| 9.10.(IK) |
Vnější Lebesgueova míra na R, měřitelné množiny (def.
podle Carathéodoryho). Měřitelné množiny tvoří sigma-algebru (důkaz
vynechán). Interval (a,infty) je měřitelný, borelovské množiny jsou
měřitelné. Definice L. míry jako restrikce vnější míry na meřitelné
množiny. Obecná definice prostoru s mírou, příklady. Definice
měřitelne funkce. |
|
| 16.10.(IK) |
Dokázali jsme aditivitu L. míry (minule se nestihlo).
Složení měřitelné a spojité funkce je měřitelná funkce. Vyrábění
měřitelných funkcí z jiných měřitelných funkcí (jako jejich součet,
součin, limita apod.). Jednoduché funkce. Aproximace nezáporných
měřitelných funkcí pomocí jednoduchých funkcí. Neformálně zmíněny
Littlewoodovy principy. Definice obecného L. integrálu. |
|
| 23.10.(IK) |
Jednoduché vlastnosti integrálu. Fatouovo lemma,
věta o monotónní konvergenci (Levi). Linearita integrálu. Věta o
omezené konvergenci (Lebesgue). Součin měr a Fubiniho věta.
| |
| 30.10.(JM) |
Kolmogorovská axiomatika teorie pravděpodobnosti, modelování
pravděpodobnostních pojmů v teorii míry. Normální rozdělení N(a,b^2),
standardní normální rozdělení N(0,1). Výpočet normalizující konstanty
dvojnou integrací. Dva odhady pro distribuční funkci normálního rozdělení.
Gaussovská míra gamma, jednodimenzionální a n-dimenzionální, její
sférická symetrie, z ní plynoucí 2-stabilita normálního rozdělení,
poznámka o centrální limitní větě. Překvapivé chování těles
ve velké dimenzi. Využití gaussovské míry pro generování náhodného směru
ve velké dimenzi. | |
| 6.11.(JM) |
Definice elipsoidu. Konvexni těleso.
Věta o Loewnerově-Johnoně elipsoidu (důkaz ve cvičení).
Brunnova nerovnost o rovnoběžných řezech konvexního tělesa. Brunnova-Minokwského
nerovnost pro neprázndé kompaktní množiny. Jak z ní plyne Brunnova nerovnost
(část jako cvičení). Důkaz BM nerovnosti pro dimenzi 1.
Jiná verze BM nerovnosti (s "geometrickým průměrem"),
její ekvivalence s původní BM nerovností. Zobecnění pro funkce: Prékopova-Leindlerova nerovnost. Důkaz pro dimenzi 1 z jednodimenzionální BM nerovnosti
(a AG nerovnosti pro vážené průměry). | [Ball] Lect. 3,5; [Mat] 12.2 |
| 13.11.(JM) |
Důkaz Prékopovy-Leindlerovy nerovnosti indukcí podle dimenze.
Isoperimetrická nerovnost v euklidovském prostoru, důkaz z Brunnovy-Minkowského nerovnosti. Příklady významných
metrických prostorů s mírou (R^n s lebesgueovskou mírou,
R^n s gaussovskou mírou,
S^{n-1} s uniformní mírou - vše euklidovská vzdálenost;
Hammingova krychle s uniformní mírou,
permutace n prvků s uniformní mírou a Hammingovou vzdáleností).
Koncentrace míry - úvod. Důkaz (slabší) koncentrace gaussovské míry na R^n
z Prékopovy-Leindlerovy nerovnosti.
| [Ball] Lect. 8; [Mat] 14.1,2 |
| 20.11.(RŠ) |
Koncentrace lipschitzovských funkcí:
Znění pro gaussovskou míru, míru na sféře a na Hammingově krychli.
Důkaz pro gaussovskou míru.
Aplikace (pro Hammingovu krychli): Černovova nerovnost.
Aplikace (pro gaussovskou míru):
Koncentrace délky gaussovského vektoru.
| [Mat] 14.3 |
| 4.12.(RŠ) |
K čemu je dobrá funkcionální analýza, co zkoumá. Co jsou funkční prostory, norma Lp, trojúhelníková nerovnost pro ni (Minkowského nerovnost). Hölderova
nerovnost -- kontrola nad součinem.
| |
| 11.12.(RŠ) |
Prostor Lp je úplný (a tedy Banachův). (Jen pro p=infty.) Jednoduché funkce tvoří hustý podprostor.
Lineární operátory, jejich spojitost, norma.
| |
| 18.12.(RŠ) |
Funkcionály na Lp odpovídají funkcím z Lq pro 1/p+1/q = 1. K tomu: Radon-Nikodýmova věta o
reprezentaci míry. Derivace míry. (Jen orientačně.) Skalární součin, Hilbertovy prostory. Rovnoběžníkové pravidlo. Promítání na uzavřené konvexní podmnožiny. Věta o
reprezentaci: všechny funkcionály na Hilbertově prostoru odpovídají skalárnímu součinu s nějakým prvkem toho prostoru.
| |
| 8.1.(RŠ) |
Hilbertovsky i banachovsky adjungované operátory. Duální prostory (funkcionály). Příklady.
Hahn-Banachova věta (s důkazem). Důsledky: spojité lineární funkcionály rozlišují body.
Rozšíření limity z konvergentních posloupností na celé l1.
| |