Ušaté lemma

1. Nechť $G$ je graf s aspoň třemi vrcholy. Dokažte, že $G$ je 2-souvislý, právě když pro každé tři různé vrcholy $x, y, z$ existuje v $G$ cesta z $x$ do $y$ obsahující $z$.
2. Nechť $G$ je graf s aspoň třemi vrcholy. Dokažte, že $G$ je 2-souvislý, právě když pro každé tři různé vrcholy $x, y, z$ existuje v $G$ cesta z $x$ do $y$ neobsahující $z$.

Počítání dvěma způsoby

1. Na vysoké škole si každý student zapsal aspoň $10\%$ ze všech nabízených předmětů. Dokažte, že existuje předmět, na němž je zapsáno aspoň $10\%$ všech studentů.
2. Z přednášky víme, že na vrcholech $\{1, 2, \dots , n\}$ existuje $n^{n-2}$ stromů. Kolik z nich obsahuje hranu $\{1, 2\}$?
3. Na turnaji v trojkovém mariáši (což je hra pro tři hráče) bylo $32$ účastníků, $12$ z nich sehrálo pět partií, $20$ z nich sehrálo šest partií. Kolik tam bylo sehráno partií?
4. Na jiném turnaji v trojkovém mariáši bylo $15$ účastníků a každá dvojice účastníků se tam právě dvakrát sešla u společné partie. Kolik tam bylo sehráno partií? Plyne ze zadání, že každý hráč sehrál stejný počet partií? Pokud ano, kolik partií sehrál každý hráč?
5. Turistický oddíl má $100$ členů. Pro své členy oddíl zorganizoval celkem $10$ výletů. Na každém výletě bylo nejvýše $30$ členů oddílu. Dokažte, že existují dva členové oddílu, kteří spolu nikdy nebyli na společném výletě.
6. Nechť $M$ je matice tvaru $10\times 10$ obsahující čísla $1, 2, \dots , 10$, přičemž každé číslo se v ní vyskytuje $10$-krát. Dokažte, že $M$ má řádek nebo sloupec obsahující aspoň 4 různá čísla. Jak zobecnit tento závěr na matice tvaru $n\times n$, v nichž se každé z čísel $1, 2, \dots , n$ vyskytuje právě $n$-krát?