Doba a místo. Přednáška je v pátek v 10:40 - 12:10 v posluchárně S3 v budově na Malostranském náměstí. Další paralelky učí kolegové D. Pokorný (st 12:20 S3) a T. Klimošová (út 12:20 S10, v angličtině). Paralelka Y je určena pro studenty z kruhů 40-43 (pokud mají kruh definovaný) a 12B BINF, přestupy mezi paralelkami jsou možné jen po dohodě s přednášejícími (!).

Literatura. Je uvedena v SISu (skripta prof. Pultra jsou dostupná na jeho webové straně) a v knihovnách lze nalézt celou řadu nejrůznějších učebnic matematické analýzy (v češtině i angličtině). Základní učebnice, podle níž přednáším, pro tento předmět teprve vzniká: odkaz (verze k 7. 1. 2019, nově např. Lebesgueova věta o sečnách a tečnách v kap. 5. 2 nebo transcendence e^x a log x derivováním na konci kap. 5.1). Jde  zatím o předběžnou verzi, ale skoro vše, co odpřednesu, už v ní je. Zde je pro zajímavost můj učební text k této přednášce před 10 lety, kdy ale měla dvojnásobný rozsah (4/2). Viz též zápisy z přednášek před 2 (resp. 4) lety.

Cvičení a cvičící. K paralelce vedou cvičení RNDr. Naděžda Krylová, CSc. (čt 10:40 S11),  doc. RNDr. Markéta Lopatková, Ph.D. (út 10:40 S10 a út 14:00 S6) a Mgr. Jaroslav Hančl (út 12:20 T6 a út 14:00 T7). Zápočet ze cvičení je nutný pro absolvování zkoušky. Uděluje se za přiměřenou (aktivní) účast na cvičeních, vypracování domácích úloh a za přiměřený výkon v zápočtovém písemném testu, podle upřesnění a požadavků cvičící(ho). 

1. přednáška 5. 10. 2018. 1. Úvod a reálná čísla. Organizační poznámky. Nekonečné řady a paradox nekonečné tabulky. Co je to funkce, vlastnosti funkcí a příklady (např. involuce dokazující, že počet sudých podmnožin množiny [n] je pro n > 0 stejný jako počet lichých podmnožin). Dva důkazy: 1) Bernoulliova nerovnost (1 + x)^n >= 1+nx  a 2) iracionalita čísla 2^{1/2}, oba matematickou indukcí. Co je to R? Věta: a) existuje úplné uspořádané těleso a b) každá dvě úplná uspořádaná tělesa jsou izomorfní. Zatím jsme si stihli vysvětlit, co je těleso.

2. přednáška 12. 10. 2018. Pojem lineárně uspořádané množiny, uspořádané těleso. Pojmy infima a suprema podmnožiny lin. uspořádané množiny, úplné usp. těleso (každá neprázdná a shora omezená množina má supremum). Izomorfismus usp. těles. Tím jsou vysvětleny všechny pojmy věty. Archimédovské usp. těleso, každé úplné usp. těleso je nutně archimédovské. Příklad nearchimédovského usp. tělesa Z(x). Zmínka o nestandardní analýze (používá nekonečně velké a nekonečně malé veličiny). Spočetné množiny, příklady jsou N, Z a Q. Věta (Cantor, 1873): Množina reálných čísel R není spočetná. Důkaz diagonální metodou, ještě se k němu a ke Cantorově větě příště vrátíme.

4. přednáška 26. 10. 2018. Tvrzení o limitě podposloupnosti, důkaz jako úloha. Věta (neexistence limity): posloupnost nemá limitu, právě když má dvě podposloupnosti s limitami, které se liší, důkaz bude později. Tvrzení o aritmetice limit: (zhruba řečeno) lim (a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n, lim (a_nb_n) = (lim a_n)(lim b_n) a lim (a_n / b_n) = (lim a_n) / (lim b_n), důkaz. Tvrzení o násobení limitní nulou, důkaz jako úloha.  Tvrzení o limitě a uspořádání: nechť lim a_n = a a lim b_n = b, pak  1) a > b implikuje a_m > a_n pro m, n > n_0 (tradičně se formuluje trochu nepochopitelně jen s m = n) a 2) a_n >= b_n pro n > n_0 implikuje a >= b, důkaz. Tvrzení o 2 policajtech: když a_n <= b_n <= c_n pro velká n a lim a_n  = lim c_n  = L, pak i lim b_n = L, důkaz. Věta o monotónní podposloupnosti: každá posloupnost má monotónní podposloupnost, důkaz. Věta Bolzanova-Weierstrassova: každá omezená posloupnost má konvergentní podposloupnost, důkaz. Věta Erdosova-Szekeresova: každá konečná posloupnost délky (k - 1)(l - 1) + 1 má neklesající podposloupnost délky k nebo nerostoucí podposloupnost délky l, bez důkazu. Úloha: neplatí s délkou (k - 1)(l - 1).  Definice cauchyovské posloupnosti.

