Skriptíčka k první části obsahují většinu z prvních šesti přednášek, ale v mnoha místech skicovitě (zejména přednášky 4-6).
Text ke druhé části přednášky, obsahuje trochu víc, než se probralo.
| Datum | Obsah | Zdroje |
|---|---|---|
| 3.10. | Úvod, charaktery, skal. součin, Four. tranformace. | skriptíčka -- finální verze |
| 10.10. | Duály k Z, T, a R. Vlastnosti Fourierovy transformace, vyjádření funkce v bázi charakterů. Four.transf. zachovává normu i skalární součin (při vhodné definici). Konvoluce. | |
| 17.10. | Dvě aplikace: Rychlé testování linearity zobrazení. Hledání aritm. posloupností délky 3 v Z3n. | |
| 24.10. | Dokončení hledání aritm. posloupností délky 3 v Z3n. Ortogonální doplněk, Poissonova sumační formule. | |
| 31.10. | KKL věta o vlivu proměnných na booleovskou funkci. Nerovnost pro normu konvoluce. | |
| 7.11. | Harmonická analýza v nekonečných grupách -- přehled oblasti, jednoduché aplikace. | |
| 14.11. | Polynomy vice proměnných, terminologie, zápis R[x_1,...,x_n]. Schwartzova-Zippelova věta s důkazem. Aplikace: testování existence perfektního párování v bipartitním grafu; počítání složených permutací. Lemma o existenci nenulového polynomu, který se anuluje v daných bodech. | Miniatury 24 a 26 z Thirty-three Miniatures, posledně zmíněné lemma v min. 25. Učební text |
| 21.11. | Věta o prostorových kříženích s důkazem. Pojem (afinní) algebraické variety. Ideál, noetherovský okruh. Hilbertova věta o bázi. Slabý a silný Nullstellensatz (znění). Korespondence radikálních ideálů a variet nad algebraicky uzavřeným tělesem. | |
| 28.11. | Odvození silného Nullstellensatz ze slabého. Pojem resultantu, odvození vzorce pro něj. Souřadnicový okruh a jeho Hilbertova funkce. Bézoutova nerovnost pro dvě proměnné s důkazem (přes Hilbertovu funkci). | |
| 5.12. | Příklady, kde zobecnění Bézoutovy nerovnosti na víc proměnných narazí (nad R, a 3 ireducibilní polynomy ve 3 proměnných, jejichž varieta je křivka). Znění za předpokladu konečně mnoha řešení. Nerovnost pro počet nesingulárních řešení s důkazem. | |
| 19.12. | Definice reprezentace grupy. Dimenze reprezentace. Příklady: triviální reprezentace, alternující reprezentace, permutační reprezentace, regulární reprezentace. Ireducibilní reprezentace. Každá reprezentace konečné grupy se dá rozložit na direktní součet ireducibilních. Schurovo lemma. | Diaconis kap.2, Učební text |
| 2.1.2014 | Další verze Schurova lemmatu. Důsledek: každá ireducibilní komplexní reprezentace konečné abelovské grupy je jednodimenzionální. Definice charakteru, základní vlastnosti. Poznámka: pokud $G$ je konečná grupa, na V existuje invariantní skalární součin. Z toho plyne jiný důkaz existence rozkladu na ireducibilní reprezentace a také Weylův unitaritní trik.. Definice skalárního součinu funkcí. Prvky maticí ireducibilníc reprezentací (jakožto funkce G->C) jsou ortogonální. Charaktery ireducibilních reprezentací jsou ortonormální. Pro libovolnou danou reprezentaci V, počet kopií dané ireducibilní reprezentace v rozkladu V je dán skalárním součinem příslušných charakterů. Důsledek: Dvě reprezentace jsou ekvivalentní právě tehdy, mají-li stejný charakter. | |
| 9.1.2014 | Charakter regulární reprezentace. Každá ireducibilní reprezentace je obsažena v regulární tolikrát, kolik je její stupeň. Prvky matic (jakožto funkce G->C) unitárních ireducibilních reprezentací jsou báze pro prostor všech funkcí na grupě G. Aplikace v komunikační složitosti: Raz a Spieker. | Raz a Spieker |