Informace k přednášce Matematika++, ZS 2014/2015

Ida Kantorová, Jiří Matoušek, Robert Šámal

Rozsah

Dvě hodiny přednášky a dvě hodiny cvičení týdně (2/2). Zápočet, zkouška.

Termín

Přednáška středa od 15:40 v S8, cvičení občasná (bude oznámeno) po přednášce v S8. Podrobnosti viz stránka cvičící.

Náplň

V moderní informatice se často používají matematické nástroje, které překračují rozsah matematických přednášek v bakalářském programu informatiky. V této přednášce se posluchači seznámí s poněkud zhuštěnými základy některých matematických odvětví, které se pro informatiku a diskrétní matematiku ukázaly zvlášť významné. pro představu se podívejte na témata minulých přednášek.

Letos se zaměříme na topologii -- jak ve smyslu zkoumání otevřených množin, spojitých zobrazení, atd. (tzv. množinová, či obecná topologie), tak zkoumání homotopií, homologíí, atd. (algebraická topologie).

Předpoklady

Zájem o matematiku, matematické znalosti zhruba v rozsahu informatického bakalářského studia na MFF UK. Navazovat budeme hlavně na analýzu, pravděpodobnost a lineární algebru.

Cvičení

Podstatná část cvičení bude spočívat v samostatné domácí práci posluchačů. Zápočet bude za vyřešení dostatečného množství příkladů. Cvičení povede Zuzana Patáková a Radek Hušek.

Zkouška

Bude ústní, z teorie i příkladů. Ozvěte se emailem, domluvíme se na čase. (Ve zkouškovém budu jen první a poslední týden, ale možno i poté.)

Literatura

Učební text
R. Engelking: General Topology.
John Leroy Kelley: General Topology.
V.V. Prasolov: Intuitive Topology (Mathematical World, Vol 4).
Allen Hatcher: Algebraic Topology.
Rozšíření: Ukázka kombinatorického významu simpliciálních komplexů a jejich topol. parametrů

Probraná témata

Datum	Obsah	Zdroje
začátek semestru	Podle skript, vynechány polish spaces
19.11.	Simpliciální komplexy -- vztah mezi abstraktním, geometrickým a topologickým prostorem. (Užijí se mj. barycentrické souřadnice.) Joiny pro simpliciální komplexy. Věta o nervu.	Učební text kap. 7.2 a 7.3.
26.11.	Příklady simpliciálních komplexů. CW komplexy a simpliciální množiny. Nevnořitelnost.	Učební text kap. 7.4 a 8.
3.12.	Homotopie a homologie -- obrázkový úvod. Definice pointed space (bodnuté prostory), atd. Definice fundamentální grupy. Funktor. Náznak důkazu, proč je "křivka okolo díry" homotopicky netriviální.	Učební text kap. 9 (ne celá).
10.12.	Homotopie -- obtíže výpočtu fundamentální grupy (přes počítání s prezentacemi grup). Vyšší homotopické grupy. Homologie: definice pojmů řetězec, cyklus, hranice, hraniční operátor. Hranice hranice je nula. Definice homologické grupy. Příklady: graf, simplex, simplex bez hranice. Hezké video pro Hopfovo zobrazení a přednáška kde je vysvětlení.	Učební text zbytek kap. 9 a začátek kap. 10.
17.12.	Homologie jako funktor. Kohomologie (jen definice). Dvě aplikace (rozlišení $\mathbb{R}^m$ pro různá $m$ coby topologických prostorů, Browerova věta o pevném bodě) -- s vynechávkou tvrzení, díky nimž to funguje. Začátek budování teorie k aplikacím potřebné: simpliciální aproximace spojitého zobrazení.	Učební text zbytek kap. 10, začátek kap. 11 a kus kap. 13.
7.1.	Věta (s důkazem) o simpliciální aproximaci spojitého zobrazení. Důsledek (s ideami důkazu): homologie nezáleží na triangulaci. Velmi orientačně: variety.	Učební text zbytek kap. 12, a průlet kap. 14.