2. přednáška 9. 10. 2012. Dokázali
jsme vlastně, že množina P(N) všech podmnožin množiny N = {1, 2, ...}
je nespočetná. Množina všech algoritmicky vyčíslitelných reálných čísel
je spočetná, takže skoro všechna reálná čísla jsou nevyčíslitelná.
Horní a dolní meze množiny, maxima, minima,
infima, suprema. Příklady, zejména: neprázdná a shora omezená množina
zlomků, která nemá supremum. Věta o supremu: každá neprázdná a
shora
omezená množina reálných čísel má supremum, důkaz ještě zrekapituluju
příště. Cantorova věta o
vnořených intervalech, odvození z věty o supremu. Zde je zhruba
text 2. přednášky, jak byla před 2 lety; letos jsme něco stihli, něco ne.
Úlohy
k přednášce. 1. Proveďte podrobně geometrický důkaz iracionality odmocniny ze 2.
3. přednáška 16. 10. 2012. Ještě
k důkaz věty o supremu (hladová definice "největšího
prvku'' shora omezené množiny kladných desetinných rozvojů dává přesně
její supremum) pomocí příkladu. Zmínka o archimédovskosti R: pro každé
reálné číslo a existuje přir. číslo n tak, že a < 1 + 1 + 1 + ... +
1 (n jedniček).
Úlohy. 1.
Sestrojte uspořádané nearchimédovské těleso, tj. s prvky většími než
jakékoli přirozené číslo. 2. Je to těleso R s přidaným +nekonečnem
(popř. i -nekonečnem)?
Druhá část - posloupnosti a řady reálných čísel.
Posloupnosti, omezené, neklesající
atd. Příklady, zadání posloupnosti vzorcem a rekurencí. Fibonacciova
čísla a posloupnost a_0 = 3, a_n = 2^{2^n} + 1 = a_0a_1...a_{n-1} + 2.
Limita posloupnosti, vlastní a nevlastní, příklady. Cauchyovské
posloupnosti. Důkaz, že lim n^{1/n} = 1. Viz strany 15 - 18
učebního textu .
4. přednáška 23. 10. 2012. Základní existenční věty o
limitách posloupností: jednoznačnost limity, monotonie a omezenost
zaručují konvergenci, podposloupnost má tutéž limitu, Bolzanova-Weierstrassova věta
(každá omezená posloupnost má konvergentní podposloupnost).
Úloha:
najděte dvě posloupnosti a = (a_1, a_2, ...) a b = (b_1, b_2, ...), že
a je podposloupností b, b je podposloupností a, ale nerovnají se. Viz
str. 18-21
učebního textu .
5. přednáška 30. 10. 2012. Každá posloupnost má podposloupnost, jež má vlastní či nevlastní limitu. Věta: konvergence
<=> cauchyovskost.
Posloupnost (1, 1 + 1/2, 1 + 1/2 + 1/3, ...) není cauchyovská a má proto limitu + nekonečno. Limita
a uspořádání, věta o 2 policajtech, poznámky o nevlastních limitách. Aritmetika limit (+, x a : a limity), důkaz pro násobení.
Úloha:
dokažte si větu o aritmetice limit pro sčítání a dělení. Neurčité výrazy, podrobněji příště. Viz str. 21-23
učebního textu .
6. přednáška 6. 11. 2012. Neurčité
výrazy: rozšířená reálná osa a počítání s nekonečny. Dvě základní
limity: limita pro n jdoucí do nekonečna z 1) n^a a 2) q^n, kde a a q
jsou reálné parametry. Liminf a limsup posloupnosti, bez důkazů.
Příklad: lim 2^n / n = + nekonečno.
Úlohy 1. Dokažte si druhou základní limitu pro q > 1 a pro -1 < q < 1.
2. Čemu
se rovnají limity pro n jdoucí do nekonečna z q^n / n^a, pokud a) q
> 1 a a > 0 a b) -1 < q < 1 a a < 0; a) je limita
+nekonečno / + nekonečno a b) je limita 0 / 0. Nekonečné řady reálných
čísel. Základní definice: částečné součty, součet řady, konvergentní a
divergentní řady. Geometrická řada 1 + q + q^2 + ... = 1 / (1 - q),
podrobněji příště. Viz str. 24-34
učebního textu .
7. přednáška 13. 11. 2012.
