Přednáška se konala v pondělí v 10:40-12:10 v S5.
Informace o zkoušce z Matematické analýzy.  Přehled probrané látky a zkušební otázky ve formátu pdf.  Doplňkový text za přednášku 21.3.2005 (ve formátu pdf).
Výsledky "midterm" testu z 8.4.2005 (pouze výsledky se 4 a více body, bude doplněno): D. Balas 4.5, T. Bartos 5 + 5, Becka 4, D. Bencik  4, Blaha 4, Blazek 5, A. Bosik 4.5+4,  M. Burda 4.5, J. Cerny 4, S. Cudai 4, P. Cvengros 4, M. Dioszegi 4, M. Drbohlav 4, V. Drizhal 5+4.5,  P. Fabian 4.5 + 4,  S. Fajt  4.5, Gal 14, J. Gregor 4, Grof 4, Hanicinec 4, Heinz 5, Hladky 5, J. Chludil 4, P. Jakasz 4, F. Janovsky 4, R. Krizka 5,  O. Melkes 4.5, Mertlik 5, Mikulik 8, Mizera 4, Jan Prochazka 10, C. Strejc 5, A. Ulman 4+4, V. Zak 4+4.5, Zilvar 4.
Výsledky "midterm" testu z 20.5.2005 (pouze výsledky se 4 a více body, bude doplněno): Michal Bartoš 5, V. Bedecs 4, Tomáš Bartoš 9.5, S. Cudai 4.5, Cvengroš 9, Dioszegi 4, Drbohlav 4, V. Drizhal  4.5+4, Fajt 4, Gal 10, J. Gregor 4, Grof 4, Heinz 10, Hladky 4.5, Janovsky 4, Langhammer 8, Mikulík 9, P. Pascenko 4, Pilmann 4, Procházka 10, A. Ulman 5+4, R. Wartiak 5+5, Zábušek 5, Zápotocký 4, Zeleznik 5, Zimmerman 9, V. Žák 4.5.
Viz též výsledky na stránce doc. Picka.

1. přednáška 21.2.2005.  Opakování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednáška). Rozklad racionální funkce na parciální zlomky. Popis hledání primitivní funkce k obecné racionální funkci p(x) / q(x) (s reálnými koeficienty) pomocí rozkladu na součet parciálních zlomků; výsledná primitivní funkce je obecně tvaru r(x) + s1.log(u1(x)) +  ... +  sm.log(um(x)) + a1.arctg(b1(x)) + ... + an.arctg(bn(x)), kde r(x) je racionální funkce, si a ai  jsou konstanty, ui(x)  jsou kvadratické a bi(x)  lineární polynomy.
2. přednáška 28.2.2005. URČITÝ INTEGRÁL. Dělení intervalu D, zjemnění dělení, dolní a horní riemannovská suma s(f, D) aS(f, D), horní a dolní Riemannův integrál funkce f na intervalu [a, b]. Lemma: Zjemněním dělení D suma s(f, D) vzroste (nebo zůstane stejná) a S(f, D) poklesne (nebo zůstane stejná). Lemma: s(f, D) <= S(f, E) pro každá dvě dělení D a E. Důsledek: m(b - a) <= s(f, D) <= d. int. f na [a, b] <= h. int. f na [a, b] <= S(f, E) <= M(b - a), kde D a E jsou dělení [a, b] a m (M)  je inf (sup) funkce f na [a, b]. Riemannův integrál funkce na intervalu, riemannovsky integrovatelné funkce. Věta 1 (aproximace d. a h. integrálu riemannovskými sumami): Je-li f omezená reálná funkce na [a, b] a D1, D2, ... je posloupnost dělení intervalu [a, b] taková, že max. délka intervalu v Dn pro n --> oo  jde k nule, potom d. int. f na [a, b] = sup {s(f, Dn): n= 1, 2, ...} = limn s(f, Dn)  a podobně pro horní integrál.
