Termíny
zkoušek: 19.1.2005, 26.1.2005, 2.2.2005, 10.2.2005 a
17.2.2005. Písemka je v K1 (a dalších karlínských posluchárnách) od 9:00
a je společná pro všechny 3 paralelky. Ústní část se bude konat
odpoledne (i následující den, bude-li třeba) v Karlíně nebo na Malé
Straně, to bude operativně upřesňováno. Zapisujte se prosím na zkoušku
ke mně, termíny jsou již v SIS vypsány. Ti, kdo se zapsali k doc. Staré, se musejí
škrtnout a zapsat ke mně, omlouvám se za malý zmatek.
Písemná část zkoušky (prověření početní dovednosti) trvá 2
hodiny a sestává ze 4 příkladů: limita posloupnosti (10 bodů), limita
funkce (10 bodů), konvergence řady (10 bodů) a zjištění průběhu funkce
(20 bodů); celkem maximálně 50 bodů. Pro složení písemné části zkoušky a
pro postup k ústní části zkoušky je třeba získat alespoň 25 bodů (výsledek z jedné
písemky se započítává do všech zkoušek, po úspěšném složení ji nemusíte
opakovat). Započítávají se vám bodové zisky z
testu 19.11.2004 a bodové zisky z
testu 7.1.2005 (jsou-li alespoň 4 body z příkladu). Jsou povoleny běžné
psací potřeby a písemné materiály (tj. poznámky z přednášek). Technické
pomůcky (mobilní telefony, kalkulačky, notebooky, atd.) nejsou povoleny.
Příklad zkouškové písemky je na www straně doc. L.
Picka .
Ústní část zkoušky (prověření teoretických znalostí) obsahuje 3
otázky: (1) základní pojmy a definice; (2) tematický okruh (několik k
sobě tematicky patřících výsledků a vět, popř. příkladů, vyžadovaných
bez důkazu) a (3) věta (věty) s důkazem (důkazy). Otázky si budete
losovat z níže uvedených seznamů. Rozumí se, že v ústní části nejsou
povoleny ani technické pomůcky ani písemné materiály (poznámky z
přednášek, učebnice atd.).
V celkovém hodnocení zkoušky mají
písemná i ústní část stejnou váhu, např. 3 z písemky + 1 z ústní části
= celková 2. Orientační bodové hodnocení písemné části: 25 - 33 bodů je
za 3, 33 - 41 bodů je za 2 a 41 - 50 bodů je za 1. Pro hodnocení ústní
části nestanovuju žádné přesné bodové schéma.
Otázky pro ústní část
1. Základní pojmy a definice. 1. (shora, zdola) omezená množina
(posloupnost, funkce), supremum a infimum množiny reálných čísel; 2. vybraná (pod)posloupnost,
(ne)rostoucí, (ne)klesající, monotonní, konstantní posloupnost (funkce); 3. (vlastní a nevlastní) limita
posloupnosti, (prstencové, jednostranné) okolí bodu, cauchyovská
posloupnost; 4. limes superior
a limes inferior posloupnosti, hromadný bod posloupnosti; 5.
nekonečná řada, (částečný) součet řady, konvergentní a divergentní řady,
absolutní konvergence řad, Cauchyova podmínka pro řady; 6. sudá, lichá, periodická
funkce, (lokální, globální, ostré) maximum a minimum funkce na množině; 7. (jednostranná, nevlastní) limita
funkce v bodě a (jednostranná) spojitost funkce v bodě, spojitost na
intervalu; 8. (jednostranná) derivace funkce v
bodě, derivace vyšších řádů, Taylorův polynom funkce; 9. (ryze) konvexní a (ryze) konkávní
funkce, inflexní bod, asymptoty funkce; 10.
primitivní funkce k dané funkci, pár pojmů o polynomech: kořen a jeho
násobnost, racionální funkce.
2. Tematické okruhy (věty a výsledky
bez důkazů). 1. Základní
vlastnosti limit posloupností (věty 1 až 4); 2. Vztahy mezi uspořádáním a limitou
posloupnosti (věty 5 až 9); 3.
Vlastnosti limsup a liminf posloupnosti, Bolzano-Cauchy (věty 10-12); 4. Kritéria konvergence řad (věty
1-6); 5. Dvě nejdůležitější
řady: geometrická a 1 s + 2 s + 3 s +... (jejich
konvergence a součet); 6.
