Analytická a kombinatorická teorie čísel DMI045

Plán přednášky pro LS 2008. Pozoruhodnou skutečností je, že mnohé vlastnosti diskrétních struktur (celá čísla) se umějí dokázat pouze pomocí analytických prostředků, nebo se jen těmito prostředky umějí dokázat silné výsledky. Na přednášce ukážu použití analýzy při důkazech následujících pěkných vět z teorie čísel. 1. Rothova věta pro aritmetické posloupnosti délky 3: každá podmnožina {1, 2, ..., n} s >cn prvky, c>0 je konstanta a n je dostatečně velké, nutně obsahuje aritmetickou posloupnost a, a+d, a+2d. 2. Dirichletova věta: pro každá dvě nesoudělná přirozená čísla a, b existuje nekonečně mnoho prvočísel kongruentních a modulo b. 3. Prvočíselná věta: počet prvočísel nepřesahujících x je ~x/log x. 4. Šnirelmanova věta: existuje konstanta k (konkrétně třeba k=800 000), že každé přirozené číslo >1 je součet nejvýše k prvočísel.
Zkušební otázky. 1. analytický důkaz Rothovy věty. 2. kombinatorický důkaz Rothovy věty. 3. Dirichletova věta. 4. Šnirelmanova věta.
Učební text. Stará verze zpřed dvou let je zde. Nová předběžná verze (s doplněnou Dirichletovou větou a opravenou Šnirelmanovou větou, bude ještě opravena a doplněna), která ji nahradí, bude tady .

Přednáška se konala v úterý 16-17:30 na chodbě KAM ve 2. patře na Malé Straně ("S290").

1. přednáška 4.3.2008. 1. Rothova věta o aritmetických posloupnostech délky 3, analytický důkaz.
2. přednáška 11.3.2008. Pokračování analytického důkazu.
3. přednáška 18.3.2008. Dokončení analytického důkazu, základní idea kombinatorického důkazu.
4. přednáška 25.3.2008. Kombinatorický důkaz.
5. přednáška 1.4.2008. Dokončení kombinatorického důkazu.
6. přednáška 8.4.2008. 2. Dirichletova věta o prvočíslech. Speciální případy: nekonečnost počtu prvočísel v aritmetických posloupnostech 4n+1 a 4n-1 (euklidovský důkaz sporem a Eulerův analytický důkaz, který právě Dirichlet zobecnil) a nekonečnost počtu prvočísel v aritmetické posloupnosti pn+1 (p je libovolné prvočíslo). Charaktery konečných abelovských grup.
7. přednáška 15.4.2008. Charaktery cyklické grupy (vytvářejí tutéž cyklickou grupu) a duální grupa direktního součinu dvou grup (je direktním součinem obou grup). Struktura grupy G(m)---multipl. grupy zbytkových tříd modulo m nesoudělných s m.
8. přednáška 22.4.2008. Důkaz Dirichletovy věty. Zbývá ještě dokázat, že L(s, chi) mají pro s>1 eulerovský součin a že pro nehlavní charakter chi(n) je hodnota L(1, chi) nenulová.
9. přednáška 29.4.2008. Přednáška se nekonala pro nízký, byť kladný, počet posluchačů.
10. přednáška 6.5.2008. Dokončení důkazu Dirichletovy věty.
11. přednáška 13.5.2008. 3. Šnirelmanova věta o součtech prvočísel. Šnirelmanova hustota a její vlastnosti, Šnirelmanova nerovnost (s(A+B) >= s(A) + s(B) - s(A)s(B)). Odvození Š. věty z odhadu veličiny r(n) = počet vyjádření n jako součtu dvou prvočísel: r(n) < cPn/(log n)², kde c>0 je konstanta a P je součin čísel 1+1/p pro p probíhající prvočinitele čísla n.
12. přednáška 20.5.2008. Přehledově zbývající části důkazu Šnirelmanovy věty, zejména formulace Selbergova síta: Je-li A konečná množina či posloupnost přirozených čísel s tou vlastností, že počet prvků A dělitelných d je g(d)|A| + r(d), kde g(x) je úplně multiplikativní funkce s hodnotami v (0, 1) (vyjma g(1) = 1) a r(d) je chyba aproximace, potom S(A, z), počet prvků A se všemi prvočiniteli velkými alespoň z, má horní odhad S(A, z) < |A| / S + T, kde S = suma g(k) přes k menší než z a T = suma 3^omega(k).|r(k)| přes bezčtverová k menší než z² (a omega(k) je počet prvočinitelů čísla k).

červen 2008