Přednáška Úvod do teorie čísel (MAI040)

Pravidelná každoroční přednáška, co bylo dříve lze nalézt zde. Sylabus a anotace jsou v SISu. K přednášce jsem napsal učební text  v angličtině, zde jsou k němu opravy a doplňky. Přednáška se koná ve čtvrtek od 12:20 v S11 (Malá Strana, 1. patro) Literatura - skoro vše, co přednáším, lze nalézt v klasické knize G. H. Hardy & E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers
Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Zkušební termíny: viz SIS (nebo po domluvě). Zkušební otázky: 1a. Dirichletova věta o diof. aproximacích a její aplikace.  1b. Existence transcendentních čísel: Liouvilleova nerovnost. 1c. Důkaz transcendence čísla e.  2a. Fermatova poslední věta pro n=2 a n=4. 2b.  Teorie Pellovy rovnice. 2c. Stothersova-Masonova věta a její důsledek: důkaz FPV v okruhu polynomů. 3. Minkowského věta a její aplikace (geometrický  důkaz věty o čtyřech čtvercích). 4a. Čebyševovy odhady prvočíselné funkce pi(x). 4b. Spec. případ Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti pro  modul 4: dokažte, že sum_{p = 1 + 4n < x} (log p) / p = (log x) / 2 + O(1) i sum_{p = 3 + 4n < x} (log p) / p = (log x) / 2 + O(1); důkaz je sepsán zde. 5. Teorie kvadratických zbytků včetně zákona reciprocity. 6a. Dokažte Eulerovu pentagonální identitu. 6b. Dokažte Schurovu asymptotiku pro p_A(n); důkaz je sepsán zde.

1. přednáška 10. 10. 2013. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova věta o aproximaci reálného čísla zlomkem (|a - p/q| < q^{-2} má pro každé iracionální reálné číslo a nekonečně mnoho racionálních řešení p/q), důkaz. Fareyovy zlomky. Dokázali jsme, že dva sousední F. zlomky mají nejmenší možnou vzdálenost (a znovu odtud odvodili D. větu). Zmínka o Hurwitzově větě (|a - p/q| < 5^{-1/2}q^{-2} má pro každé iracionální reálné číslo a nekonečně mnoho racionálních řešení p/q; po libovolném zvětšení konstanty 5^{-1/2} to už neplatí), bez důkazu. Věta o dvou čtvercích jako důsledek D. věty, lemma v jejím důkazu dokážeme příště.

2. přednáška 17. 10. 2013. Důkaz lemmatu (-1 je kvadratický zbytek modulo prvočíslo p, pokud p = 4n + 1). Trochu o řetězových zlomcích - další metoda, jak dokázat Dirichletovu větu. Algebraická a transcendentní čísla. Liouvilleova nerovnost (|a - p/q| >> q^{-deg(a)} pro každý zlomek p/q a každé iracionální algebraické číslo a), důkaz. Číslo 10^{-1!} + 10^{-2!} + 10^{-3!} + ... je transcendentní, důkaz jako cvičení. Začátek důkazu Hermiteovy věty, že číso e = 2.71828... je transcendentní.

3. přednáška 24. 10. 2013.  Důkaz Hermiteovy věty o transcendenci čísla e. Poznámky o Gelfondově-Schneiderově větě (a^b je transcendentní pro algebraická a, b, kde a není 0, 1 a b je iracionální). 2. Diofantické rovnice.  Pellova rovnice x^2 - dy^2 = 1, začátek důkazu, že má vždy nekonečně mnoho řešení.  

4. přednáška 31. 10. 2013.  Důkaz Lagrangeovy věty, že Pellova rovnice má netriviální řešení a tedy nekonečně mnoho řešení. Řešení Pellovy rovnice tvoří grupu izomorfní (Z, +) krát Z_2. Zobecněná Pellova rovnice x^2 - dy^2 = m - má buď 0 řešení nebo právě jedno řešení x=y=0 pro m=0 nebo nekonečně mnoho řešení. Thueho rovnice F(x, y) = m (F je celoč. ired. homog. polynom stupně >2). Příště: kdyby měla nekonečně mnoho řešení, pak by nerovnost |a - p/q| << q^{-d} měla pro nějaké algebraické číslo a stupně d > 1nekonečně mnoho řešení ve zlomcích p/q.

5. přednáška 7. 11. 2013. Přednáška odpadla z důvodu neúčasti posluchačů. Plánovaná témata: důkaz tvrzení z minula, pythagorejské trojice, FPV pro exponent 4, Stothersova-Masonova věta a její důsledek: důkaz FPV v okruhu polynomů, popř. poznámky o ABC domněnce.

6. přednáška 14. 11. 2013. Přednáška začala z technických důvodů o 15 minut později. 3. Geometrie čísel. Mřížky, základní rovnoběžník, jeho posuny vektory mřížky rozkládají R^n, nezávislost jeho objemu na volbě báze. Minkowskiho věta o konvexním tělese (středově souměrné konvexní těleso B s objemem > 2^n krát objem mřížky L nutně obsahuje vektor z L různý od počátku). Slíbeno na příště: Minkowskiho věta o postupných minimech.

