1. přednáška 19. 2. 2019. Primitivní funkce. Motivace pomocí ploch. Definice primitivní funkce a základní
vlastnosti: nejednoznačnost, spojitost, linearita. Darbouxova
vlastnost, důkaz. Spojitá funkce má primitivní f., zatím bez důkazu.
Integrace per partes, důkaz. Značení, příklad: integrál z log(x).
Zápis z 1. přednášky (jen malé změny proti přednášce před čtyřmi lety).
2. přednáška 26. 2. 2019. Tabulka
prim. funcí. Věta o integraci substitucí, důkaz a příklady. Poznámky o
prim. funkcích k
racionálním funkcím (hlavně věta: pro každou rac. funkci se její prim.
funkce dá vyjádřit rac. funkcemi, logaritmy a arkustangentami, na
přednášce bez důkazu), podrobněji v zápisu z přednášky a v
učebnici.
Riemannův integrál. Dvě
definice: původní Riemannova a Darbouxova. Tvrzení: neomezená funkce
nemá R. integrál (ani podle jedné definice), důkaz ponechán jako
cvičení.
Zápis z 2. přednášky (jen malé změny proti přednášce před čtyřmi lety).
3. přednáška 5. 3. 2019. Zajímavost:
Liouvilleova věta o nevyjádřitelnosti vzorcem primitivní funkce k
funkci f.e^g, kde f a g jsou racionální. Odvozeno, že prim. funkce k
exp(x^2) se nedá vyjádřit vzorcem.
Zjemnění
dělení a důkaz nerovností pro s(f, D) a S(f,D) po náhradě dělení jeho
zjemněním. Tvrzení: dolní integrál je nejvýše horní integrál,
důkaz.
Důsledek:
kritérium
integrovatelnosti, důkaz. Příklady: omezená funkce bez integrálu a
(viz zápis, na přednášce nebylo) výpočet int_0^1 x^2 dx podle definice.
Množiny míry nula a jejich
vlastnosti. Lebesgueova věta: funkce má R. integrál, právě když je
omezená a množina bodů, kde je nespojitá, má míru nula. Aplikace:
složenina funkcí f(g), kde g má R. integrál a f je spojitá, má R.
integrál. Zmínka o nespočetné množině s mírou nula, podrobněji příště.
Zápis ze 3. přednášky (před 4 lety, letos skoro stejné).
4. přednáška 12. 3. 2019. Nespočetná
množiny s mírou nula - Cantorovo diskontinuum. Tvrzení: monotonie
=> integrovatelnost, důkaz. Stejnoměrná spojitost.
Tvrzení: spojitost na kompaktním intervalu => stejnoměrná
spojitost, důkaz. Tvrzení : spojitost => integrovatelnost, důkaz.
Tvrzení o linearitě integrálu, důkaz pomocí 1. definice R. integrálu.
Složení spojité funkce a integrovatelné dává integrovatelnou. Tvrzení o
linearitě integrálu jako funkci integračních mezí, důkaz. Integrál pres
cyklus je 0.
Zápis ze 4. přednášky (bylo to zhruba jako před 4 lety).
5. přednáška 19. 3. 2019. První
a druhá základní věta analýzy (vztah mezi integrálem a primitivní
funkcí), důkazy. Newtonův integrál a porovnání s Riemannovým
integrálem, důkaz. Počítání integrálů per partes (cvičení), substituce
příště. Aplikace integrálu: odhady log(n+1) < H_n = 1 + 1/2 + 1/3 +
... + 1/n < 1 + log n a odhad faktoriálu n! odhadem sumy log(n!) =
log 1 + log 2 + ... + log n.
Zápis z 5. přednášky (až na tu substituci, která bude příště, jako před 4 lety).
6. přednáška 26. 3. 2019. Substituční formule.
Zmínka o Stirlingově formuli
n! ~ (2pi.n)^{1/2}(n/e)^n. Tvrzení: integrální kritérium
konvergence nekonečné řady, důkaz a příklady. Tvrzení (diskrétní součet jako integrál):
Když
jsou a<b celá čísla a f: [a, b] --> R je monotónní funkce, pak
suma sum_{a<n<=b}f(n) = int_a^b f + c(f(b) - f(a)), kde c je
číslo v [0, 1], důkaz aditivní metodou. Vyjádření faktoriálu integrálem:
n! = int_0^{+oo}x^ne^{-x}.dx,
důkaz (per partesem a indukcí). Počítání plochy rovinného útvaru,
délky oblouku
křivky a objemu rotačního tělesa pomocí integrálu, bez důkazu (definice
délky oblouku křivky jen načrtnuta, definice objemu v R^3 příště).
Zápis z 6. přednášky (nestihli jsme začít funkce více proměnných, začneme je příště).
7. přednáška 2. 4. 2019. Ještě poznámka k počítáním objemu rotačního tělesa integrálem - definice objemu tělesa v R^3.
Diferenciální počet funkcí několika proměnných. R^n
jako vektorový prostor, euklidovský skalární součin, euklidovská norma
a vzdálenost a jejich vlastnosti. Koule B(s,r), definice otevřené
množiny. Tvrzení: vlastnosti ot. množin, důkaz v rychlosti.
