Informace o přednášce Matematická analýza II (NMAI055, paralelka X, vyučující M. Klazar)

Sylabus a anotace. Viz SIS.

Doba a místo. Přednášku mám v pátek ve 10:40 - 12:10 v posluchárně S3 v budově na Malostranském náměstí. Další paralelky učí kolegové J. Vybíral (čt 14:00 S5) a H. R. Tiwary (po 10:40 S11, v angličtině).

Literatura. Je uvedena v SISu (skripta prof. Pultra jsou dostupná na jeho webové straně) a v knihovnách lze nalézt celou řadu nejrůznějších učebnic matematické analýzy (v češtině i angličtině). Základní učebnice, podle níž by se přesně vyučovalo, pro tento předmět ale není. Budu proto níže umísťovat podrobné zápisy z jednotlivých přednášek. Prakticky vše lze nalézt v mých různých textech sepsaných k přednáškám z analýzy v minulých letech, ale pro přehlednost (mezitím se udály různé reformy sylabů) to budu sepisovat v oněch zápisech ještě jednou a znovu a doufejme o něco lépe.

Cvičení a cvičící.  K paralelce vedou cvičení RNDr. Naděžda Krylová, CSc. (st 15:40 S6),  doc. RNDr. Markéta Lopatková, Ph.D. (čt 14:00 S7), Mgr. Vojtěch Kaluža (st 14:00 S11) a Mgr. Martin Schmid (čt 14:00 S11). Zápočet ze cvičení je nutný pro  připuštění ke zkoušce. Uděluje se za přiměřenou (aktivní) účast na cvičeních, vypracování domácích úloh a za přiměřený výkon v zápočtovém písemném testu, podle upřesnění cvičící(ho).  

Konzultační hodiny. Po dohodě. Pracovnu mám v malostranské budově ve 2. patře, místnost č. 224.

Zkouška. Zkouškové termíny jsou již v SISu. Požadavky ke zkoušce z NMAI055 .  

1. přednáška 20. 2. 2015. Primitivní funkce. Motivace pomocí ploch. Definice primitivní funkce a základní vlastnosti: nejednoznačnost, spojitost, linearita. Darbouxova vlastnost, důkaz. Spojitá funkce má primitivní f., zatím bez důkazu. Integrace per partes, důkaz. Značení, příklad: integrál z log(x). Zápis z 1. přednášky (jen malé změny proti přednášce před dvěma lety).

2. přednáška 27. 2. 2015. Tabulka prim. funcí. Věta o integraci substitucí, důkaz a příklady. Jsou funkce, např. exp(x^2), sin(x)/x, 1/log x, jejichž prim. funkce nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Poznámky o prim. funkcích k racionálním funkcím, podrobněji v zápisu z přednášky. Riemannův integrál. Dvě definice: původní Riemannova a Darbouxova. Tvrzení: neomezená funkce nemá R. integrál (ani podle jedné definice), důkaz  ponechán jako cvičení. Zápis z 2. přednášky (jen malé změny proti přednášce před dvěma lety).

3. přednáška 6. 3. 2015. Zajímavost: Liouvilleova věta o neelementárnosti primitivní funkce k funkci tvaru f.e^g, kde f a g jsou racionální. Zjemnění dělení a důkaz nerovností pro s(f, D) a S(f,D) po náhradě dělení jeho zjemněním. Tvrzení: dolní integrál je nejvýše horní integrál, důkaz. Důsledek: kritérium integrovatelnosti, důkaz. Příklady: omezená funkce bez integrálu a (viz zápis, na přednášce nebylo) výpočet int_0^1 x^2 dx podle definice. Množiny míry nula a jejich vlastnosti. Lebesgueova věta:  f má R. integrál, právě když je omezená a množina bodů nespojitosti má míru nula. Nespočetná množiny s mírou nula - Cantorovo diskontinuum. Zápis ze 3. přednášky (přidána Liouvilleova věta).

4. přednáška 13. 3. 2015. (kvůli Náboji v T2 v Tróji)  Tvrzení: monotonie => integrovatelnost, důkaz. Stejnoměrná spojitost. Tvrzení: spojitost na kompaktním intervalu => stejnoměrná spojitost, důkaz. Tvrzení : spojitost => integrovatelnost, důkaz. Tvrzení o linearitě integrálu, důkaz ponechán jako cvičení. Totéž pro: složení spojité funkce a integrovatelné dává integrovatelnou. Tvrzení o linearitě integrálu jako funkci integračních mezí, důkaz.  Zápis ze 4. přednášky.

