Přednáška Lineární algebra II
Poradi ke zkousce 7.6.2016
Vzhledem k velkemu poctu prihlasenych vypisuji jeste jeden termin 9.6.2016 (8.6. mame na katedre statni zaveerecne zkousky, u nichz jsem predsedou). Prosim obzvlaste ty, kteri jsou v poradi pro 7.6. hodne vzadu, aby se prehlasili na 9.6. - budu jim pro stanoveni poradi (dle data a hodiny prihlaseni ke zkousce) pocitat puvodni datum a hodinu.
Odpřednášená látka:
Přednáška 26.2.2016
Úvod do normovaných prostorů a prostorů se skalárním součinem - obecně o důležitosti a formách zavádění metriky na lineárních prostorech, hlavně prostorech nekonečné dimenze, kde pojem báze není příliš užitečný a je třeba zavést limity posloupností a součty nekonečných řad
Přednáška 4.3.2016
Skalární součin, norma a metrika definovaná axiomaticky, Pathagorova věta, Cauchy-Schwartzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost pro skalární součin, kolmost
Přednáška 11.3.2016
Ortonormální báze, Fourierovy koeficienty, Gram-Schmidtova ortogonalizace, ortogonální doplněk, ...
Přednáška 18.3.2016
Další poznatky o ortogonalitě v konečně- i nekonečně-dimenzionálních vektorových prostorech
Přednáška 1.4.2016
Spektrální teorie - motivace (soustavy lin. dierenciálních rovnic, minimální řez v grafu, pagerank, obraz jednotkové koule symetrickou maticí a osy elipsoidu)
Přednáška 8.4.2016
Spektrální vlastnosti nediagonálních Jordanových bloků - rozbor příkladů, zobecněné vlastní vektory
Přednáška 15.4.2016
Podobnost matic, existence Jordanovy normální formy matice
Přednáška 22.4.2016, 29.4.2016 a 6.5.2016
Spektrální teorie matic a lineárních zobrazení.
Přednáška 13.5.2016
Positivně definitní a semidefinitní matice, jejich vlastnosti, Choleského rozklad
Přednáška 20.5.2016
Bilineární a kvadratické formy, Sylvestrův princip setrvačnosti pro kvadratické formy
Literatura
je stejná jako pro přednášku LA I, viz zde a zde
Důkaz existence Jordanovy formy matice najdete zde (Soubor Jordan.pdf, 105 kB)
Co se bude zkoušet (následující odstavce jsou okruhy témat, nikoli konkrétní otázky, které budou obvykle výběrem z uvedených témat):
Zkouška bude pouze ústní, je možno přijít i bez zápočtu, ale v takovém případě známku do SIS zapíšu až poté, co v něm bude zápočet napsán, tedy ne bezprostředně po zkoušce.
1. Norma na lineárních prostorech jako prostředek k zavedení pojmu limity posloupnosti - definice, příklady norem na různých prostorech.
2. Skalární součin, abstraktní definice, konkrétní případy, zavedení skalárního součinu pomocí positivně definitní matice. Ortogonalita, definice a vlastnosti ortogonálního doplňku a projekce na podprostor. Gram-Smidtova orgogonalizace.
3. Spektrální teorie - definice a základní vlastnosti vlastních čísel a vektorů. Podobnost matic (motivace pojmu), diagonalizovatelnost, Jordanova normální forma, diagonalizovatelnost symetrických metic pomocí ortonormálních matic. O lineární nezávislosti a ortogonalitě vlastních vektorů.
4. Positivně (semi)definitní matice, Choleského rozklad.
5. Bilineární a kvadratické formy, kongruence matic (motivace), Sylvestrův princip setrvačnosti.
6. Rozklady matic - QR rozklad a Hauseholderova transformace.