5. přednáška 2. 11. 2018. Věta: podposloupnost konverguje, právě když je cauchyovská, důkaz. Limity pro n jdoucí do nekonečna z n^a a z q^n (v závislosti na parametrech a a q), každá exponenciála přeroste každý polynom, dáno jako cvičení. Aritmetika nekonečen, tvrzení (rozšířená aritmetika limit), dáno většinou jako úloha. Neurčité výrazy, patří mezi ně i 1^{nekonečno}. Hromadné body posloupnosti, definice limsupu a liminfu posloupnosti. Věta: (a_n) má limitu, právě když limsup a_n = liminf a_n (a ta se pak se rovná této společné hodnotě), důkaz příště. Hned z toho ale plyne dřívější věta, že (a_n) nemá limitu, právě když má dvě podposloupnosti s různými limitami.

6. přednáška 9. 11. 2018. Důkaz věty o limsupu a liminfu. 3. Nekonečné řady. Základní definice: částečný součet, součet. Dva důležité příklady: geometrická řada a zeta funkce zeta(s) = sum n^{-s}. Tvrzení (geometrická řada): 1 + q + q^2 + ... =... ., důkaz.  Tvrzení (o zeta (s)):  zeta(s) konverguje, právě když s > 1, důkaz. Několik poznámek o zeta(s): zeta(2) = ..., 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = log n + gamma + O(1/n), zeta(s) = prod_p (1 - 1/p^s)^{-1}, zeta(3) je iracionální ale o žádné další "liché hodnotě" zeta(5), zeta(7), ... se to neví, úloha: pro n > 1 nikdy není 1+ 1/2 + 1/3 + ... +1/n celé číslo.

7. přednáška 16. 11. 2018. Riemannova hypotéza: zeta(s) = 0 -> s =-2, -4, ... nebo re(s) = 1/2 (s je teď jakékoli komplexní číslo různé od 1). Skládací řada 1/1.2 + 1/2.3 + ... = 1. Důkaz, že 1 + 1/2 + ... + 1/n nikdy není pro n> 1 celé číslo, na příkladu n = 9. Tvrzení (podmínky konvergence řady), důkaz. Úloha o psu: kolik km naběhá pes běhající rychlostí 10 km/h mezi Pavlem a Petrem, kteří jdou proti sobě každý rychlostí 5 km/h, je-li jejich výchozí vzdálenost a km - spočtěte sečtením nekonečné řady! Definice absolutní konvergence a tvrzení o ní: když řada AK, pak K, důkaz. Lemma (o střídavém součtu): jsou-li a_1, a_2, ..., a_n nezáporná a nerostoucí reálná čísla, pak a_1 - a_2 + a_3 - ... +(-1)^{n+1}a_n leží v [0, a_1], důkaz.  Leibnizovo kritérium konvergence řady, důkaz. Tvrzení (lineární kombinace řad), důkaz jako úloha. Aplikace Leibnizova kritéria: rozšíření definičního oboru funkce zeta(s) z (1, +oo) na (0, +oo) bez 1. Lemma (Abelova nerovnost): jsou-li a_1, ..., a_n a b_1, ..., b_n reálná čísla, a_i jsou nezáporná a nerostoucí a B je největší z |b_1 + b_2 + ... + b_m| pro m = 1, 2, ..., n, potom |a_1b_1+ a_2b_2 + ... + a_nb_n| <= a_1B, důkaz. Věta (D. a A. kritérium): jsou-li (a_n) a (b_n) posloupnosti reálných čísel, kde (a_n) je nezáporná a nerostoucí, pak 1) (Dirichletovo k.) a_n jdou k 0 a b_1 + b_2 + ... má omezené částečné součty -> a_1b_1 + a_2b_2 + ... konverguje a 2) (Abelovo k.) b_1 + b_2 + ... konverguje -> a_1b_1 + a_2b_2 + ... konverguje, důkaz. Příklad: řada sum sin(n)/n konverguje, dokončení příště.

