Informace. V úterý 11. ledna a pátek 14. ledna místo přednášky (10:40-12:10) probíhají na chodbě KAM konzultace.

Informace o zkoušce z Matematické analýzy.  Přehled probrané látky a zkušební otázky ve formátu pdf.  .
1. přednáška 5.10.2004. Organizační pokyny. Motivace - řetezovka, brachystochrona, analýza v The Art of Computer Programming D. Knutha. Co probereme  v ZS: R, posloupnosti a řady, funkce (spojitost, derivace), integrál (v ZS pouze primitivní funkce). Opakování.Logika: výroky, logické spojky (&, nebo, =>, <=>, negace) a kvantifikátory. Množiny a množinové značení: být prvkem, být podmnožinou, rovnost množin, sjednocení, průnik, rozdíl, doplněk, potenční množina, kartézský součin. Zobrazení a terminologie kolem nich: zobrazení z A do B jako podmnožina kartézského součinu A x B, zobrazení na B (surjekce), prosté (injekce), vzájemně jednoznačné (bijekce). Príklad: F(x) = x+1 je bijekce ze Z (celá čísla) do Z.
2. přednáška 8.10.2004. Ještě o zobrazeních: posloupnosti (zobrazení z N do R), skládání zobrazení. Číselné obory: N, Z, Q a R. Princip indukce pro N (každá neprázdná podmnožina N má nejmenší prvek). Spočetné množiny: N, Z a Q jsou spočetné. R: reálná čísla jsou nekonečné desetinné rozvoje. Vlastnosti sčítání a násobení na R (asociativita, komutativita, neutrální prvky 0 a 1, inverzní prvky, distributivní zákon). Vlastnosti relace <=  na R (tranzitivita, slabá antisymetrie, linearita, přičítání stejného čísla k oběma stranám nerovnosti, jakož i jejich vynásobení stejným nezáporným číslem, nerovnost nemění). Definice suprema množiny reálných čísel. Existence suprema pro každou neprázdnou a shora omezenou množinu reálných čísel. Poznámky o supremu. Infimum. Příklad: v (Q, <=) suprema obecně neexistují, např. množina zlomků v [0, 21/2] nemá (v (Q, <=)) supremum.
3. přednáška 12.10.2004. Věta: Archimedova vlastnost R. Věta: Číslo 21/2 je iracionální (aritmetický a geometrický důkaz).  Spočetnost kartézského součinu Z x Z pomocí spirálové procházky. Věta: Množina R je nespočetná (důkaz diagonální metodou). Věta: O n-té odmocnině reálného čísla (důkaz pomocí suprema, dokončení příště).
4. přednáška 15.10.2004. Dokončení důkazu věty  o n-té odmocnině. Pozn.: důkaz nespočetnosti R v minulé přednášce ukazuje, že množina všech podmnožin množiny N je nespočetná. Definice (reálné) posloupnosti. Shora, zdola omezené posloupnosti, omezené posloupnosti, konstantní. Rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající posloupnosti. Definice (vlastní) limity posloupnosti. Konvergentní, divergentní posloupnosti. Nevlastní limity +oo a -oo. Příklady konvergentních a divergentních posloupností, zejména důkaz toho, že lim n1/n =1. Věta 1: Posloupnost má nejvýše jednu vlastní limitu (dk příště).
5. přednáška 19.10.2004. Okolí bodu a definice limity pomocí okolí bodu. Důkaz věty 1. Věta 2: omezenost konvergentní posloupnosti. Definice vybrané posloupnosti, souvislost s negací definice limity. Věta 3: posloupnost vybraná z konvergentní posloupnosti má stejnou limitu. Věta 4 (aritmetika limit): Limita součtu (součinu, podílu) dvou posloupností je součet (součin, podíl) jejich limit (za obvyklého předpokladu nenulovosti dělitele). Věta 5 (uspořádání a limita): (i) lim an < lim bn implikuje an < bn pro velká n a (ii) an <= bn pro velká n implikuje lim an <= lim bn (existují-li obě limity). Věta 6 (o dvou policajtech): L = lim an = lim cn a an <= bn <= cn pro velká n implikují, že lim bn existuje a je taky L.