Směrová
derivace, parciální
derivace funkce a diferenciál funkce i zobrazení v daném bodě a.
Příklady na parciální derivace (samy o sobě nezaručují spojitost v
daném bodě). Tvrzení: (i) diferenciál zobrazení f=(f_1, f_2, ..., f_n),
kde f_i=f_i(x_1, x_2, ..., x_m) jsou souřadnicové funkce, je určený
jednoznačně, (ii) f má diferenciál v a, právě když ho má každá
f_i a (iii) diferenciál v a implikuje spojitost v a, důkaz jako
cvičení. Tvrzení: diferenciál implikuje parc. i směrové derivace, důkaz
(v následujícím zápisu je část pro směrovou derivaci zmateně, později
to připíšu správně) příště.
Zápis ze 7. přednášky (před 4 lety jsem toho stihl více, letos její závěr probereme příště).
8. přednáška 9. 4. 2019. Důkaz
slíbený minule
. Tvrzení: má-li zobrazení f v a diferenciál, jsou prvky matice (tzv.
Jacobiho matice f v a), jež ho určuje, rovny hodnotám parciálních
derivací souřadnicových funkcí v a, důkaz je jasný. Věta: má-li funkce f v okolí
a všechny parciální derivace a ty jsou spojité v a, pak má f v a
diferenciál, důkaz pouze pro 2 proměnné. Zobecnění Lagrangeovy věty o
střední hodnotě pro více proměnných, bez důkazu. Souvislé otevřené množiny.
Tvrzení: nulové parc. derivace na souvislé otevřené množině implikují
konstantnost funkce, důkaz. Počítání s parc. derivacemi a diferenciály. Věta o
diferenciálu složeného zobrazení, uvedeno lemma o asymptotickém značení, vlastní důkaz příště.
Zápis z 8. přednášky.
9. přednáška 16. 4. 2019. Slíbený důkaz.
Jacobiho
matice složeného zobrazení je součin J. matic těchto zobrazení,
řetízkové pravidlo pro parciální derivování složené funkce. Tečná
rovina. Parciální derivace vyšších řádů. Věta o jejich
záměnnosti, důkaz. (Taylorův polynom funkcí několika proměnných, bez
důkazu, bude až příště).
Zápis z 9. přednášky.
10. přednáška 23. 4. 2019. Taylorův polynom funkcí několika proměnných, bez
důkazu.
Rekapitulace
kritéria lokálního extrému pomocí druhé derivace pro funkce jedné
proměnné. Věta o nabývání extrému na kompaktu, (zatím?) bez důkazu.
Hessova matice. Věta o lokálních extrémech pro funkce několika
proměnných, důkaz
. Zápis z 10. přednášky (zhruba jako před 4 lety, implicitní funkce budou příště).
11. přednáška 30. 4. 2019. Věta o implicitních funkcích, bez důkazu.
Příklad na implicitní funkce.Vázané extrémy a Lagrangeovy multiplikátory. Příklad.
Metrické prostory. Definice metr. prostoru.
Zápis z 11. přednášky (před 4 lety, letos jsme stihli méně).
12. přednáška 7. 5. 2019. Definice
metr. prostoru, příklady. Základní pojmy: koule, dále otevřené,
uzavřené, omezené, obojetné a kompaktní množiny. Konvergence v MP.
Vlastnosti otevřených a uzavřených množin, důkaz jako úloha. Uzavřenost
množiny znamená uzavřenost na limity, důkaz.
Spojitá zobrazení mezi MP, ekvivalentní topologická definice pomocí otevřených množin, důkaz.
Kompaktní
množiny, i topologická definice (Heineho--Borelova věta), bez důkazu. Tvrzení: kompaktní množina
se spojitým zobrazením posílá na kompaktní množinu, důkaz. Tvrzení:
kompaktní množiny jsou omezené a uzavřené, důkaz. Příklad, že naopak to
obecně neplatí, podrobně příště. Tvrzení: naopak to platí v eukleidovských prostorech,
důkaz příště. Tvrzení: spojité zobrazení nabývá na kompaktní množině mimimum i
maximum, důkaz příště.
Zápis z 12. přednášky (před 4 lety).
13. přednáška 21. 5. 2019 (14. 5. přednáška odpadla kvůli rektorskému dni)
.
Příklad omezené, uzavřené a nekompaktní množiny v metrickém prostoru.
Tvrzení: v eukleidovských prostorech jsou omezené a uzavřené množiny
kompaktní,
důkaz. Tvrzení: spojité zobrazení nabývá na kompaktní množině minimum i
maximum, důkaz. První polovina Základní věty algebry: když má každý
binomický polynom z^n + c (n je přirozené a c komplexní číslo) kořen,
potom má každý nekonstantní komplexní polynom kořen, důkaz. Druhá
polovina - každý binomický polynom z^n + c má kořen - je/bude ve
vznikající učebnici (stav k 19. 6. 2019).
červen 2019