|
|
Základní informace k přednáškám Lineární algebra 1 a 2.
Probraná a plánovaná témata:
| 1. (18.2.) |
Prostory se skalárním součinem: definice, příklady. Norma indukovaná skalárním součinem a norma obecně. Pythagorova věta, Cauchy-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost.
[skripta: sekce 8.1] |
| 2. (25.2.) |
Ortogonální a ortonormální systémy, Fourierovy koeficienty. Gram-Schmidtova ortogonalizace a důsledky. Vyjádření libovolného skalárního součinu pomocí standardního. Ortogonální doplněk a jeho vlastnosti pro množinu a pro podprostor.
[skripta: sekce 8.2-8.3] |
| 3. (4.3.) |
Ortogonální projekce (bez Gramovy matice). Ortogonální doplněk a projekce pro standardní skalární součin, vlastnosti matice projekce.
[skripta: sekce 8.3-8.4] |
| 4. (11.3.) |
Metoda nejmenších čtverců.
Ortogonální matice (Householderova, Givensova), jejich charakterizace a vlastnosti. Determinanty: definice, determinant transponované matice, řádková linearita. [skripta: sekce 8.5-8.6, 9.0] |
| 5. (18.3.) |
Determinanty: vliv elementárních řádkových úprav, multiplikativnost determinantu, Laplaceův rozvoj determinantu, Cramerovo pravidlo. Adjungovaná matice.
[skripta: sekce 9.1-9.3] |
| 6. (25.3.) |
Determinant: geometrická interpretace determinantu a další aplikace. Vlastní čísla: definice a základní charakterizace. Charakteristický polynom. Vlastní čísla a jejich vlastnosti: součet a součin vlastních čísel, regularita a vlastní čísla. [skripta: sekce 9.4, 10.0-10.1] |
| 7. (1.4.) |
Matice společnice. Cayley-Hamiltonova věta a důsledky. Podobnost matic. Diagonalizovatelnost obecných matic a její charakterizace, postačující podmínka, vlastní vektory různých vlastních čísel. Spektrální rozklad.
[skripta: sekce 10.1-10.3] |
| 8. (8.3.) |
Mocnina matice. Jordanova normální forma matice (bez důkazu) a důsledky. Symetrické matice: vlastní čísla a diagonalizovatelnost (spektrální rozklad a jeho alternativní tvar).
[skripta: sekce 10.4-10.5] |
| 9. (15.4.) |
Teorie nezáporných matic: Perronova věta, Markovovy řetězce. Gerschgorinovy disky.
Mocninná metoda na výpočet vlastních čísel a její konvergence, deflace vlastního čísla pro symetrické matice.
[skripta: sekce 10.6-10.7] |
| 10. (22.4.) |
Positivně definitní a positivně semidefinitní matice: definice, vlastnosti a ekvivalentní podmínky.
Metody na testování positivní definitnosti: Rekurentní vzoreček, Gaussova eliminace, Sylvestrovo kriterium.
[skripta: kapitola 11.0-11.1.] |
| 11. (29.4.) |
Metody na testování positivní definitnosti: Choleského rozklad (věta a algoritmus).
Aplikace positivní (semi)-definitnosti: skalární součin v Rn, odmocnina z matice.
[skripta: kapitola 11.1-11.2.] |
| 12. (6.5.) |
Bilineární a kvadratické formy: maticové vyjádření, vliv změny báze na matici.
[skripta: kapitola 12.1.] |
| 13. (20.5.) |
Kvadratické formy: Sylvestrův zákon setrvačnosti, výpočet diagonalizace a nalezení polární báze, aplikace v geometrii - elipsoidy. Maticové rozklady: motivace [skripta: kapitola 12.2.] |