6. přednáška 22.10.2004. Příklad na větu 6: a1/n --> 1. Věta 7: Pokud an --> 0 a bn je omezená posloupnost, potom anbn --> 0. Nevlastní limity. Rozšířená reálná osa R*, počítání s nekonečny. Rekapitulace platnosti vět 1-6 pro nevlastní limity. Věta 8 (kdy je A/0 = +oo): Pokud an --> A > 0, bn --> 0 abn > 0 pro všechna n >= n0 , potom an/bn --> +oo. Věta 9 (o monotonní posloupnosti): Každá monotonní posloupnost má (vlastní nebo nevlastní) limitu. Tři příklady na větu 9. 1. posloupnost (xn), kde x1 = 2 a xn+1 = xn/2 + 1/xn, konverguje k odmocnině ze dvou. 2. Změníme-li rekurenci na  xn+1 = xn + 1/xn, dostaneme posloupnost s limitou +oo. 3. Existenci limity je nutné dokazovat, viz třeba rekurenci xn+1 = - xn. Začátek definice pojmů limes superior a limes inferior. 
7. přednáška 25.10.2004. Definice limsup an a liminf an.  Příklady na limsup a liminf. Věta 10 (liminf, limsup a lim): lim  an = A, právě když  liminf  an = limsup  an = A. Připomenutí maxima a minima množiny. Definice hromadného bodu posloupnosti (= limita vybrané podposloupnosti). DOMCV: sestrojte posloupnost takovou, že každé A z R* je jejím hromadným bodem. Lemma:  A z R je hromadným bodem posloupnosti, právě když v libovolném epsilonovém okolí A leží nekonečně mnoho členů posloupnosti (a analogicky pro A = oo, -oo).  Věta 11 (liminf, limsup a hromadné body): Liminf posloupnosti je její nejmenší a limsup její největší hromadný bod. 
8. přednáška 29.10.2004. Důsledek věty 11 (Bolzano-Cauchyova věta): Každá omezená posloupnost má konvergentní podposloupnost; důkaz z V11 a druhý důkaz pomocí půlení intervalů.  Definice cauchyovské posloupnosti. Věta 12: Posloupnost má vlastní limitu tehdy a jen tehdy, je-li cauchyovská. ŘADY.Definice: nekonečná řada, částečný součet, součet řady, konvergentní a divergentní řady. Důležité příklady řad: 1. geometrická řada q0+q1+q2+... - konverguje, právě když -1 <q < 1 a má součet 1/(1-q) a 2. řada 1 -s+2 -s+3 -s+... - konverguje, právě když s > 1 (bez důkazu). Věta 1 (nutná podmínka konvergence): Když řada konverguje, mají její sčítance limitu 0.  Příkladřady1/1 + 1/2 + 1/3 +... ukazuje, že to není postačující podmínka. Věta 2: (i) Konvergence se neporuší vynásobením sčítanců nenulovým číslem a (ii) součtová řada vzniklá ze dvou konvergentních řad konverguje. Věta 3 (srovnávací kritérium): Pokud0 <= an <= bn pro všechny n >= n0 , potom konvergence řady b1+b2+... implikuje konvergenci řady a1+a2+.... 
9. přednáška 2.11.2004. Věta 4 (limitní srovnávací kritérium): Jsou-li a1 + a2 + .... a b1 + b2 + ... řady s nezápornými členy a lim an/bn = K, potom (i) pro 0 < K <oo první řada konv. <--> druhá řada konv., (ii) pro K=0platí implikace <-- a (iii) pro K=oo platí implikace -->. Věta 5 (Cauchyho odmocninové kritérium):  Nechť a1 + a2 + ....  je řada s nezápornými členy a bn := (an)1/n,  potom  (i)  existuje-li  q ,  0 < q < 1,  že  bn < q pro všechna velká n, řada konverguje, (ii)  je-li  limsup  bn < 1,  řada konverguje, (iii) totéž pro limitu, (iv)  je-li  limsup  bn > 1,  řada diverguje, (v)  totéž pro limitu. Věta 6 (d'Alambertovo podílové kritérium):  Nechť a1 + a2 + ....  je řada s kladnými členy a bn := an+1 / an ,  potom  (i)  existuje-li  q ,  0 < q < 1,  že  bn < q pro všechna velká n, řada konverguje, (ii)  je-li  limsup  bn < 1,  řada konverguje, (iii) totéž pro limitu, (iv)  je-li  lim bn > 1,  řada diverguje. Věta 7 (Raabeho kritérium):  Nechť a1 + a2 + ....  je řada s kladnými členy a bn := n( an / an+1 - 1),  potom  (i)  když  lim bn > 1, řada konverguje a (ii) když lim bn < 1, řada diverguje; bez důkazu.  Příklad na Raabeho kritérium. Věta 8: Řada 1 -s + 2 -s + 3 -s +...  konverguje, právě když s > 1 ; důkaz konvergence pomocí Raabeho kritéria a pomocí integrálního odhadu částečného součtu.  Integrální odhad  1 -1 + 2 -1 + 3 -1 + ... + N -1 > log (N + 1).  
