Pravidelná každoroční přednáška,
co jsem přednášel dříve lze nalézt
zde.
Sylabus
a anotace jsou v SISu. K
přednášce jsem napsal
učební text
v angličtině,
zde jsou k němu
opravy a doplňky.
Přednáška se koná v pondělí od 10:40 v S11 (Malá Strana, 1. patro).
Literatura - skoro vše, co
přednáším, lze nalézt v klasické knize
G.
H. Hardy & E. M. Wright: An
Introduction to the Theory of Numbers. Další literatura bude uvedena během prednášky.
Zkouška je ústní s
písemnou přípravou. Zkušební termíny: viz SIS (nebo po domluvě). Zkušební otázky: 1a.
Dirichletova věta o diof. aproximacích a její
aplikace.
1b. Existence transcendentních
čísel: Liouvilleova
nerovnost.
1c. Důkaz transcendence čísla e.
2a. Teorie Pellovy
rovnice.
2b. Lagrangeova
věta o 4 čtvercích, aritmetický důkaz.
3a. Mřížky a jejich vlastnosti, Fareovy zlomky pomocí mřížek.
3b. Geometrický důkaz Lagrangeovy věty o čtyřech čtvercích.
4a. Čebyševovy odhady
prvočíselné funkce pi(x).
4b.
Spec. případ Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti
pro modul 4: dokažte, že sum_{p = 1 + 4n < x} (log p) / p =
(log x) / 2 +
O(1) i sum_{p = 3 + 4n < x} (log p) / p = (log x) / 2 +
O(1);
důkaz je sepsán zde.
5. Teorie kvadratických
zbytků včetně zákona
reciprocity.
6. Dokažte Eulerovu pentagonální identitu.
Poznámka. Přednáška
zatím probíhá v angličtině (vzhledem ke 2 zahraničním účastníkům), což
je premiéra, ale zápis níže ponechávám v češtině. I am lecturing in
English (because of two foreign participants), for the first time, but
I leave the overview below in Czech.
1. přednáška 6. 10. 2014. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova
věta (|a - p/q| < q^{-2} má pro každé iracionální a nekonečně mnoho
racionálních řešení p/q), důkaz. Hurwitzova věta o nejlepší konstantě v
D. větě, bez důkazu. Důsledek: Fermatova-Eulerova věta o 2 čtvercích.
Fareyovy zlomky. Odvození D. věty ze základní vlastnosti F. zlomků (dva
sousedé mají nejmenší možnou vzdálenost) a důkaz této vlastnosti.
2. přednáška 13. 10. 2014.
Stručně o řetězových zlomcích. Liouvilleova nerovnost (pro každé
algebraické číslo a je |a - p/q| >> q^{- deg a}) (konstanta v
>> závisí pouze na a), důkaz. Důkaz důsledku, že
0.110001000000000000000001000... (cifry 1 jsou na místech 1!, 2!, 3!,
4!, atd.) je transcendentní. Zmíněna Mahlerova nerovnost (|pi - p/q|
> 1/q^{42}, q>1) a zesílení L. nerovnosti, Thueho nerovnost (pro
každé algebraické číslo a s deg a > 2 a ep>0 je |a - p/q|
>> q^{- deg a/2 - 1 - ep}).
3. přednáška 20. 10. 2014. Důsledek:
x^3 - 2y^3 = 1 má v Z jen konečně mnoho řešení. Rothova věta (pro každé
algebraické číslo a s deg a > 2 a ep>0 je |a - p/q| >> q^{-
2 - ep}), samozřejmě bez důkazu. Číslo e je transcendentní, důkaz.
2. Diofantické rovnice. Pythagorejské trojice, jejich úplná charakterizace, důkaz příště.
4. přednáška 27. 10. 2014. Důkaz
charakterizace pythagorejských trojic, též geometrické odvození
(racionální parametrizace kružnice). Pellova rovnice x^2 - dy^2 = 1.
Lagrangeova věta: každá Pellova rovnice má nekonečně mnoho
(celočíselných) řešení, důkaz za pomoci Dirichleta. Příště: grupová
struktura řešení Pellovy rovnice.