3. přednáška 7.3.2005. Příklad výpočtu R.-ova integrálu z definice: int. x2 na [0, 1] = 1/3. Věta 2 (kritérium existence R.-ova integrálu): Omezená funkce f má na [a, b] R.-ův integrál, právě když pro každé eps > 0 existuje dělení D tohoto intervalu takové, že S(f, D) - s(f, D) < eps. Stejnoměrně spojité funkce. Příklad funkce, jež je na intervalu spojitá, ale ne stejnoměrně. Věta 3 (spojitost na kompaktním intervalu implikuje stejnoměrnou spojitost): Je-li  f na [a, b] spojitá, je na tomto (uzavřeném a omezeném) intervalu stejnoměrně spojitá. Věta 4 (spojitá funkce má R.-ův integrál): Je-lif na [a, b] spojitá, má na [a, b] R.-ův integrál. Věta 5 (monotonie --> R.-ův integrál): Je-li  f na [a, b] monotonní, má na [a, b] R.-ův integrál. Věta 6 (vlastnosti R.-ova integrálu): a) (linearita) Jsou-li f, g na [a, b] r.-ovsky integrovatelné, platí to i pro jejich součet a int. f + g na [a, b] je součet integrálů obou funkcí, podobně pro násobek funkce; b) (monotonie) je-li f(x) <= g(x) pro každé x z [a, b], stejná nerovnost platí pro r.-ovy integrály obou funkcí (existují-li); c) (aditivita vzhledem k intervalu integrace) f je r.-ovsky integrovatelná na [a, c], právě když je r.-ovsky integrovatelná na [a, b] i na [b, c] (kde a < b < c) a pak int. f na [a, c] = int. f na [a, b] + int. f na [b, c]; dokončení důkazu příště. 
4. přednáška 14.3.2005. Dokončení důkazu. Důsledky (V6.c): Je-li  f  r.-ovsky integrovatelná na [a, b], je r.-ovsky integrovatelná na každém podintervalu; int. f na [a, b] + int. f na [b, c] + int. f na [c, a] = 0, jsou-li alespoň dva integrály definované (užíváme konvenci int. f na [a, b] = -int. f na [b, a]). Věta  7 (vlastnosti integrálu jako funkce integrační meze): Má-li  f R.-ův integrál  na každém podintervalu [a, b] intervalu J,  je funkce F(x) = int. f(t) na [c, x] (c je libovolný pevný bod z J) na intervalu J spojitá a  F' (y) = f(y) pro každý bod spojitosti y funkce f. Důsledek: Funkce spojitá na otevřeném intervalu na něm má primitivní funkci. Věta 7.5 (Riemannův integrál = Newtonův integrál pro spojité funkce):  Je-li f spojitá na [a, b], potom každá její primitivní funkce na (a, b) má vlastní jednostranné limity A, B v krajních bodech a, b a platí B - A = int. f(t) na [a, b]. Newtonův integrál funkce na intervalu (a, b) a newtonovsky integrovatelne funkce. Vztah tříd R(a, b) a N(a, b) riemannovsky a newtonovsky integrovatelných funkcí.  Věta  (charakterizace riemannovsky integrovatelných funkcí): Omezená funkce na intervalu [a, b] na něm má R.-ův integrál, právě když lze množinu jejích bodů nespojitosti pokrýt spočetně mnoha intervaly s libovolně malou celkovou délkou; bez důkazu.
Přednášky 21.3.2005 a 28.3.2005 odpadly pro zahraniční služební cestu přednášejícího a velikonoční pondělí. První z nich je nahrazena doplňkovým textem, viz výše.
5. přednáška 4.4.2005. Věta 8 (per partes pro urč. integrály): Jsou-li funkce f, g, f' , g'  spojité na [a, b], potom int. f'g na [a, b]  = (f(b)g(b) - f(a)g(a)) - int. fg' na [a, b]. Věta 9 (substituce pro urč. integrály): Je-li f spojitá na [a, b] a g: [alfa, beta] --> [a, b] má na [alfa, beta] spojitou derivaci, máme int. f(g).g' na [alfa, beta] = int. f na [g(alfa), g(beta)]; je-li navíc g na a ryze monotoní, máme (totéž v jiném zápisu) int. f na [a, b] = int. f(g).g' na [g-1(alfa), g-1(beta)]. Věta 10 (integrální kritérium konvergence řad): Je-li f na [a-1, oo) spojitá, nezáporná a nerostoucí (a je přir. číslo), potom řada f(a) + f(a+1) + f(a+2) + ... konverguje , právě když je (Newtonův) int. f na [a, oo) konečný. Plyne to z odhadu int. f na [a, b+1] <= f(a) + f(a+1) + ... + f(b) <= int. f na [a-1, b] (za předpokladů V10 o f). Čtyři příklady na počítání součtů a sum pomocí integrálů. 1. 1/1s + 1/2s + ... konverguje, právě když s > 1. 2. 1/ (2(log 2)s) + 1/(3(log 3)s) + ... konverguje, právě když s > 1. 3. 1/1 + 1/2 + ... + 1/n = log n + gamma + O(1/n). 4. n! = c.n1/2.(n/e)n.(1 + O(1/n)) (kde konstanta c je (2pi)1/2, ale to nedokážeme). Definice délky křivky zadané jako úsek grafu funkce. Věta 11 (délka křivky): Má-li f na [a, b] spojitou derivaci, je délka grafu funkce f(x) na intervalu [a, b] rovna int. (1 + (df/dx)2)1/2 na [a, b]; bez důkazu.
