| 13.10. (MT) |
Vnější Lebesgueova míra na $\mathbb{R}$, vnější míra intervalu, subaditivita. Vitaliho
množina a neplatnost spočetné aditivity pro vnější míru. Měřitelné množiny.
Měřitelné množiny tvoří sigma-algebru. (Spočetné sjednocení měřitelných množin
zachovává měřitelnost - dokázáno pouze pro konečná sjednocení.) Definice
Lebesgueovy míry jako restrikce vnější míry na meřitelné množiny. Obecná
definice prostoru s mírou. Důkaz že Lebesgueova míra je míra.
|
[KMS] 1.1 |
| 20.10. (MT) |
Poznámka o Lebesgueově míře na $\mathbb{R}^d$. Borelovské množiny. Úplná míra.
Měřitelné množiny získáme jako sigma-algebru tvořenou všemi borelovskými množinami a
dále podmnožinami borelovských množin nulové míry (bez dk.).
Zmínka o Lebesgueově větě o hustotě. Zmínka o pravděpodobnostním prostoru.
Měřitelné funkce. Neformálně zmíněny Littlewoodovy principy.
Operace s měřitelnými funkcemi (bez dk., pozor na složení). Jednoduché funkce.
K měřitelné funkci lze dokonvergovat zdola pomoci jednoduchých funkcí (zatím bez dk.).
Definice Lebesgueova integrálu.
|
[KMS] 1.1 a 1.2 |
| 27.10.(RS) |
K měřitelné funkci lze dokonvergovat zdola pomoci jednoduchých funkcí (s dk).
Jednoduché vlastnosti integrálu.
Protipříklady na naivní prohazování limity a integrálu.
Fatouovo lemma,
věta o monotónní konvergenci (Levi). Linearita integrálu.
Věta o omezené konvergenci (Lebesgue).
| [KMS] 1.2 |
| 3.11.(RS) |
Dodatek k důkazu Fatouova lemmatu.
Aplikace omezené konvergence -- Stirlingův vzorec.
Věta o substituci a Fubiniova věta.
Integrál z $e^{-x^2/2}$.
Kolmogorovská axiomatika teorie pravděpodobnosti,
modelování pravděpodobnostních pojmů v teorii míry.
| [KMS] 1.3, 2.3, Stirling's formula by Keith Conrad |
| 10. 11.(RS) |
Popis náhodné veličiny pomocí distribuční funkce a pomocí hustoty. Vypočty střední hodnoty apod. pomocí hustoty.
Normální rozdělení v $\mathbb{R}$ a v $\mathbb{R}^n$. Hustota, distribuční funkce a její odhady. Vztah s chybovou funkcí (error function).
Použití vícerozměrného Gaussova rozdělení pro generování bodů na sféře.
Symetrie rozdělení a její důsledek: stabilita jednorozměrného normálního rozdělení (součet dvou nezávislých normálních veličin je normální, byť s jinými parametry).
Souvislost normálního rozdělení z centrální limitní větou a s odhadem binomických koeficientů.
|
[KMS] 2.3 |
| 24.11.(MT) |
Vícerozměrná geometrie. Paradoxy míry ve vyšší dimenzi. Unimodulární funkce. Brunnova věta. Zobecnění Brunnovy věty: Brunn-Minkowského nerovnost. Důkaz, že je to
vsktuku zobecnění. Izoperimetrická nerovnost. Důkaz pomocí B.-M. nerovnosti. 1.-rozměrná B.-M. nerovnost s vnější mírou. B.-M. nerovnost nezávislá na dimenzi a důkaz, že
implikuje standardní B.-M. nerovnost.
|
[KMS] 2.1, malá část 2.2
|
| 1.12.(MT) |
Prékopa-Leindlerova nerovnost (s důkazem) jako zobecnění B.-M. nerovnosti. Koncentrace míry na sféře. Další prostory s koncentrací ($\mathbb{R}^n$ s gaussovskou mírou, Hammingova krychle, permutace, expandéry). Náznak, že důkazy se dělají přes izoperimetrické nerovnosti.
|
[KMS] 2.2, 2.4
|
| 8. 12. (MT) |
Lipschitzovské funkce. Koncentrace lipschitzovských funkcí (Lévyho lemma). (Pozn. o příp. nahrazení mediánu
střední hodnotou.) Gromovova věta "o obvodu pasu sféry". Johnsson-Lindenstraussovo lemma. Lemma o náhodné gaussovské projekci (zbývá dokázat). Důkaz, že J.-L. lemma plyne z lemma o náh. gauss. projekci.
|
[KMS] 2.4
|
| 15. 12. (MT) |
Připomenutí gaussovské míry. Koncentrace gaussovské míry ve sférické slupce. Důkaz gaussovského projekčního lemma. Základy funkcionální analýzy. Normovaný lineární prostor, Banachův prostor. Ekvivalentní normy.
|
[KMS] 2.4, [L] A.
|
| 6.1.2016 (RS) |
Banachovy prostory: definice, příklady, motivace (zúplnění lineárního prostoru, coby analogie zúplnění racionálních čísel, čímž se
v MA dostanou reálná čísla). Lineární operátory a jejich spojitost (a ekvivalentní vlastnosti). Operátorová norma. Zúplnění.
Banachova algebra.
|
[L]/[EW]
|
| 13.1.2016 (RS) |
Hilbertovy prostory. Definice. Připomenutí Cauchyho nerovnosti. Promítání na konvexní množiny a její jednoznačnost.
Důsledek: promítání na uzavřené prostory. Algebraický vs. topologický součet prostorů.
Existence báze (pomocí transfinitní indukce nebo Zornova lemmatu).
Hamelova vs. Schauderova báze (v jiné terminologii: báze vs. ortonormální báze) -- Fourierova analýza.
Ortogonální rozklad.
Fréchet-Rieszova reprezentace. Aplikace: Radon-Nikodýmova derivace abs. spojité míry, podmíněná střední hodnota.
|
[L]/[EW]
|
| 21.1.2016 (RS) |
Duální prostory -- definice a konkrétní příklady: duály k $\ell_p$, $L_p$ (pro $p \in (0,1)$), Hilbertovým prostorům,
$\ell_1$, $c_0$, $C(K)$.
Hahn-Banachova věta (verze s rozšiřováním operátoru při zachování normy). Důsledky: tečna k jednotkové koule v každém bodě, duál odděluje body,
norma na $X^{**}$ je stejná jako na $X$.
Definice spektra operátoru (jen informativně). Motivace (na kterou nezbyl čas): spočíst spektrum nekonečného stromu a aplikovat na
vlastnosti expanderů.
|
[L]/[EW]
|