Budu přednášet podle knihy D. A. Marcus, Number Fields, Springer 1977. Kopie relevantních partií knihy budou posluchačům poskytnuty. Aktualizováno 16.1.2008: částečný přehled probrané látky (př. 2-13) je  zde (pdf, 27 stran, texty přednášek 6, 11 a 12 budou ještě rozšířeny a doplněny).

Zkouškové otázky. 1. Obor celých čísel číselného tělesa má celistvou bázi (důsledek Thm. 9). 2. Obory celých čísel číselných těles jsou Dedekindovy a ideály v nich mají jednoznačné rozklady na prvoideály (Thm 14 a 16). 3. Rozklady prvoideálů v rozšířeních, e-f-n identita (Thm. 21). 4. Rozštěpené prvočíslo dělí diskriminant (Thm. 24). 5. Grupa tříd ideálů a její konečnost (důsledek 2 Thm. 35, popř. důsledek 2 Thm. 37). 6. Dirichletova věta o jednotkách (Thm. 38).

1. přednáška 11. října 2007.  Rozdání kopií části Marcusovy knihy (kapitoly 1 a 2, apendixy).

2. přednáška 18. října 2007.  Rekapitulace poznatků z komutativní algebry: okruhy a ideály, faktorizace (apendix 1).

3. přednáška 25. října 2007.  Rekapitulace poznatků z komutativní algebry: rozšíření těles, vnoření do komplexních čísel, konjugáty (apendix 2).

4. přednáška 1. listopadu 2007. Normální rozšíření, Galoisova grupa, Galoisova korespondence. Číselné těleso, celistvá čísla, obor celých čísel číselného tělesa.

5. přednáška 8. listopadu 2007. Stopa a norma prvku, jejich vlastnosti, relativní stopa a relativní norma. Diskriminant n-tice prvků, jeho vlastnosti, existence celistvé báze celých čísel číselného tělesa.

6. přednáška 15. listopadu 2007. Diskriminant číselného tělesa, příklad: když a splňuje  a3 + a + 1 = 0, pak disc(Q[a]) = -31. Aplikace alg. teorie čísel: diofantické rovnice n = x2 + y2, x3 = y2 + 1, x3 = y2 + 4.

7. přednáška 22. listopadu 2007. Přednáška odpadla pro účast přednášejícího na workshopu.

8. přednáška 29. listopadu 2007.  Dedekindův obor, obor celých čísel číselného tělesa je Dedekindův obor. V Dedekindově oboru pro každý ideál I existuje ideál J tak, že jejich součin IJ je hlavní ideál (a). Krácení ideálů a dělitelnost ideálů. Základní věta aritmetiky pro Dedekindovy obory: každý nenulový ideál má (až na pořadí) jednoznačné vyjádření jako součin prvoideálů.

9. přednáška 6. prosince 2007.  Přednáška bohužel znovu odpadla.

10. přednáška 13. prosince 2007. Rozklad prvoideálu P oboru celých čísel R číselného tělesa K v oboru celých čísel S číselného tělesa L, jež rozšiřuje K, na prvoideály Q ''nad P". Index štěpení a stupeň setrvačnosti prvoideálu Q nad prvoideálem P. Čtyři výsledky o tomto rozkladu. 1. Každý Q leží nad právě jedním P  a nad každým P leží alespoň jeden (a samozřejmě konečně mnoho) Q. 2. Platí n-e-f identita n = e1f1 + ... + erfr, kde n je stupeň L nad K a ei, fi jsou indexy štěpení a stupně setrvačnosti Qi nad P. 3. Pro normální rozšíření jsou všechny ei a fi stejné. 4. Pokud ei > 1 a p je prvočíslo pod P, pak p dělí diskriminant R. Důkazy 1, 3 a 4.

11. přednáška 20. prosince 2007. Důkaz výsledku 2. Ještě jeden výsledek o rozkladu P. 5. Nechť L=K[a] pro nějaké a z S, g(x) z R[x] je  minimální polynom a nad K, P je prvoideál v R a h(x) z (R/P)[x] je g(x) s koeficienty redukovanými mod P. Nechť dále prvočíslo p pod P nedělí řád aditivní faktorgrupy S/R[a]. Pak rozklad prvoideálu P v S koresponduje s rozkladem polynomu h(x) na ireducibilní polynomy v (R/P)[x].

12. přednáška 3. ledna 2008.  Třídy ekvivalence ideálů, grupa tříd. Její konečnost: 1. každý nenulový ideál v R (oboru celých čísel číselného tělesa) obsahuje takový nenulový prvek a, že |N(a)| <= c.|| I ||, kde c je absolutní konstanta; 2. každá třída ideálů obsahuje ideál s normou <= c (pro tutéž konstantu) a 3. z toho už pomocí rozkladů na prvoideály a pomocí pod nimi ležících prvočísel plyne konečnost počtu tříd. Aplikace grupy tříd ideálů: diofantická rovnice x2 + 5 = y3 nemá v Z řešení. Konstanta c se dá pomocí Minkowského věty o konvexním tělese vylepšit - jenom část důkazu, zbytek viz Marcus.

13. přednáška 3. ledna 2008. Důkaz Dirichletovy věty o jednotkách (grupa jednotek v R = OK je izomorfní součinu W x V, kde W je konečná cyklická grupa odmocnin z 1 v K a V = Zr+s-1 je volná Abelova grupa ranku r+s-1; r, resp. s, je počet reálných, resp. nereálných, vnoření K do C).

leden 2008