10. přednáška 5.11.2004. Absolutní konvergence řad, Cauchyova podmínka pro řady. Věta 9: Konverguje-li řada absolutně, konverguje. Lemma (Abelova parciální sumace): S = a1b1 + a2b2 + ... + anbn = A1(b2 - b1) + A2(b2 - b3) + ... +An-1(bn-1 - bn) + Anbn , kde Ai= a1 + a2 + ... + ai;  pokud  b1 >= b2 >= ... >= bn >= 0 , pak  ab1 <= S  <= Ab1 , kde  a  je nejmenší a A  největší  součet Ai .  Věta 10 (Abelovo a Dirichletovo kritérium neabsolutní konvergence): Jsou-li(an) a (bn)  dvě  reálné posloupnosti, přičemž  (bn) je neklesající a má nezáporné členy, potom (A) řada a1 + a2 + ....  konverguje --> řada a1b1 + a2b2 + ...  konverguje a (D)  řada a1 + a2 + ....  má omezené částečné součty a lim bn = 0  -->  řada a1b1 + a2b2 + ...  konverguje. Věta 11 (Leibnizovo kritérium neabsolutní konvergence): Pokud  a1 >= a2 >= ... >= 0 a lim an = 0 ,  potom řada a1 - a2 + a3 - a4 + ... konverguje.  Příklady  na neabsolutní konvergenci: 1/1 - 1/2 + 1/3 - ... a sin(1)/1 + sin(2)/2 + sin(3)/3 + ... Přerovnávání řad. Věta 12: Absolutně konvergentní řada po přerovnání zůstane absolutně konvergentní a její součet se nezmění;  dokončení důkazu příště.
11. přednáška 9.11.2004. Pojem zbytku řady. Lemma: Řada konverguje, právě když její zbytky konvergují a jejich součty jdou k nule. Dokončení důkazu Věty 12. Věta 13 (Riemann): Součet neabsolutně konvergentní řady lze přerovnáním libovolně změnit (na libovolný konečný nebo i nekonečný součet). REÁLNÉ FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMENNÉ. Základní definice: (ne)rostoucí, (ne)klesající funkce, (shora, zdola) omezená funkce, periodická funkce. Značení pro prstencové a obyčejné okolí bodu: P(a, delta), U(a, delta); jednostranná okolí bodu. (Jednostranná) limita funkce v bodě; poznámky a příklady. (Jednostranná) spojitost funkce v bodě. Věta 1 (Heine): Funkce f má v bodě a limitu C, právě když pro každou posloupnost (xn) (ležící v def. oboru funce f a neobsahující číslo a) jdoucí v limitě k a posloupnost funkčních hodnot (f(xn)) jde v limitě k C ; důkaz příště. 
12. přednáška 12.11.2004. Důkaz Heineho věty. Věta 2: Funkce má v bodě nejvýše jednu limitu. Věta 3: Má-li funkce v bodě vlastní limitu, je v jeho některém prstencovém okolí omezená. Věta 4 (aritmetika limit): Limita součtu (součinu, podílu) dvou funkcí v bodě c je součet (součin, podíl) jejich limit v bodě c, je-li definován. Věta 5 (limita a uspořádání): (i) Je-li limita fv bodě c větší než limita g  v c, potom f(x) > g(x) na nějakém prstencovém okolí c; (ii) pokud f(x) >= g(x) na nějakém prstencovém okolí c a obě funkce mají v c limitu, je limita f  >= limitě g; (iii) pokud f(x) <= h(x) <= g(x) na nějakém prstencovém okolí c a lim f(x) = lim g(x) = A v bodě c, potom též lim h(x) =A v c. Věta 6 (limita složené funkce): Pokud lim g(x) = A v c, lim f(x) = B v A a platí jeden ze dvou předpokladů, že (P1) f je v A spojitá nebo (P2) g na nějakém prstencovém okolí bodu c nenabývá hodnotu A, potom lim f(g(x)) = B v c. Věta 7 (limita monotonní funkce): Je-li f monotonní na intervalu (a, b) (a a b mohou být nekonečné), potom existují jednostranné limity f(x) va a v b; důkaz příště.  