7. přednáška 21. 11. 2013. Zopakování Minkowskiho věty a formulace Druhé Minkowskiho věty: Je-li K konvexní, středově souměrné těleso v R^n, L je mřížka v R^n a k_i je infimum nafouknutí k > 0, že kK obsahuje i lin. nezávislých prvků L, potom k_1k_2...k_n.vol(K) <= 2^n.vol(L), bez důkazu. Důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích pomocí (první) Minkowskiho věty. 4. Prvočísla. ZVA (Základní věta aritmetiky): každé přirozené číslo má jednoznačný prvočíselný rozklad, důkaz.  Euklidova věta: prvočísel je nekonečně mnoho. 1. důkaz: plyne z faktu, že pro každou pevnou k-tici přir. čísel m_1, ..., m_k je jen O((log x)^k) přir. čísel n < x tvaru n = m_1^{a_1}m_2^{a_2}...m_k^{a_k}, kde a_i jsou nezáporná celá čísla.

8. přednáška 28. 11. 2013. Přednáška odpadla kvůli Dni otevřených dveří na MFF UK.

9. přednáška 5. 12. 2013. 2. důkaz Euklidovy věty o nekonečnosti počtu prvočísel (Euler--Sylvester): prod_{p < x}1/(1 - 1/p) > sum _{n < x} 1/n --> +oo pro x --> +oo. 3. důkaz (Erdos): Když p^j dělí binom(2n, n), tak p^j je nejvýše 2n, takže binom(2n, n) < (2n)^{pi(2n)}, takže pi(2n) >> (2n)/log(2n). Čebyševovy odhady: ještě horní odhad pi(x) << x/log(x), důkaz. Von Mangoldtova funkce L(n) a její vlastnosti: sum_{d dělí n} L(d) = log(n) a sum_{n < x} L(n) << x, důkaz. Tři Mertensovy asymptotiky, z nichž jsem dokázal jen tu první: sum_{p < x}(log p)/p = log x + O(1). Příště: omezíme-li v předchozí sumě prvočísla p podmínkou, že p je 1 (či 3) mod 4, bude v obou případech asymptotika sumy poloviční, tj. (log x)/2 + O(1).

10. přednáška 12. 12. 2013. Důkaz, že obě sumy sum_{p<x, p je a mod 4} (log p)/p, kde a je 1 nebo 3, mají asymptotiku (log x)/2 + O(1), viz tento text5. Kvadratické zbytky. Definice, zbytků je jako nezbytků. Legengreův symbol a jeho vlastnosti, důkaz Eulerova kritéria ( (a/p) je a^{(p-1)/2} mod p ) příště.

11. přednáška 19. 12. 2013. Důkaz Eulerova kritéria. Gaussovo lemma: (-1)^{m(a)} = (-1)^{n(a)} = (a/p), kde m(a) (resp. n(a)) je pro celé číslo a, jež je nesoudělné s prvočíslem p>2, počet k z {1, 2, ..., (p - 1)/2}, pro něž je ka kongruentní modulo p číslu z množiny {-(p - 1)/2, -(p - 1)/2 + 1, ..., -1} (resp. {(p +1)/2, (p + 1)/2 + 1, ..., p - 1}). První a druhý doplněk k zákonu reciprocity a zákon reciprocity: (-1/p) = (-1)^{(p - 1)/2}, (2/p) = (-1)^{(p^2 - 1)/8} a (q/p) = (-1)^{(q - 1)(p - 1)/4}(p/q), důkazy.

12. přednáška 2. 1. 2014. 6. Číselné rozklady. Rozklady a kompozice. Počty kompozic čísla n a generující funkce pro ně. Eulerův vzorec pro GF počtů rozkladů p(n): sum_{n >= 0}p(n).x^n = 1 / ((1 - x)(1 - x^2) ...). 1. identita - počet rozkladů n na <k částí = počet rozkladů n na  části <k, dk. pomocí Ferrersova diagramu. 2. identita - počet rozkladů n na různé části = počet rozkladů n na liché části, dk. pomocí GF. 3. identita - Eulerova pentagonální, začátek bijektivního důkazu.

13. přednáška 9. 1. 2014. Bijektivní důkaz pentagonální identity. Její důsledek je, že funkce s(n) = (součet dělitelů čísla n) se řídí skoro stejnou rekurencí jako p(n), bez důkazu.  Schurova asymptotika: když A = (a_1, ..., a_k) je k-tice přir. čísel s NSD(a_1, ..., a_k) = 1 a p_A(n) = počet rozkladů n na části z (multi)množiny A, pak pro n = 1, 2, ... je p_A(n) = n^{k - 1} / (a_1...a_k.(k - 1)!) + O(n^{k - 2}). Důkaz pomocí rozkladu GF sum_{n >= 0}p_A(n).x^n = 1 / ((1 - x^{a_1})...(1 - x^{a_k})) na parciální zlomky - je sepsán zde.


leden 2014