5. přednáška 20. 3. 2015. První a druhá základní věta analýzy (vztah mezi integrálem a primitivní funkcí), důkazy. Newtonův integrál a porovnání s Riemannovým integrálem, důkaz. Počítání integrálů per partes (cvičení) a substitucí (důkaz). Aplikace integrálu: odhady log(n+1) < H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n < 1 + log n a odhad faktoriálu n! odhadem sumy log(n!) = log 1 + log 2 + ... + log n.  Zápis z 5. přednášky.

6. přednáška 27. 3. 2015. Zmínka o Stirlingově formuli n! ~ (2pi.n)^{1/2}(n/e)^n. Tvrzení: integrální kritérium konvergence nekonečné řady, důkaz a příklady. Zobecnění faktoriálu: funkce Gamma. Počítání  plochy rovinného útvaru, délky oblouku křivky a objemu rotačního tělesa pomocí integrálu, bez důkazu (a ani jsme si nedefinovali délku oblouku křivky a objem v R^3). Diferenciální počet funkcí několika proměnných. R^n jako vektorový prostor, euklidovská norma a vzdálenost a jejich vlastnosti. Koule B(s,r), definice otevřené množiny. Zápis z 6. přednášky.

7. přednáška 3. 4. 2015. Parciální derivace funkce a diferenciál funkce i zobrazení v daném bodě a. Příklady na parciální derivace (samy o sobě nezaručují spojitost v daném bodě). Tvrzení: (i) diferenciál zobrazení f=(f_1, f_2, ..., f_n), kde f_i=f_i(x_1, x_2, ..., x_m) jsou souřadnicové funkce, je určený jednoznačně, (ii) f  má diferenciál v a, právě když ho má každá f_i a (iii) diferenciál v a implikuje spojitost v a, důkaz jako cvičení. Tvrzení: má-li zobrazení f v a diferenciál, jsou prvky matice (tzv. Jacobiho matice f v a), jež ho určuje, rovny hodnotám parciálních derivací souřadnicových funkcí v a, důkaz. Věta: má-li funkce f v okolí a všechny parciální derivace a ty jsou spojité v a, pak má f v a diferenciál, důkaz příště. Zápis ze 7. přednášky.

8. přednáška 10. 4. 2015. Důkaz slíbený minule, pouze pro 2 proměnné. Zobecnění Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro více proměnných. Souvislé otevřené množiny. Tvrzení: nulové parc. derivace na souvislé otevřené množině implikují konstantnost. Počítání s parc. derivacemi a diferenciály. Věta o diferenciálu složeného zobrazení, důkaz. Zápis z 8. přednášky.

9. přednáška 17. 4. 2015. Jacobiho matice složeného zobrazení je součin J. matic těchto zobrazení, řetízkové pravidlo pro parciální derivování složené funkce. Tečná rovina.  Parciální derivace vyšších řádů.  Věta o jejich záměnnosti, důkaz. Taylorův polynom funkcí několika proměnných, bez důkazu. Zápis z 9. přednášky.

10. přednáška 24. 4. 2015. Rekapitulace kritéria lokálního extrému pomocí druhé derivace pro funkce jedné proměnné. Věta o nabývání extrému na kompaktu, (zatím?) bez důkazu. Hessova matice. Věta o lokálních extrémech pro funkce několika proměnných, důkaz. Příklad na lokální extrémy, jeho řešení je v zápisu z přednášky. Věta o implicitních funkcích, bez důkazu.  Zápis z 10. přednášky.

přednášky 1. a 8. května odpadly kvůli státním svátkům. Text o vícerozměrném Riemannově integrálu.

11. přednáška 15. 5. 2015. Příklad na implicitní funkce.Vázané extrémy a Lagrangeovy multiplikátory. Dva příklady. Metrické prostory. Definice, příklady, základní pojmy: koule, otevřené množiny atd. Tvrzení: uzavřenost množiny znamená její uzavřenost na limity.  Zápis z 11. přednášky.

12. přednáška 22. 5. 2015. Definice topologického prostoru. Cvičení: topologický prostor nepocházející z metrického prostoru. Spojitá zobrazení mezi MP, ekvivalentní definice pomocí otevřených množin, bez důkazu. Kompaktní množiny, i topologická definice, bez důkazu. Tvrzení: kompaktní množina se spojitým zobrazením posílá na kompaktní množinu, důkaz. Tvrzení: kompaktní množiny jsou omezené a uzavřené, důkaz. Příklad, že naopak to obecně neplatí. Tvrzení: naopak to platí v eukleidovských prostorech, důkaz. Tvrzení: spojité zobrazení nabývá na kompaktní množině mimimum i maximum, důkaz. Poznámka, že tímto lze dokázat základní větu algebry (každý nekonstantní komplexní polynom má kořen), bez důkazu -  důkaz je napsán v následujícím textu:  Zápis z 12. přednášky.


květen  2015