Tvrzení: nutná podmínka konvergence a Cauchyova podmínka konvergence
(nutná a postačující). Dvě důležité řady: geometrická řada 1 + q +
q^2 + q^3 + ... a řada 1 + 2^s + 3^s + 4^s + ... a jejich konvergence.
Důkaz konvergence řady 1/1^2 + 1/2^2 + ... převedením na řadu
1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ... = 1. Absolutní konvergence, implikuje konvergenci. Leibnizovo kritérium
neabsolutní konvergence. Lineární kombinace řad. Řady s nezápornými
členy: srovnávací kritérium, Viz strany 33 - 39
učebního textu.
Úlohy
k přednášce. Jak by se
dokázalo, že 1/1^{3/2} + 1/2^{3/2} + ..., popřípadě obecně 1/1^s +
2^s + ... pro s > 1, konverguje za pomoci metody použité pro s = 2 ?
8. přednáška 20. 11. 2012.
Odmocninové (čili Cauchyovo) kritérium, podílové (čili d'Alambertovo)
kritérium.
Abelovo a Dirichletovo kritérium neabsolutní konvergence řady, s
důkazem. Příklady. Definice přerovnání řady. Viz strany 39 - 47
učebního textu.
9. přednáška 27. 11. 2012.
Přerovnání řady. Přerovnání řady nezmění její součet, pakliže konverguje
absolutně, důkaz. Na druhou stranu, u neabsolutně konvergentní
řady lze přerovnáním součet libovolně změnit (Riemannova věta), náznak důkazu.
Třetí část - funkce jedné reálné proměnné. Rostoucí,
omezené funkce atd. Definice různých okolí bodu. Definice limity funkce
v bodě. Funkce spojitá v bodě. Viz strany 47 - 52
učebního textu.
10. přednáška 4. 12. 2012.
Příklady limit funkce v bodě. Jednostranné limity. Jednoznačnost
funkční limity.
Heineho definice limity, s důkazem. Aritmetika limit funkcí, limity
funkcí a uspořádání - analogické limitám posloupností, bez důkazů.
Limita složené funkce, bez důkazu. Tvrzení o limitě
monotónní funkce, důkaz. Polynomy jsou spojité v
každém bodu svého definičního oboru.
Viz strany 52 - 58
učebního textu.
11. přednáška 11. 12. 2012. Spojitost funkcí na
intervalu. Věta: funkce spojitá na kompaktním intervalu (tj. intervalu
typu [a,b]) na něm nabývá maxima a minima, důkaz. Darbouxova věta o
nabývání mezihodnot: když f(a)<c<f(b) a f je na [a,b] spojitá,
pak existuje u, a<u<b, že f(u)=c, důkaz; stručněji: obraz intervalu spojitou funkcí je zase interval. Věta o spojitosti
inverzní funkce, bez důkazu. Definice derivace, jednostranné derivace,
geometrický a aproximační smysl derivace (speciálně: f'(a) existuje
vlastní => f je v a spojitá), důkaz. Věta o aritmetice derivací, bez důkazu. Viz strany 59 - 78
učebního textu.
12. přednáška 18. 12. 2012. Věta
o derivaci složené funkce, bez d., a věta o derivaci inverzní funkce,
bez d. Nenulová derivace v bodě a vylučuje lokální extrém v bodě a,
důkaz. Věty o střední hodnotě: Rolleova a Lagrangeova, s důkazy.
l'Hospitalovo pravidlo o počítání limit typu 0 / 0 a oo / oo, bez d.,
příklady. Souvislost znaménka derivace funkce a její monotonie na
intervalu, důkaz. Derivace vyšších řádů, definice konvexní a konkávní
funce. Viz strany 78 - 93
učebního textu. Na přednášce byl rozdán textík s přehledem derivací elementárních funkcí (str. 81 - 86).
13. přednáška 8. 1. 2013. O
konvexitě (konkavitě): implikují existeci vlastních jednostranných
derivací a tedy spojitost, vztah k f'', inflexní bod - definice, nutná
podmínka, postačující podmínka, vše bez důkazu. Taylorův polynom a
Taylorova řada. Věta: charakterizace T. polynomu, důkaz. Lagrangeův a
Cauchyův tvar zbytku T. polynomu, bez důkazu. T. řady funkcí exp(x),
sin(x), cos(x), log(1+x), (1+x)^a a arctan(x) a obory jejich
konvergence, uvedeny bez důkazu. Viz strany 94 - 112
učebního textu.
leden 2013