Proseminář z matematické analýzy NMAI068, LS 2013/14

Místo a čas přednášky: přednáška/proseminář je v pondělí od 15:40 v S8 na Malé Straně.
Plán přednášky. Rozvinu některá temata z MAI, MA II a MAIII. Určitě začnu tímto: Thomassenův důkaz Jordanovy věty o kružnici (tato věta říká, že když f: [0, 1] --> R^2 je spojité zobrazení, jež je až na f(0) = f(1) prosté, pak se rovina po vyhození "kružnice" f([0, 1]) rozpadá na právě dvě souvislé komponenty, vnitřek kružnice a její vnějšek) a Baireova věta o kategorii s aplikacemi (tato věta říká, že úplný metrický prostor není sjednocením spočetně mnoha řídkých množin).

Podmínky pro získání zápočtu. 

Literatura. Literatura bude uvedena na přednášce.

1. přednáška 24. 2. 2014.  1. Jordanova věta o kružnici. Jordanova věta o kružnici: vyhozením topologické kružnice se rovina rozpadne na dvě souvislé komponenty. Předvedeme si Thomassenův důkaz z r. 1992. Opakování souvislosti. Tvrzení: otevřená podmnožina X roviny je souvislá iff každé dva její body lze v X spojit lomenou čarou, důkaz. Komponenty souvislosti (otevřených množin). Historie kolem J. věty, Halesův formalizovaný důkaz (rozdán Halesův článek z AMM). Grafy a jejich nakreslení, rovinné a polygonální rovinné nakreslení. Kroky Thomassenova důkazu: K1. J. věta platí pro polygony; K2. Je-li K prostá křivka, je R^2 \ K souvislá; K3. Graf K_{3,3} nemá polygonální rovinné nakreslení; K4. Má-li graf rovinné nakreslení, má i polygonální rovinné nakreslení a K5. Když neplatí J. věta, pak K_{3,3} je rovinný graf. Příště začneme krokem K5. Zápis z 1. přednášky .
2. přednáška 3. 3. 2014. Krok K5. Na přednášce jsem druhý případ (doplněk kružnice má alespoň 3 komponenty) zvojtil, ale zde to je doufejme správně: Zápis z 2. přednášky .
3. přednáška 10. 3. 2014. Zápis ze 3. přednášky . (Toť poprvé, kdy se mi kdy podařilo dát na web text přednášky předem (v pátek 7. 3.). Asi mě ta Jordanova věta opravdu zajímá.) Odpředneseno vše až na poslední část, že doplněk polygonu má nejvýše dvě komponenty. Tím začneme příště.
4. přednáška 17. 3. 2014. Důkaz, že doplněk polygonu v rovině má nejvýše dvě komponenty. Krok K3 pomocí kroku K1, ponecháno z větší části jako dom. cv. Krok K2: začátek důkazu, dokončení příště.  Zápis ze 4. přednášky.
5. přednáška 24. 3. 2014. Důkaz kroku K2 (doplněk prosté křivky je souvislý), pomocí tohoto Tvrzení: jsou-li N_1, N_2, ..., N_k polygonální rovinná nakreslení 2-souvislých grafů, přičemž N_j a N_{j + 1} se protínají alespoň ve 2 bodech, ale jinak jsou N_j disjunktní, a x je bod, jenž je vně každého nakreslení N_j sjednoceno N_{j + 1}, pak x je vně celého nakreslení N_1 sjednoceno N_2 sjednoceno ... sjednoceno N_k. Zápis z 5. přednášky .
6. přednáška 31. 3. 2014. Ještě pár zajímavostí kolem křivek v rovině: problém skládacího metru (lze vždy napřímit lomenou čáru?), Toeplitzův problém (obsahuje každá topologická kružnice vepsaný čtverec?) a věta o stole (na každou nerovnou podlahu lze postavit stůl libovolné dané velikosti, že stojí rovně (přesná formulace věty je v zápisu z přednášky)). 2. Brouwerova věta o pevném bodu. Tato věta říká, že každé spojité zobrazení z I^n do I^n, kde I = [0, 1], má pevný bod. Spernerovo lemma o obarvení skorotriangulace, dokážeme příště. Odvození B. věty ze S. lemmatu, dokončíme příště. Zápis ze 6. přednášky (bude doplněno).
7. přednáška 7. 4. 2014. Snad pořádně řečený důkaz Br. v. o p. bodu a Sp. lemmatu. Dom. cv.: z této věty plyne, že křivka ve čtverci jdoucí zleva doprava vždy protne druhou křivku  jdoucí zdola nahoru. Popsán induktivní důkaz Sp. lemmatu, navržený p. Touškem. Věta o vlasaté kouli: sféra S^2 nemá žádné spojité vektorové pole jednotkových tečných vektorů ("nedá se učesat"). Lze to dokázat opět pomocí jisté verze Spernerova lemmatu, článek o tom dán přečíst k zápočtu. Zápis ze 7. přednášky (bude doplněno).
8. přednáška 14. 4. 2014. 3. Diferenciální rovnice. Podle str. 65-69 tohoto textu. Co jsem zmínil navíc: mezi 7 problémy tisíciletí Clayova ústavu za $10^6 je i problém z oblasti PDR, totiž o Navierových-Stokesových rovnicích popisujících proudění tekutin (zatím vyřešena pouze Poincarého domněnka; Perelmanovi jsou ale bucks uncle Sama šuma fuk), přesné řešení rovnice kyvadla (sin(phi) se neaproximuje phi) vede na eliptické integrály.  
9. přednáška 28. 4. 2014. (21. 4. bylo Velikonoční pondělí.) Peanova věta o existenci řešení diferenciální rovnice:  Je-li f(t, y) spojitá funkce definovaná na okolí bodu (t_0, y_0) v rovině, pak vždy existuje (ne nutně jednoznačné) lokální řešení úlohy y(t_0) = y_0, y'(t) = f(t, y(t)).  Důkaz je založen na Arzelově-Ascoliho větě o kompaktních množinách v MPu spojitých funkcí C(I) (se supremovou metrikou).  Zápis z 9. přednášky.
10. přednáška 5. 5. 2014. Rekapitulace důkazu Picardovy věty. Dále podle str. 69-73 tohoto textu.
11. přednáška 12. 5. 2014. Soustavy lineárních ODR 1. řádu, lineární ODR řádu n s konstantními koeficienty, viz str. 77-83 tohoto textu.
12. přednáška 19. 5. 2014. Dokončení: důkaz, že funkce x^k.exp(lambda.x) tvoří FSŘ rovnice a_ny^{(n)} + ... + a_1y' + a_0y = 0, viz tento text. Zápočty. 

květen 2014