13. přednáška 16.11.2004. Důkaz věty 7. Funkce spojité na intervalu. Věta 8 (Darboux; nabývání mezihodnot): Je-lif spojitá na [a, b] a f(a) < y < f(b), potom y = f(x) pro nějaké x z (a, b). Věta 9 (zobrazení intervalu spoj. funkcí): Spojitá funkce zobrazuje interval na interval. Věta 10 (omezenost spojité funkce): Funkce spojitá na kompaktním intervalu [a, b] je na něm omezená; důkaz jako důsledek věty 11. Definice  (lokálního, ostrého) maxima a minima funkce. Věta 11 (extrémy spojité funkce): Spojitá funkce na kompaktním intervalu [a, b] na něm nabývá svého maxima i minima. Věta 12 (spojitost inverzní funkce): Je-li  f  spojitá a rostoucí (klesající) na intervalu (a, b), je její inverzní funkce na intervalu f((a, b)) spojitá a rostoucí (klesající); důkaz příště.
14. přednáška 19.11.2004. Důkaz věty 12. Věta 13 (existence logaritmu): Existuje právě jedna reálná funkce log(x) definovaná na kladných reálných číslech, která (i) je rostoucí, (ii) splňuje funkcionální rovnici log(xy) = log(x) + log(y) a (iii) jejíž podíl s x-1 má v 1 limitu 1; (zatím?) bez důkazu. Odvození základních vlastností logaritmu: log(1) = 0, log(1/x) = -log(x), log(xn) = n.log(x), limity v 0+ a v oo jsou -oo a oo,  log(x) je spojitý na def. oboru a zobrazuje ho na R. Exponenciála exp(x) jako inverz logaritmu a odvození základních vlastností:  exp zobrazuje R na(0, oo), je rostoucí a spojitá na def. oboru, exp(0) = 1, v -oo a oo má limity 0 a oo, splňuje funkcionální rovnici exp(x + y) = exp(x).exp(y), (exp(x) - 1) / x má v 0  limitu 1. Obecná mocnina ab se pro reálné a, b, a > 0 definuje jako exp(b.log(a)). Dvě důležité vlastnosti exponenciály, zatím nedokazované: exp(x) = lim (1 + x/n)n a exp(x) = 1 + x/1! + x2/2! +... . Číslo e jako exp(1). Věta: Číslo e je iracionální. Věta 14 (existence sinu): Existuje právě jedno kladné reálné číslo pi a právě jedna reálná funkce sin(x) definovaná na celém R, že (i) sin(0) = 0, (ii) platí funkcionální rovnice sin(x + y) + sin(x - y) = 2.sin(x).sin(pi/2 - y), (iii) sinje rostoucí na [0, pi/2] a (iv) sin(x) / x --> 1 pro x --> 0 ; (zatím?) bez důkazu.
15. přednáška 23.11.2004. Poznámka o důkazu věty 12 (spojitost inverzní funkce). Dokázali jsme vlastně triviální větu 9,5, že funkce rostoucí (klesající) na intervalu J a zobrazující J na interval je na J spojitá. Věta 12 pak plyne jako důsledek vět 9 a 9,5. Odvození vlastností funkce sinus z věty 14: sin(pi / 2) = 1; sin(x) je lichá funkce; sin(pi/2 + y) = sin(pi/2 - y); sin(x + pi) = -sin(x); sin(x + 2.pi) = sin(x); sin(x) je spojitý na celém R; obor hodnot je [-1, 1] a nulové body jsou celočíselné násobky pi. Definice funkcí cos(x), tg(x) acotg(x). Věta 15: Tyto funkce jsou spojité na svých definičních oborech. Definice cyklometrických funkcí arcsin(x), arccos(x), arctg(x) a arccotg(x). Identity arcsin(x) + arccos(x) = pi/2 a arctg(x) + arccotg(x) = pi/2. Znovu k exponenciále, dokážeme následující větu. Věta 13' (existence exponenciály): Existuje právě jedna funkce exp: R --> R taková, že (i) pro všechna x a y máme exp(x + y) = exp(x).exp(y)  a (ii) pro všechna x máme exp(x) >= 1 + x.  Odvození základních vlastností exponenciály za předpokladu platnosti věty 13', zejména vlastnosti  exp(x) = lim (1 + x/n)n; odtud jednoznačnost exponenciály. Důkaz existence exponenciály (pomocí funkce f(x) = lim (1 + x/n)n) příště. 
