Letos se zaměříme na teorii míry -- jako základ pro teorii pravděpodobnosti. Dále na geometrii ve vysoké dimenzi a také trochu funcionální analýzy.
| Datum | Obsah | Zdroje |
|---|---|---|
| 26.2. | [IK] Motivace míry a L. integrálu. Vlastnosti, které by ideálně měla míra mít. Definice vnější míry. Vnější míra intervalu je rovna délce. Subaditivita. Aditivita selhává, Vitaliho množina. Měřitelné množiny, interval $(0,\infty)$ je měřitelný. Sigma algebra, měřitelné množiny jsou sigma algebra. Poznámka: Littlewoodovy principy (neformálně). Borelovské množiny, jejich měřitelnost. Definice L. míry jako zúžení vnější míry. Aditivita. Zmíněn příklad neměřitelné množiny. | Kniha kap. 1 |
| 5. 3. | [IK] Poznámka o tom, že neměřitelná množina se dá zkonstruovat jen s pomocí axiomu výběru. Nulová množina, pojem "skoro všude". Aplikace: hledání libovolně velké množiny v obecné poloze v rovině. Pojem míry, prostoru s mírou. Příklady měr (počítací, Diracova). Měřitelná funkce. Pro funkci $X \to Y$ je potřeba podmínku ověřit jen pro množiny, které generují sigma-algebru v Y. Měřitelnost součtů, součinů měřitelných funkcí, apod. Jednoduchá funkce, aproximace měřitelných pomocí jednoduchých. Definice L. integrálu. Různé vlastnosti (bez důkazu). Fatouovo lemma. | Kniha kap. 1 |
| 12. 3. | [IK] Věta o monotonní konvergenci. Linearita integrálu. Věta o omezené konvergenci. Jednoduchý příklad užití Fubiniho věty. Fubiniho věta. Definice pojmů ve F. větě. Pravděpodobnost: příklady (Monty-Hall, Bertrandův paradox). Definice základních pojmů. Kolmogorovovy axiomy. Pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina, střední hodnota. | Kniha kap. 1 |
| 19. 3. | [RS] Two calculations: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} = \sqrt{2\pi}$ (Fubini, substitution). Stirling formula (substitution, dominated convergence). | Book 2.3, Stirling's formula by Keith Conrad |
| 26.3. | [RS] Brief overview of probability (prob. density functions, cumulative distribution function). Normal distribution -- verifying properties, relation to binomial coefficients. Multidimensional normal distribution and its applications. | Book 2.3, |
| 2.4. | [MT] Higher dimensional geometry: A few paradoxes about measure in higher dimensions. Brunn theorem. Minkowski sum. Brunn-Minkowski inequality. A proof that Brunn-Minkowski implies Brunn. Isoperimetry via Brunn-Minkowski. 1-dimensional Brunn-Minkowski for measurable sets. Dimension-independent Brunn-Minkowski (only statement at the moment). | Book 2.2. |
| 9.4. | [MT] Proof that the Dimension-independent Brunn-Minkowski implies Brunn-Minkowski. Generalization to the Prékopa-Leindler theorem and a proof of it. Measure concentration on a sphere and other spaces (statement only). | Book 2.2, 2.4. |
| 16.4. | [MT] Concentration of Lipshitz functions - Lévy's lemma. Gromov's sphere waist theorem (statement only). Johnson-Lindenstrauss flattening lemma. Implied by Gaussian projection lemma. (Started preparations for the proof.) | Book 2.4, 2.5. |
| 30.4. | [MT] Concentration of the norm of a random vector chosen w.r.t. standard normal distribution on a spherical shell. Proof of the Gaussian projection lemma. Initial notions from functional analysis: normed space, Banach space, equivalent norms. All norms on finitely dimensional normed spaces are equivalent, therefore all such spaces are Banach. Examples: p-norms on finitely-dimensional normed spaces, maximum and integral norm on continuous functions on [0,1], or more generally on a compact set. | Book 2.5. |
| 7.5. | [RS] Examples of Banach spaces ($\ell_\infty$, $\ell_p$, $L_p$). Banach contraction theorem. | [W] |
| 14.5. | [RS] PLAN: Linear operators -- continuity, norm, etc. |