Kritéria neabsolutní konvergence řad (věty 9-11); 7. Přerovnávání řad (věty 12 a 13); 8. Vztah limity posloupnosti a limity
funkce, základní vlastnosti limit funkcí (věty 1-4); 9. Limita funkce a uspořádání, limita
funkce a skládání funkcí (věty 5-7); 10. Vlastnosti funkcí spojitých
na intervalu (věty 8-12); 11.
Zavedení exponenciály a sinu (věty 13' a 14); 12. Derivace versus spojitost a
počítání derivací (věty 16-19); 13.
Souvislost monotonie funkce a jejích extrémů s derivací (věty 20 a 26); 14. Věty o střední hodnotě a jejich
aplikace (věty 21-25); 15.
Použití druhé derivace: konvexní (konkávní) funkce a inflexní body (věty
27-31); 16. Taylorův polynom a
jeho aplikace (věty 33 a 34, rozvoje funkcí exp(x), sin(x), cos(x), log(1+x) a arctg(x) do Taylorovy řady); 17. Primitivní funkce a jejich
základní vlastnosti (věty 1-4); 18. Počítání
primitivních funkcí substitucemi a per partes (věty 5 a 6); 19. Rozklad racionální funkce na
parciální zlomky (věty 7, 8 a 9).
3. Věta(y) s důkazem(y). 1. Dokažte
nespočetnost množiny R; 2. Dokažte, že čísla 21/2
a e jsou iracionální; 3. Dokažte větu o limitě vybrané
posloupnosti a větu o limitě a uspořádání (v. 3 a v. 5); 4. Dokažte větu o aritmetice limit
(v. 4); 5.Dokažte větu o 2
policajtech a větu o limitě monotonní posloupnosti (v. 6 a 9); 6. Dokažte vztah mezi liminf, limsup
a lim (v. 10); 7. Dokažte vztah
mezi liminf, limsup a hromadnými body (v. 11); 8. Dokažte Bolzano-Cauchyovu větu a
větu o cauchyovské posloupnosti (důsledek v. 11 a v. 12); 9. Dokažte srovnávací a limitní
srovnávací kritérium konvergence řad (v. 2 a 4); 10. Pojednejte o konvergenci a součtu
geometrické řady a dokažte odmocninové (v. 5) nebo podílové kritérium
(v. 6); 11. Dokažte
Abelovo a Dirichletovo kritérium (neabsolutní konvergence řad) (v. 10); 12. Dokažte Leibnizovo kritérium (v.
11) a větu o přerovnání abs. konvergentní řady (v. 12); 13. Uveďte a dokažte Heineho větu (v.
1) a větu o aritmetice limit (v. 4); 14.
Dokažte větu o limitě složené funkce (v. 6) a větu o limitě
monotonní funkce (v. 7); 15. Dokažte
Darbouxovu větu (v. 8) a větu o extrémech spojité funkce (v. 11); 16. Dokažte větu o omezenosti
spojité funkce (v. 10) a větu o spojitosti inverzní funkce (v. 12); 17. Dokažte větu 13' o existenci
exponenciály; 18. Dokažte
základní vlastnosti derivací (v. 16, 17 a 20); 19. Dokažte
větu o derivaci složené funkce (v. 18); 20. Dokažte větu o derivaci
inverzní funkce (v. 19); 21. Dokažte
Cauchyho větu o střední hodnotě (v. 23); 22. Dokažte jeden ze dvou případů
l'Hospitalova pravidla ((i) nebo (ii) věty 24); 23. Dokažte vlastnosti konvexních
(konkávních) funkcí (v. 27, v. 28 a v. 29); 24.Charakterizujte
inflexní body (v. 30 a 31); 25.
Dokažte větu o jednoznačnosti Taylorova polynomu (v. 33); 26. Dokažte
větu o tvaru zbytku Taylorova polynomu (v. 34) a odvoďte Cauchův a
Lagrangeův tvar zbytku; 27.Dokažte základní vlastnosti
primitivních funkcí (v. 1 a v. 3); 28. Dokažte
Darbouxovu vlastnost funkcí majících primitivní funkci (v. 4); 29. Dokažte substituční formuli a
formuli pro integraci per partes (v. 5 a v. 6).
leden 2005