16. přednáška 26.11.2004. Lemma: lim (1 + x / n2 )n = 1 a lim (1 + cn / n2 )n = 1, kde (cn ) je omezená posloupnost. Ukážeme, že (i) pro každé reálné x existuje vlastní limita f(x) := lim (1 + x / n)n , která splňuje (ii) funkcionální rovnici  f(x + y) = f(x).f(y) a (iii) nerovnost f(x) >= 1+x. Nejprve Bernoulliova nerovnost: (1 + x)n >= 1+nx pro každé přirozené n a reálné x >= -1 ; důkaz indukcí podle n. Důkaz (i): podíl sousedních členů ukazuje, že posloupnost an = (1 + x / n)n je od jistého n dále neklesající (a kladná); podobně bn = ( 1 +1 / (n-1) )n je klesající; pro přirozené k > |x|  máme |akn | < (bn)k =< (b2)k  = 4 k ; posloupnost  (an)  tedy má vlastní limitu. Vlastnosti (ii) a (iii) se dokazují snadno. Definice derivace funkce v bodě a jednostranných derivací v bodě.  
17. přednáška 30.11.2004. Řešení příkladů z testu 19.11. Příklad výpočtu derivace z definice: (xn)' = n.xn-1 . Věta 16 (derivace --> spojitost): Má-li f  v a  vlastní derivaci, je v a spojitá. Věta 17 (aritmetika derivací): Nechťf  a  g mají v a derivace (i nevlastní), potom (i) (f + g)'(a) = f'(a) + g'(a) (pokud je pravá strana definovaná); (ii) je-li navíc f nebo g spojitá v a, máme Leibnizovu formuli (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a) (PJPSD); (iii) je-li g spojitá v a a g(a) není nula, potom (f / g)'(a) = (f'(a)g(a) - f(a)g'(a)) / g2(a) (PJPSD). Příklad, že (ii) obecně neplatí, jsou-li f a g nespojité v a. Věta 18 (derivace složené funkce): ( f(g(x) )'(a) = f'(b).g'(a) = f'(g(a)).g'(a)  (PJPSD) za předpokladu, že g(a) = b, g má v a derivaci a je tam spojitá a f má v b derivaci. Příklad, že bez spojitosti g vzoreček neplatí. Derivace goniometrických funkcí. 
18. přednáška 3.12.2004. Věta 19 (derivace inverzní funkce): Pokud f: J --> R je spojitá a ryze monotonní a f(a) = b pro vnitřní bod a intervalu J, potom (i) když f '(a) existuje a není nula, pak (f -1)'(b) = 1 / f'(a), a (ii) když f '(a) = 0  a f je rostoucí (klesající), pak (f -1)'(b) =+oo (= -oo). Příklad: derivace cyklometrických funkcí arcsin, arccos, arctg a arccotg. Derivace logaritmu a exponenciály. Věta 20: Má-li  f  v a lokální extrém, potom f '(a) neexistuje nebo je nula. Kandidáti extrema pro spojitou funkci  na kompaktním intervalu jsou tedy krajní body intervalu a body s nulovou nebo neexistující derivací. Věta 21 (Rolleova): Je-li f spojitá na [a, b] a f(a) = f(b), potom v nějakém vnitřním bodě c (intervalu [a, b]) derivace funkce f neexistuje nebo je nulová. Věta 22 (Lagrangeova věta o střední hodnotě): Je-li f spojitá na [a, b], potom v nějakém vnitřním bodě c derivace funkce f neexistuje nebo se rovná (f(b) - f(a)) / (b -a).Věta 23 (Cauchyova věta o střední hodnotě): Jsou-li f, g spojité na [a, b], potom v nějakém vnitřním bodě c neexistuje derivace jedné z funkcí nebo g má v c nevlastní či nulovou derivaci nebo konečně platí f '(c) / g '(c) = (f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a)). Formulace l'Hospitalova pravidla, důkaz příště. 