5. přednáška 3. 11. 2014. Kladná
(tj. a + bd^{1/2} > 0) řešení Pellovy rovnice tvoří nekonečnou
cyklickou grupu (vzhledem k násobení reálných čísel). Zobecněná Pellova
rovnice x^2 - dy^2 = m - má buď 0 řešení nebo nekonečně mnoho. Příklad
s generováním nekonečně mnoha řešení rovnice x^3 + y^3 + z^3 + w^3 = 2
pomocí zobecněné Pellovy rovnice X^2 - 5Y^2 = 41. Lagrangeova
věta o 4 čtvercích, začátek aritmetického důkazu, dokázáno L1
(kongruence a^2 + b^2 + 1 = 0 mod p) a L2 (Eulerova čtyřčtvercová
identita), dokončení příště.
6. přednáška 10. 11. 2014. Dokončení důkazu Lagrangeovy
věty o 4 čtvercích.
3. Geometrie čísel. Mřížky v R^d, základní rovnoběžnostěn, jeho objem nezávisí na na volbě báze a jeho posuny vektory mřížky rozkládají R^d.
17. 11. 2014 přednáška odpadla - Den boje za svobodu a demokracii.
7. přednáška 24. 11. 2014. Geometrický
důkaz vlastnosti Fareyovych zlomků, že sousední mají nejmenší možnou
vzdálenost. Minkowskiho věta o konvexní množině, důkaz. Aplikace: každé
nezáporné celé číslo je součet čtyř čtverců, důkaz.
4. Prvočísla. Dva důkazy nekonečnosti jejich počtu: Euklidův a Goldbachův, dokončení a alespoň ještě jeden důkaz příště.
8. přednáška 1. 12. 2014. Třetí
důkaz nekonečnosti počtu prvočísel pomocí formálních Dirichletových
řad: formálně platí (1 + 1/2^s + 1/3^s + ...).(1 + mi(2)/2^3 +
mi(3)/3^s + ...) = 1, kde mi(n) je Moebiova funkce (= (-1)^k pro n =
p_1p_2...p_k a = 0, když n není bezčtvercové), a kdyby bylo jen konečně
prvočísel, druhá řada by byla konečná, 1 + mi(2)/2^s + mi(3)/3^s + ...
+ mi(N)/N^s. Pak ovšem součin má nekonečně mnoho nenulových koeficientů
(pro n = N! + 1, 2N! + 1, ...), což je v rozporu s pravou stranou
rovnosti. Čebyševovy odhady: c_1.x/log x < pi(x) < c_2.x/log x,
důkaz. Příště: speciální případ Dirichletovy věty o prvočíslech v AP.
9. přednáška 8. 12. 2014. Speciální
případ Dirichletovy věty o prvočíslech v AP, ilustrující důkaz obecné
věty: pro a = 1, 3 a x > 2 je sum_{p = a + 4n < x}(log p) /
p = (1/2)log x + O(1), důkaz. Viz
tento text.
10. přednáška 15. 12. 2014. 5. Kongruence. Kvadratické
zbytky a nezbytky. Legendreův symbol a jeho základní vlastnosti
(Eulerovo kritérium, multiplikativita). Gaussovo lemma. Kvadratický
zákon reciprocity a jeho dva doplňky, důkaz (modulo důkaz lemmatu o
reciprocitě sumy S(a, b), jenž byl ponechán jako cvičení.)
11. přednáška 5. 1. 2015. 6. Číselné rozklady. Číselné
rozklady, p(n) je počet rozkladů čísla n. Eulerův vzorec: 1 + p(1)x +
p(2)x^2 + ... = 1 / ((1 - x)(1 - x^2) ...). 1, 2, 5, 7, 12, 15, ...
jsou pětiúhelníková čísla. Eulerova pentagonální identita: 1) (1 - x)(1
- x^2)... = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + ..., což je
totéž jako 2) # rozkladů čísla n na sudý počet různých částí - #
rozkladů čísla n na lichý počet různých částí = 0, když n není 1, 2, 5,
7, 12, 15, ... a když je, tak = -1, -1, 1, 1, -1, -1, ..., a to je
totéž jako 3) p(n) = p(n - 1) + p(n - 2) - p(n - 5) - p(n - 7) + p(n -
12) + p(n - 15) - ..., kde p(0) = 1 a p(m) = 0 pro m < 0,
důkaz části 2 pomocí Ferrersových diagramů.
leden 2015