Informace k přednášce Matematika++, LS 2018/2019

Ida Kantorová, Robert Šámal, Martin Tancer

Náplň

V moderní informatice se často používají matematické nástroje, které překračují rozsah matematických přednášek v bakalářském programu informatiky. V této přednášce se posluchači seznámí s poněkud zhuštěnými základy některých matematických odvětví, které se pro informatiku a diskrétní matematiku ukázaly zvlášť významné. pro představu se podívejte na témata minulých přednášek.

Letos se zaměříme na teorii míry -- jako základ pro teorii pravděpodobnosti. Dále na geometrii ve vysoké dimenzi a také trochu funcionální analýzy.

Předpoklady

Zájem o matematiku, matematické znalosti zhruba v rozsahu informatického bakalářského studia na MFF UK. Navazovat budeme hlavně na analýzu, pravděpodobnost a lineární algebru.

Rozsah

Dvě hodiny přednášky a dvě hodiny cvičení týdně (2/2). Zápočet, zkouška.

Termín

Přednáška úterý 15:40 v S4. (Začínáme 26.2.2019.) Cvičení středa 15:40 v S9 (ne každý týden).

Cvičení

Podstatná část cvičení bude spočívat v samostatné domácí práci posluchačů. Zápočet bude za vyřešení dostatečného množství příkladů. Cvičení povede Radek Hušek a Martin Tancer. Podrobnosti o cvičeních

Zkouška

Bude ústní, z teorie i příkladů. Ozvěte se emailem, domluvíme se na čase.

Literatura

Většina probíraných témat je v knize I. Kantor, J. Matoušek, R. Šámal: Mathematics++ (měla by být v knihovně v dostatečném počtu). Pokud ne, ozvěte se.

Probraná témata

DatumObsahZdroje
26.2.[IK] Motivace míry a L. integrálu. Vlastnosti, které by ideálně měla míra mít. Definice vnější míry. Vnější míra intervalu je rovna délce. Subaditivita. Aditivita selhává, Vitaliho množina. Měřitelné množiny, interval $(0,\infty)$ je měřitelný. Sigma algebra, měřitelné množiny jsou sigma algebra. Poznámka: Littlewoodovy principy (neformálně). Borelovské množiny, jejich měřitelnost. Definice L. míry jako zúžení vnější míry. Aditivita. Zmíněn příklad neměřitelné množiny. Kniha kap. 1
5. 3.[IK] Poznámka o tom, že neměřitelná množina se dá zkonstruovat jen s pomocí axiomu výběru. Nulová množina, pojem "skoro všude". Aplikace: hledání libovolně velké množiny v obecné poloze v rovině. Pojem míry, prostoru s mírou. Příklady měr (počítací, Diracova). Měřitelná funkce. Pro funkci $X \to Y$ je potřeba podmínku ověřit jen pro množiny, které generují sigma-algebru v Y. Měřitelnost součtů, součinů měřitelných funkcí, apod. Jednoduchá funkce, aproximace měřitelných pomocí jednoduchých. Definice L. integrálu. Různé vlastnosti (bez důkazu). Fatouovo lemma. Kniha kap. 1
12. 3.[IK] Věta o monotonní konvergenci. Linearita integrálu. Věta o omezené konvergenci. Jednoduchý příklad užití Fubiniho věty. Fubiniho věta. Definice pojmů ve F. větě. Pravděpodobnost: příklady (Monty-Hall, Bertrandův paradox). Definice základních pojmů. Kolmogorovovy axiomy. Pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina, střední hodnota. Kniha kap. 1
19. 3. [RS] Two calculations: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} = \sqrt{2\pi}$ (Fubini, substitution). Stirling formula (substitution, dominated convergence). Book 2.3, Stirling's formula by Keith Conrad