Informace k přednášce Matematika++, ZS 2015/2016

Robert Šámal, Martin Tancer

Rozsah

Dvě hodiny přednášky a dvě hodiny cvičení týdně (2/2). Zápočet, zkouška.

Termín

Přednáška úterý 17:20 S4. Cvičení středa 10:40 S3. Cvičení probíhá nepravidelně, viz stránka cvičícího. 22.12. se přednáška nekoná Místo toho je přednáška 21.1. 10:40-12:10 v S4.

Náplň

V moderní informatice se často používají matematické nástroje, které překračují rozsah matematických přednášek v bakalářském programu informatiky. V této přednášce se posluchači seznámí s poněkud zhuštěnými základy některých matematických odvětví, které se pro informatiku a diskrétní matematiku ukázaly zvlášť významné.

Předpoklady

Zájem o matematiku, matematické znalosti zhruba v rozsahu informatického bakalářského studia na MFF UK. Navazovat budeme hlavně na analýzu, pravděpodobnost a lineární algebru. Letos se zaměříme na teorii míry, geometrii ve vysoké dimenzi a funkcionální analýzu.

Cvičení

Podstatná část cvičení bude spočívat v samostatné domácí práci posluchačů. Zápočet bude za vyřešení dostatečného množství příkladů. Cvičení povede Radek Hušek.

Literatura

Probraná témata

Pravděpodobně budou podobná jako před třemi lety.
DatumObsahZdroje
13.10. (MT) Vnější Lebesgueova míra na R, vnější míra intervalu, subaditivita. Vitaliho množina a neplatnost spočetné aditivity pro vnější míru. Měřitelné množiny. Měřitelné množiny tvoří sigma-algebru. (Spočetné sjednocení měřitelných množin zachovává měřitelnost - dokázáno pouze pro konečná sjednocení.) Definice Lebesgueovy míry jako restrikce vnější míry na meřitelné množiny. Obecná definice prostoru s mírou. Důkaz že Lebesgueova míra je míra. [KMS] 1.1
20.10. (MT) Poznámka o Lebesgueově míře na R^d. Borelovské množiny. Úplná míra. Měřitelné množiny získáme jako sigma-algebru tvořenou všemi borelovskými množinami a dále podmnožinami borelovských množin nulové míry (bez dk.). Zmínka o Lebesgueově větě o hustotě. Zmínka o pravděpodobnostním prostoru. Měřitelné funkce. Neformálně zmíněny Littlewoodovy principy. Operace s měřitelnými funkcemi (bez dk., pozor na složení). Jednoduché funkce. K měřitelné funkci lze dokonvergovat zdola pomoci jednoduchých funkcí (zatím bez dk.). Definice Lebesgueova integrálu. [KMS] 1.1 a 1.2
27.10.(RS) K měřitelné funkci lze dokonvergovat zdola pomoci jednoduchých funkcí (s dk). Jednoduché vlastnosti integrálu. Protipříklady na naivní prohazování limity a integrálu. Fatouovo lemma, věta o monotónní konvergenci (Levi). Linearita integrálu. Věta o omezené konvergenci (Lebesgue). [KMS] 1.2
3.11.(RS) Dodatek k důkazu Fatouova lemmatu. Aplikace omezené konvergence -- Stirlingův vzorec. Věta o substituci a Fubiniova věta. Integrál z $e^{-x^2/2}$. Kolmogorovská axiomatika teorie pravděpodobnosti, modelování pravděpodobnostních pojmů v teorii míry. [KMS] 1.3, 2.3, Stirling's formula by Keith Conrad
10. 11.(RS) Popis náhodné veličiny pomocí distribuční funkce a pomocí hustoty. Vypočty střední hodnoty apod. pomocí hustoty. Normální rozdělení v $\R$ a v $\R^n$. Hustota, distribuční funkce a její odhady. Vztah s chybovou funkcí (error function). Použití vícerozměrného Gaussova rozdělení pro generování bodů na sféře. Symetrie rozdělení a její důsledek: stabilita jednorozměrného normálního rozdělení (součet dvou nezávislých normálních veličin je normální, byť s jinými parametry). Souvislost normálního rozdělení z centrální limitní větou a s odhadem binomických koeficientů. [KMS] 2.3
24.11.(MT) Vícerozměrná geometrie. Paradoxy míry ve vyšší dimenzi. Unimodulární funkce. Brunnova věta. Zobecnění Brunnovy věty: Brunn-Minkowského nerovnost. Důkaz, že je to vsktuku zobecnění. Izoperimetrická nerovnost. Důkaz pomocí B.-M. nerovnosti. 1.-rozměrná B.-M. nerovnost s vnější mírou. B.-M. nerovnost nezávislá na dimenzi a důkaz, že implikuje standardní B.-M. nerovnost. [KMS] 2.1, malá část 2.2
1.12.(MT) Prékopa-Leindlerova nerovnost (s důkazem) jako zobecnění B.-M. nerovnosti. Koncentrace míry na sféře. Další prostory s koncentrací ($\R^n$ s gaussovskou mírou, Hammingova krychle, permutace, expandéry). Náznak, že důkazy se dělají přes izoperimetrické nerovnosti. [KMS] 2.2, 2.4
8. 12. (MT) Lipschitzovské funkce. Koncentrace lipschitzovských funkcí (Lévyho lemma). (Pozn. o příp. nahrazení mediánu střední hodnotou.) Gromovova věta "o obvodu pasu sféry". Johnsson-Lindenstraussovo lemma. Lemma o náhodné gaussovské projekci (zbývá dokázat). Důkaz, že J.-L. lemma plyne z lemma o náh. gauss. projekci. [KMS] 2.4
15. 12. (MT) Připomenutí gaussovské míry. Koncentrace gaussovské míry ve sférické slupce. Důkaz gaussovského projekčního lemma. Základy funkcionální analýzy. Normovaný lineární prostor, Banachův prostor. Ekvivalentní normy. [KMS] 2.4, [L] A.
6.1.2016 (RS) Banachovy prostory: definice, příklady, motivace (zúplnění lineárního prostoru, coby analogie zúplnění racionálních čísel, čímž se v MA dostanou reálná čísla). Lineární operátory a jejich spojitost (a ekvivalentní vlastnosti). Operátorová norma. Zúplnění. Banachova algebra. [L]/[EW]
13.1.2016 (RS) Hilbertovy prostory. Definice. Připomenutí Cauchyho nerovnosti. Promítání na konvexní množiny a její jednoznačnost. Důsledek: promítání na uzavřené prostory. Algebraický vs. topologický součet prostorů. Existence báze (pomocí transfinitní indukce nebo Zornova lemmatu). Hamelova vs. Schauderova báze (v jiné terminologii: báze vs. ortonormální báze) -- Fourierova analýza. Ortogonální rozklad. Fréchet-Rieszova reprezentace. Aplikace: Radon-Nikodýmova derivace abs. spojité míry, podmíněná střední hodnota. [L]/[EW]
21.1.2016 (RS) Duální prostory -- definice a konkrétní příklady: duály k $\ell_p$, $L_p$ (pro $p \in (0,1)$), Hilbertovým prostorům, $\ell_1$, $c_0$, $C(K)$. Hahn-Banachova věta (verze s rozšiřováním operátoru při zachování normy). Důsledky: tečna k jednotkové koule v každém bodě, duál odděluje body, norma na $X^*^*$ je stejná jako na $X$. Definice spektra operátoru (jen informativně). Motivace (na kterou nezbyl čas): spočíst spektrum nekonečného stromu a aplikovat na vlastnosti expanderů. [L]/[EW]