19. přednáška 7.12.2004. Věta 24 (l'Hospitalovo pravidlo): Funkce f, g mějte vlastní derivace v okolí bodu a a g '(x) tam buď nenulová; (i) pokud f a g jdou v a k nule a lim f '(x) / g '(x) = A, pak i  lim f (x) / g (x) =A; (ii) pokud  lim |g(x)| = oo   a  lim f '(x) / g '(x) = A, pak i  lim f (x) / g (x) =A. Příklady na (ne)použití l'Hospitalova pravidla. Věta 25: Je-li f spojitá zprava v a a lim f '(x) =A zprava v a, potom pravá derivace f v a je A. Věta 26: f spojitá na intervalu J a  f' >0 na J --> f je rostoucí na J a podobně další tři možnosti >= 0, < 0 a <= 0. Definice derivací vyšších řádů. (Ryze) konvexní a (ryze) konkávní funkce (graf leží pod sečnou, graf leží nad sečnou). Věta 27: Funkce konvexní na intervalu má v každém vnitřním bodě vlastní obě jednostranné derivace; důkaz příště. 
20. přednáška 10.12.2004. Důkaz věty 27. Věta 28: Funkce konvexní na intervalu (a, b) je na něm spojitá. Věta 29: f ' spojitá na intervalu J a  f '' > 0 na J --> f je na J ryze konvexní a podobně další tři možnosti >= 0, < 0 a <= 0. Definice inflexního bodu. Věta 30: Pokud f ''(a) není nula, není a inflexním bodem funkce f.  Věta 31 (postačující podmínka inflexe): Má-li  f druhou derivaci v d-okolí bodu a a je-li f '' < 0 na (a - d, a) a f '' > 0  na (a, a + d) , je a inflexním bodem funkce f. Asymptoty funkce v +oo a -oo. Věta 32: y = ax + b je asymptotou f  v =+oo, právě když f(x) / x --> a a f(x) - ax --> b. Průběh funkce (co na funkci vyšetřovat): definiční obor a obor spojitosti; průsečíky s osami souřadnic; sudost, lichost, periodičnost; limity v krajních bodech def. oboru; intervaly monotonie, lokální a globální extrémy (pomocí 1. derivace); intervaly konvexity a konkavity, inflexní body (pomocí 2. derivace); asymptoty; náčrtek grafu funkce. 
21. přednáška 14.12.2004. Příklad na zjišťování průběhu funkce: f(x) = exp(-1 / sin2(x)) pro x různé od celočíselných násobků pi a f(k.pi) = 0. Definice Taylorova polynomu T(x; f, n, a).  Věta 33 (jednoznačnost Taylorova polynomu): Existuje-li vlastní n-tá derivace f (n)(a) a P(x) je polynom stupně nejvýše n, pak, pro x --> a, lim (f(x) - P(x)) / (x - a)n = 0 pouze pro P(x) = T(x; f, n, a).    
22. přednáška 17.12.2004. Věta 34 (zbytek Taylorova polynomu): Má-li  f  vlastní n+1-tou derivaci na (a - eps, x + eps ) a g  je spojitá na [a, x] a na  (a, x) má vlastní a nenulovou derivaci, pak existuje c v(a, x), že zbytek R(x; f, n, a) = f(x) - T(x; f, n, a) je roven (1 / n!).((g(x) - g(a)) / g'(c)).f (n+1)(c).(x - c)n+1. Důsledek (Lagrangeův a Cauchyův tvar zbytku): Za předpokladů předchozí věty platí: (i)  existuje c  v (a, x), že R(x; f, n, a) = (1 / (n+1)!).f (n+1)(c).(x - a)n+1 a (ii) existuje c v (a, x), že R(x; f, n, a) =(1 / n!).f (n+1)(c).(x - c)n.(x - a). Rozvoje funkcí do Taylorových řad: (i) exp(x) = 1 + x / 1! + x2 / 2! + ... , pro všechna reálná x; (ii) sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ...  pro vš. x; (iii) cos x = 1 - x2 / 2! + x4 / 4! - ...  pro vš. x; (iv) log(1+x) = x - x2 / 2 + x3 / 3 - ... pro x v intervalu (-1, 1]; (v) (1+x)a =1 +(a / 1!).x +  (a(a-1) / 2!).x2 + (a(a-1)(a-2) / 3!).x3 + ... pro každé reálné a a |x| < 1; (vi) arctg x = x - x3 / 3 + x5 / 5 - ...  pro |x| <= 1. (Důkazy jen pro (i), (ii) a (iv).) Důsledky: 2 + 1/2! + 1/3! + ... = e, 1 - 1/2 + 1/3 - ... =log 2  a 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = pi / 4. 