8. přednáška 23. 11. 2018. Proč |sin 1 + sin 2+ ... + sin n| < c. Tvrzení (srovnání řad), důkaz. Věta (odmocninové kritérium), důkaz. Věta (podílové kritérium), důkaz. Na zeta(s) nelze použít ani jedno z nich. Přerovnání řady. Věta (Riemannova): součet neabsolutně konvergentní řady se dá přerovnáním libovolně změnit, bez důkazu. Věta: součet absolutně konvergentní řady se přerovnáním nezmění, důkaz. Definice exponenciály řadou: e^x := sum_{n>=0}x^n / n!. Tvrzení: e^{x+y} = e^x.e^y. Důkaz příště.

9. přednáška 30. 11. 2018. Obecná AK řada, indexovaná obecnou spočetnou množinou X. Tvrzení (nekonečný distributivní zákon): jsou-li X a Y spočetné množiny, sum_{i in X}a_i a sum_{j in Y}b_j jsou dvě AK řady se součty a a b, pak i řada sum_{(i,j) in X x Y}a_ib_j absolutně konverguje a má součet ab, bez důkazu. Tvrzení: exp(x+y) = exp(x)*exp(y), důkaz. Exponenciála exp(x) zprostředkovává izomorfismus aditivní grupy (R, +) a multiplikativní grupy (R_{>0}, *). Úloha: nahradíme-li reálná čísla R množinou zlomků Q, vzniknou dvě  neizomorfní grupy. Tři vzorce pro exp(x): (i) 1 + x + x^2/2! + ... (ii) lim (1 + x/n)^n a (iii) (1/0!+ 1/1! + 1/2! + ...)^x, bez důkazu. Kosinus a sinus: geometricky navíjením úsečky na jednotkovou kružnici, analyticky sin t = t - t^3/3! + t^5/5! - ... a cos t = 1 - t^2/2! + t^4/4! - ..., bez důkazu. 4. Limita funkce v bodě a spojitost funkce. Definice různých druhů okolí U(a, delta) a P(a, delta), i jednostranných. Hromadný bod množiny. Definice limity funkce f: M -> R v bodě a (i nevlastním): když je a hrom. bodem M, pak je tato limita rovna L (i nevlastnímu), právě když pro každé epsilon > 0 existuje delta > 0, že f(P(a, delta) průnik s M) je obsažena v U(L, epsilon). Příklady a poznámky. Dokázali jsme si, že (e^x - 1) / x má v 0 limitu 1.  Úloha: f z Q do Q je dána jako f(p/q) = 1/q, potom pro každé reálné a je limita f(x) v a rovna 0. Definice jednostranných limit. Úloha na vztah mezi nimi a oboustrannou limitou.

10. přednáška 7. 12. 2018. Definice spojitosti funkce v bodě. Jednostranná spojitost. Tvrzení: limita funkce je jednoznačná (když existuje), důkaz. Věta (Heineho definice limity funkce): lim_{x->a}f(x) = L iff f(x_n) -> L pro každou posloupnost (x_n) jdoucí k a, kde každé x_n je různé od a a f je v něm definovaná, důkaz.Tvrzení (aritmetika limit funkcí): 1) součet, 2) součin a 3) podíl, důkaz (pomocí Heineho) pouze 1), ostatní jako úloha. Tvrzení (limita monotónní funkce): když f: (a, b) -> R je monotónní funkce, pak má f limity v obou bodech a i b, důkaz. Tvrzení (limita funkcí a uspořádání): 1) usp. limit implikuje usp. funkčních hodnot, 2) naopak, 3) o dvou strážnících, důkaz jako úloha převedením 2) a 3) pomocí Heineho na posloupnosti, 1) snadno přímo. Tvrzení (limita složené funkce): lim. složené funkce je lim. vnější funkce v limitě vnitřní funkce, je-li splněna podmínka 1) či podmínka 2), důkaz. Úloha: uveďte příklad, kdy 1) ani 2) není splněna a složená funkce také nemá očekávanou limitu. Definice funkce spojité na množině.

