaz. Stejnoměrná spojitost. Tvrzení: spojitost na kompaktním intervalu => stejnoměrná spojitost, důkaz. Tvrzení : spojitost => integrovatelnost, důkaz. Tvrzení o linearitě integrálu, důkaz pomocí 1. definice R. integrálu. Složení spojité funkce a integrovatelné dává integrovatelnou. Tvrzení o linearitě integrálu jako funkci integračních mezí, důkaz. Integrál pres cyklus je 0. Zápis ze 4. přednášky (bylo to zhruba jako před 4 lety).
5. přednáška 19. 3. 2019. První a druhá základní věta analýzy (vztah mezi integrálem a primitivní funkcí), důkazy. Newtonův integrál a porovnání s Riemannovým integrálem, důkaz. Počítání integrálů per partes (cvičení), substituce příště. Aplikace integrálu: odhady log(n+1) < H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n < 1 + log n a odhad faktoriálu n! odhadem sumy log(n!) = log 1 + log 2 + ... + log n.  Zápis z 5. přednášky (až na tu substituci, která bude příště, jako před 4 lety).
6. přednáška 26. 3. 2019. Substituční formule. Zmínka o Stirlingově formuli n! ~ (2pi.n)^{1/2}(n/e)^n. Tvrzení: integrální kritérium konvergence nekonečné řady, důkaz a příklady. Tvrzení (diskrétní součet jako integrál): Když jsou a<b celá čísla a f: [a, b] --> R je monotónní funkce, pak suma sum_{a<n<=b}f(n) = int_a^b f + c(f(b) - f(a)), kde c je číslo v [0, 1], důkaz aditivní metodou. Vyjádření faktoriálu integrálem: n! = int_0^{+oo}x^ne^{-x}.dx, důkaz (per partesem a indukcí). Počítání  plochy rovinného útvaru, délky oblouku křivky a objemu rotačního tělesa pomocí integrálu, bez důkazu (definice délky oblouku křivky jen načrtnuta, definice objemu v R^3 příště). Zápis z 6. přednášky (nestihli jsme začít funkce více proměnných, začneme je příště).
7. přednáška 2. 4. 2019. Ještě poznámka k počítáním objemu rotačního tělesa integrálem - definice objemu tělesa v R^3. Diferenciální počet funkcí několika proměnných. R^n jako vektorový prostor, euklidovský skalární součin, euklidovská norma a vzdálenost a jejich vlastnosti. Koule B(s,r), definice otevřené množiny. Tvrzení: vlastnosti ot. množin, důkaz v rychlosti. Směrová derivace, parciální derivace funkce a diferenciál funkce i zobrazení v daném bodě a. Příklady na parciální derivace (samy o sobě nezaručují spojitost v daném bodě). Tvrzení: (i) diferenciál zobrazení f=(f_1, f_2, ..., f_n), kde f_i=f_i(x_1, x_2, ..., x_m) jsou souřadnicové funkce, je určený jednoznačně, (ii) f  má diferenciál v a, právě když ho má každá f_i a (iii) diferenciál v a implikuje spojitost v a, důkaz jako cvičení. Tvrzení: diferenciál implikuje parc. i směrové derivace, důkaz (v následujícím zápisu je část pro směrovou derivaci zmateně, později to připíšu správně) příště. Zápis ze 7. přednášky (před 4 lety jsem toho stihl více, letos její závěr probereme příště).
8. přednáška 9. 4. 2019. Důkaz slíbený minule. Tvrzení: má-li zobrazení f v a diferenciál, jsou prvky matice (tzv. Jacobiho matice f v a), jež ho určuje, rovny hodnotám parciálních derivací souřadnicových funkcí v a, důkaz je jasný. Věta: má-li funkce f v okolí a všechny parciální derivace a ty jsou spojité v a, pak má f v a diferenciál, důkaz pouze pro 2 proměnné. Zobecnění Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro více proměnných, bez důkazu. Souvislé otevřené množiny. Tvrzení: nulové parc. derivace na souvislé otevřené množině implikují konstantnost funkce, důkaz. Počítání s parc. derivacemi a diferenciály. Věta o diferenciálu složeného zobrazení, uvedeno lemma o asymptotickém značení, vlastní důkaz příště. Zápis z 8. přednášky.
9. přednáška 16. 4. 2019. Slíbený důkaz. Jacobiho matice složeného zobrazení je součin J. matic těchto zobrazení, řetízkové pravidlo pro parciální derivování složené funkce. Tečná rovina.  Parciální derivace vyšších řádů.  Věta o jejich záměnnosti, důkaz. (Taylorův polynom funkcí několika proměnných, bez důkazu, bude až příště). Zápis z 9. přednášky.
10. přednáška 23. 4. 2019. Taylorův polynom funkcí několika proměnných, bez důkazu. Rekapitulace kritéria lokálního extrému pomocí druhé derivace pro funkce jedné proměnné. Věta o nabývání extrému na kompaktu, (zatím?) bez důkazu. Hessova matice. Věta o lokálních extrémech pro funkce několika proměnných, důkaz. Zápis z 10. přednášky (zhruba jako před 4 lety, implicitní funkce budou příště).
11. přednáška 30. 4. 2019.  Věta o implicitních funkcích, bez důkazu. Příklad na implicitní funkce.Vázané extrémy a Lagrangeovy multiplikátory. Příklad. Metrické prostory. Definice metr. prostoru. Zápis z 11. přednášky (před 4 lety, letos jsme stihli méně).
12. přednáška 7. 5. 2019. Definice metr. prostoru, příklady. Základní pojmy: koule, dále otevřené, uzavřené, omezené, obojetné a kompaktní množiny. Konvergence v MP. Vlastnosti otevřených a uzavřených množin, důkaz jako úloha. Uzavřenost množiny znamená uzavřenost na limity, důkaz. Spojitá zobrazení mezi MP, ekvivalentní topologická definice pomocí otevřených množin, důkaz. Kompaktní množiny, i topologická definice (Heineho--Borelova věta), bez důkazu. Tvrzení: kompaktní množina se spojitým zobrazením posílá na kompaktní množinu, důkaz. Tvrzení: kompaktní množiny jsou omezené a uzavřené, důkaz. Příklad, že naopak to obecně neplatí, podrobně příště. Tvrzení: naopak to platí v eukleidovských prostorech, důkaz příště. Tvrzení: spojité zobrazení nabývá na kompaktní množině mimimum i maximum, důkaz příště. Zápis z 12. přednášky (před 4 lety).
13. přednáška 21. 5. 2019 (14. 5. přednáška odpadla kvůli rektorskému dni). Příklad omezené, uzavřené a nekompaktní množiny v metrickém prostoru. Tvrzení: v eukleidovských prostorech jsou omezené a uzavřené množiny kompaktní, důkaz. Tvrzení: spojité zobrazení nabývá na kompaktní množině minimum i maximum, důkaz. První polovina Základní věty algebry: když má každý binomický polynom z^n + c (n je přirozené a c komplexní číslo) kořen, potom má každý nekonstantní komplexní polynom kořen, důkaz. Druhá polovina - každý binomický polynom z^n + c má kořen - je/bude ve vznikající učebnici (stav k 19. 6. 2019). 

červen 2019