23. přednáška 21.12.2004. PRIMITIVNÍ FUNKCE. Definice funkce primitivní k dané funkci na otevřeném intervalu I.Věta 1: Dvě funkce primitivní k téže fukci (na stejném intervalu) se liší o konstantu. Příklady: sgn(x) nemá (na intervalu (-1, 1)) primitivní fukci, nespojitá funkce mající primitivní funkci. Věta 2: Každá funkce spojitá na otevřeném intervalu na něm má prim. funkci; (zatím) bez důkazu. Věta 3: Prim. funkce k lineární kombinaci funkcí je lin. kombinace prim. funkcí. Tabulka prim. funkcí.   Věta 4 (Darbouxova vlastnost pro funkce s prim. funkcí): Má-li fna otevřeném intervalu I prim. funkci,  je  f(I) zase interval.  Věta 5 (o substituci): (i) Je-li F primitivní k f na J, potom F(g) je primitivní k f(g).g' na I, kde g: J -> I a f: I -> R; (ii) Je-li G primitivní k f(g).g' na J, je G(g-1) primitivní k f na I, kde fukce f, g běhají jako předtím a g'  je na J nenulová. Příklady na větu o substituci.
24. přednáška 4.1.2005. Věta 6 (integrace per partes): Jsou-li F, G primitivní funkce k funkcím f, g na otevřeném intervalu I, pak FG - prim. funkce  k  fG  je prim. funkce k Fg na I. Dva příklady na integraci per partes. Definice racionální funkce. Opakování vlastností komplexních a reálných polynomů. Věta 7 (základní věta algebry): Komplexní polynom stupně n má jednoznačný (až na pořadí faktorů) rozklad na n komplexních lineárních kořenových činitelů; bez důkazu. Násobnost kořene. Kořeny a nulové body polynomu je jedno a totéž. Důsledky: (i) Polynom stupně n má nejvýše n různých nulových bodů a (ii) dva polynomy, které mají stejné hodnoty na nekonečné množině (komplexních čísel), mají stejné koeficienty. Tvrzení: Derivováním se násobnost kořene snižuje o 1, což dává jinou definici násobnosti kořene a polynomuP (je to nejmenší k, že P(k)(a)  není 0). Komplexně sdružená čísla a vlastnosti komplexního sdružování. Věta 8 (o kořenech reálného polynomu): Je-li komplexní číslo a  k-násobným kořenem reálného polynomu P, je i číslo komplexně sdružené k a k-násobným kořenem P.
25. přednáška 7.1.2005. Důsledek: Reálný polynom P(x) = anxn + ... +a1x + a0 má jednoznačný (až na pořadí faktorů) rozklad na reálné lineární a kvadratické faktory (které nemají společné kořeny a kvadratické faktory nemají reálné kořeny): P(x) = an(x - u1)k(1) ... (x - ur)k(r)(x2 + v1 x + w1)l(1) ... (x2 + vs x+ ws)l(s).   Věta 9 (rozklad na parciální zlomky): Jsou-liQ(x) a P(x) reálné polynomy, kde P(x) je rozložený jako výše a deg(Q) < deg(P), pak Q(x) / P(x) je součet zlomků typu (reálná konstanta) / (x - ui)e(i) a (reálný lin. polynom) / (x2 + vi x+ wi)f(i), kde e(i) nepřesahuje k(i) a f(i) nepřesahuje l(i). Aplikace rozkladu na parciální zlomky uvidíme v letním semestru.
26. a 27. přednáška 11.1. a 14.1. jsou věnovány konzultacím.


leden  2005