11. přednáška 14. 12. 2018. Organizační poznámky. Věta o nabývání mezihodnot, důkaz. Důsledek: spojitá funkce zobrazuje interval na interval. Úloha: horolezec stoupá jeden den na vrchol a druhý den z něj sestupuje dolů, dokažte, že se někdy v obou dnech ve stejnou dobu nachází ve stejné výšce. Definice čtyř druhů množin: otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní. Tvrzení: množina je uzavřená, právě když je uzavřená na vlastní limity (posloupností svých bodů), důkaz. Tvrzení: množina je kompaktní, právě když je omezená a uzavřená, důkaz. Příklady kompaktních množin. Věta (princip maxima a minima): každá spojitá funkce nabývá na (neprázdné) kompaktní množině minimum a maximum, důkaz. Úloha: neprázdná M je kompaktní, právě když každá spojitá funkce z M do R na M nabývá minimum a maximum. Tvrzení (spojitost inverzní funkce): aby inverzní funkce k prosté a spojité funkci z M do R byla spojitá, stačí, aby M byla 1) otevřená nebo 2) kompaktní nebo 3) interval nebo 4) uzavřená a f rostla či klesala, bez důkazu. Třídy spojitých funkcí: polynomy, racionální funkce, e^x, sin(x), cos(x) (a inverzy ). 5. Derivace funkce. Bilimitní body, definice derivace funkce f z M do R v bilimitním bodě a množiny M. Poznámka k mé popletené terminologii: v dřívější definici limity funkce místo "hromadný bod" má být "limitní bod". Jednostranné derivace. Definice tečny ke grafu funkce v daném bodě grafu.

12. přednáška 21. 12. 2018. Tvrzení (tečna, sečna, derivace), bez důkazu. Příklady derivací. Tvrzení: vlastní derivace implikuje spojitost, důkaz. Definice: ostré a neostré lokální a globální extrémy funkce f: M->R v bodě a v M. Úlohy: 1) co se děje pro izolovaný bod a, 2) pro funkci f: R->R,  f(irac.) = 0, f(p/q) = 1/q (p a q nesoudělná) určete extrémy. Věta: f'(a) není 0 => f nemá v a lokální extrém, důkaz.  Podezřelé body, příklad s f(x) = x^3: [-1,1]->R. Tvrzení: aritmetika derivací, důkaz jen Leibnizovy formule (fg)' = f'g + fg'. Tvrzení: derivace složené funkce pro funkce definované na okolích, bez důkazu.Tvrzení: derivace inverzní funkce pro obecnou prostou funkci f: M->R, bez důkazu. Důsledek (zjednodušená verze pro M = interval): f: I->R je prostá a spojitá, a je vnitřní bod intervalu I, existuje derivace f'(a), potom je f monotónní a g = inverz k f má v bodě b = f(a) derivaci g'(b) = 1/f'(a), přičemž 1/0 = +oo (resp. -oo) pro rostoucí (resp. klesající) f, bez důkazu. Věty o střední hodnotě: Rolleova a Lagrangeova, důkazy příště.

13. přednáška 4. 1. 2019.  Rolleova, Lagrangeova a Cauchyova věta o střední hodnotě, důkazy pro R. v. a L. v. Aplikace L. v.: l'Hospitalovo pravidlo bez důkazu, ale tvrzení o limitě derivace s důkazem. Věta o derivaci a monotonii, důkaz. Definice konvexní a konkávní funkce. Tvrzení, že konvexita i konkavita implikují vlastní jednostranné derivace, bez důkazu. Věta o konvexitě, konkavitě a druhé derivaci, bez důkazu nebo jen nějaké náznaky. Definice inflexního bodu (inflexe). Tvrzení o vztahu inflexe a druhé derivaci, bez důkazu. Přehled derivací funkcí: na R je (arctan x)' = 1/(1 + x^2), (e^x)' = e^x,  (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x a (x^n)' = nx^{n-1} pro n v N (pro záporné celé n to platí na R bez 0, pro neceločíselné reálné n to platí na (0, +oo)), na (0, +oo): (log x)' = 1/x, na R bez bodů (2k + 1)pi/2 pro celé k je (tan x)' = 1/cos^2x, na (-1, 1) je (arcsin x)' = (1 - x^2)^{1/2} a (arccos x)' = -(1 - x^2)^{1/2}, bez důkazů (hodně lze využít derivaci inverzní funkce).