Úloha 1 (Počítací): Spočítejte Fourierovu transformaci na následujících vektorech:

1. $(x,\dots,x)$
2. $(1,-1,1,-1,\dots,1,-1)$
3. $(1,0,1,0,1,0,1,0)$
4. $(\omega^0,\omega^1,\omega^2,\dots,\omega^{n-1})$
5. $(\omega^0,\omega^2,\omega^4,\dots,\omega^{2n-2})$

Úloha 2 (Vlastnosti): O jakých vlastnostech vektoru vypovídá nultý a $(n/2)$-tý koeficient jeho Fourierova obrazu?

Úloha 3 (Obraz kanonické báze): Jak vypadá Fourierův obraz jednotkového vektoru $e_i$, tedy vektoru, který má jedničku na pozici $i$ a jinde 0?

Úloha 4 (Inverze kanonické báze): Pro každé $i$ najděte vektor, jehož Fourierovým obrazem je $e_i$. Jak z toho sestrojit inverzní Fourierův obraz?

Úloha 5 (Rotace): Mějme vektor $y$, který vznikl rotací vektoru $x$ o $k$ pozic, tedy $y_j = x_{(j + k) \bmod n}$ Jak spolu souvisí Fourierovy obrazy $x$ a $y$?

Úloha 6 (Odmocniny z jedničky): Kolik existuje $n$-tých odmocnin jedničky a jak vypadají? Proč jiná čísla nejsou $n$-tou odmocninou z jedničky? Které z $n$-tých odmocnin jedničky jsou primitivní?

Úloha 7 (Permutace): Ve Fourierově transformaci máme volnost v tom, jakou primitivní odmocninu $\omega$ si vybereme. Ukažte, že Fourierovy obrazy pro různé volby $\omega$ se liší pouze pořadím složek.

Úloha 8 (Bonus pro milovníky komplexních čísel): Spočítejte druhou mocninu polynomu $x^3 - x^2 - 2x + 2$ pomocí DFT, tedy $(x^3 - x^2 - 2x + 2)^2$.