Letos se zaměříme na topologii -- jak ve smyslu zkoumání otevřených množin, spojitých zobrazení, atd. (tzv. množinová, či obecná topologie), tak zkoumání homotopií, homologíí, atd. (algebraická topologie).
| Datum | Obsah | Zdroje |
|---|---|---|
| 1. 3. | [MT] Úvod do obecné topologie. Připomenutí metrických prostorů; otevřené množiny a spojitá zobrazení v metrickém prostoru. Definice topologického prostoru; spojitá zobrazení mezi topologickými prostory; homeomorfismus topologických prostorů. Další důležité pojmy: podprostor, okolí, báze, subbáze, uzavřená množina, uzávěr, hranice, vnitřek. Vlastnosti: souvislost, křivková souvislost, komponenty souvislosti (křivkové souvislosti). Příklad s Cantorovou množinou (každý bod je komponenta souvislosti). Separabilní topologický prostor. | Kniha kap. 6.1 a 6.2. |
| 8. 3. | [IK] Standardní příklady topologických prostorů (indiskrétní, diskrétní, topologie konečných a spočetných doplňků, Zariského topologie, Sorgenfreyova přímka a rovina, dlouhý paprsek, reálná přímka se zdvojenou nulou). Separační axiomy T2, T3, T4. Tietzeho věta o rozšíření (bez důkazu), Urysohnova metrizační věta (s důkazem). Definice kompaktnosti, poznámka o sekvenciální kompaktnosti. Lemma: uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktní, kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřená, spojitá funkce zobrazí kompaktní množinu na kompaktní. | Kniha kap. 6.2 a 6.3. |
| 15. 3. | [IK] Důkaz posledního lemmatu z minula. Součinová topologie, poznámka o box topology. Příklady: reálná rovina, Sorgenfreyova rovina, Cantorova množina. Bez důkazu: Součin Hausdorffových prostorů je Hausdorffův, Tichonovova věta (zmíněno cvičení: dokázat ji pro dva prostory). Aplikace: barvení nekonečných grafů. Věta (důkaz každý sám): Podmnožina Euklidovského prostoru je kompaktní právě tehdy, když je uzavřená a omezená. Motivace homotopické ekvivalence. Homotopie, homotopická zobrazení, příklady. Homotopicky ekvivalentní prostory. | Kniha kap. 6.3 a 6.4. |
| 22. 3. | [IK] Borsuk Ulam? | Kniha kap. 6.5? |
| 29. 3. | [RS] Operace s topologickými prostory (faktorprostor, join). Kategorický pohled: velmi jemný úvod do teorie kategorií, definice součinu jako limity diagramu. | Kniha kap. 6.6 |
| 5. 4. | [RS] Simpliciální komplexy: abstraktní a geometrické, vztahy mezi nimi. Simpliciální zobrazení (a pomocí něj definované zobrazení na geometrické realizaci, užijí se barycentrické souřadnice). | Kniha kap. 6.7 |
| 12.4. | [RS] Joiny pro simpliciální komplexy. Příklady simpliciálních komplexů. CW komplexy a simpliciální množiny. (Podrobnější vysvětlení s pěknými obrázky.) Nevnořitelnost: motivace, věta van Kampen-Flores, její důkaz pomocí mazaného součinu, resp. joinu a simpliciálního mazaného joinu. | Učební text kap. 6.7 a 6.8. |
| 19.4. | Homotopie a homologie - obrázkový úvod. Definice pointed space/zakořeněné prostory, zakořeněná homotopie. Definice fundamentální grupy. Problémy s algoritmickým výpočtem grupy pro obecný 2-dimenzionální simplex. Funktor. Náznak důkazu, proč je "křivka okolo díry" homotopicky netriviální. | Učební text kap. 6.9 (ne celá). |
| 26.4. | Vyšší homotopické grupy: definice, komutativita. Krátce: vyšší homotopické grupy sfér (neformálně popsáno Hopfovo zobrazení $S^3 \to S^2$). Definice $k$-řetězců, hraniční operátor, $k$-cykly. Hranice má prázdnou hranici. Definice $k$-té homologické grupy. Příklady. Hezké video pro Hopfovo zobrazení a přednáška kde je vysvětlení. | Učební text zbytek kap. 6.9 a začátek kap. 6.10. |
| 3.5. | [MT] Další příklad: homologie hranice simplexu. Eulerova charakteristika. Tvrzení: Eulerova charakteristika je rovna alternující sumě dimenzí homologických grup. Homologie s celočíselnými koeficienty. Příklady: orientovatelnost plochy pomocí homologie; separující křivka pomocí homologie. Funktorialita homologie, zatím pouze definice $f_\#$ a že komutuje s hraničním operátorem. | Kniha kap. 6.10, část. Pro Eulerovu charakteristiku: Hatcher, věta 2.44 (v trochu obecnější formě než na přednášce). |
| 10.5. | [MT] Definice $f_*$ pro $f$ simpliciální. Řetězcový komplex a řetězcové zobrazení; indukované zobrazení v homologii. Podrozdělení, lemma: libovolný komplex lze odrozdělit na komplex se simplexy s diametrem nejvýše $\varepsilon$; náznak důkazu přes barycentrická podrozdělení. Simpliciální aproximace a věta o simpliciální aproximaci. Důsledek: spojité zobrazení $f\colon S^{n-1} \to S^n$ je nutně nulhomotopické. | Kniha kap. 6.10, 6.11. |
| 17.5. | [MT] Nezávislost homologie na triangulaci: zobrazení $\lambda_*$ a $\gamma_*$ mezi homologií komplexu a homologií jeho podrozdělení; Definice $f_*$ pro obecné spojité zobrazení $f\colon |K| \to |L|$; funktorialita homologie (bez důkazu). Důsledek: homologie opravdu nezávisí na triangulaci. Poznámka o homotopické ekvivalenci. Dvě aplikace: $\mathbb{R}^m$ a $\mathbb{R}^n$ nejsou homeomorfní pro $m \neq n$ a Brouwerova věta o pevném bodě. Kohomologie: duální vektorové prostory; adjungované zobrazení; dualizace řetězcového komplexu pro homologii; grupy kořetězců, kocycklů, kohranic, kohomologické grupy; velmi letmá zmínka o "cup productu". | Kniha kap. 6.12, 6.13, konec 6.10. |
| 24.5. | [MT] Singulární homologie: definice; pro polyédr simpliciálnícho komplexu vychází stejně jako simpliciální homologie (bez důkazu). Exaktní posloupnost a její vlastnosti. Mayer-Vietroisova exaktní posloupnost (jako věta bez důkazu). Počítání homologie sféry a Kleinovy lahve pomocí Mayer-Vietorisovy posloupnosti. Varieta a varieta s okrajem (v podstatě jen definice). | Hatcher: kap. 2.1 (Singular Homology), kap. 2.2 (Mayer-Vietoris sequences). Kniha kap. 6.14 (jen definice variety). |