6. přednáška 11.4.2005. Věta 12 (rotační těleso): Je-li f na [a, b] spojitá a nezáporná, je objem rotačního tělesa vzniklého rotací útvaru pod grafem f  kolem osy x (v třírozměrném prostoru) rovný pi.int. f(x)2 na [a, b]; má-li f na [a, b] spojitou derivaci, má toto rotační těleso povrch pláště (bez obou bočních stěn) rovný 2pi.int. f.(1 + (f ')2)1/2 na [a, b]; bez důkazu. POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ. Definice bodové, stejnoměrné a lokálně stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí fn k funkci f na množině M. Příklady na tyto typy konvergence. Věta 1 (ekvivalentní formulace stejnoměrné konvergence): Funkce fn stejnoměrně konvergují k funkci f na M, právě když sn --> 0, kde sn je supremum hodnot |fn(x) - f(x)| na M. Věta 2 (Moore-Osgoodova, záměna pořadí funkční a diskrétní limity): Nechť M obsahuje prstencové okolí bodu z, pro každé n existuje vlastní limita  an := lim fn(x) pro x --> z a posloupnost funkcí fn konverguje na M stejnoměrně k f, potom existují vlastní limity lim an a lim f(x) pro x --> z a rovnají se. Důsledek: Stejnoměrná limita spojitých funkcí (na intervalu) je opět spojitá funkce. Lemma (Bolzano-Cauchyova podmínka pro posloupnosti funkcí): Posloupnost funkcí konverguje na M stejnoměrně, právě když je na M stejnoměrně cauchyovská; důkaz je v doplňkovém textu. Věta 3 (záměna pořadí diskrétní limity a derivování): Mají-li funkce fn na intervalu (a, b) vlastní derivace, které na něm konvergují lokálně stejnoměrně k funkci g a posloupnost funkčních hodnot fn(x) konverguje pro alespoň jedno x z (a, b), potom funkce fn konvergují na (a, b) lokálně stejnoměrně k funkci f , jejíž derivace se na (a, b) rovná g. Poznámka: Je-li konvergence derivací stejnoměrná, potom i fn konvergují k f stejnoměrně.
7. přednáška 18.4.2005. Věta 4 (záměna pořadí diskrétní limity a integrování): Má-li každá funkce fn na intervalu (a, b) Newtonův integrál a konverguje-li (fn) na (a, b) stejnoměrně k f, má také f na (a, b) Newtonův integrál a ten je limitou  int. fn na (a, b); důkaz je v doplňkovém textu. Věta 5 (Diniho): Konverguje-li na [a, b] posloupnost (fn) monotóně k f, přičemž fn i f  jsou spojité, je tato konvergence stejnoměrná; bez důkazu. Věta 6 (Weierstrassova): Každá funkce spojitá na [a, b] tam je stejnoměrnou limitou posloupnosti polynomů; bez důkazu. Poznámka: Je-li f spojitá na [0, 1] a Bn(f, x) = součet pro k=0..n f(k/n).B(k, n).xk(1 - x)n-k (B(k, n) je binomický koeficient) jsou tzv. Bernsteinovy polynomy, potom Bn(f, x) konvergují na [0, 1] stejnoměrně k f. Bodová, lokálně stejnoměrná a stejnoměrná konvergence řad funkcí. Věta 7 (Weierstrassovo kritérium): Pokud číselná řada s1 + s2 + s3 + ... konverguje, přičemž sn = supM |fn|, potom řada funkcí f1 + f2 + f3 + konverguje na M stejnoměrně. Věta 8 (záměna pořadí sumace a derivace): Mají-li funkce fn na intervalu (a, b) vlastní derivace, jejichž součet (tj. řada) na něm konverguje lokálně stejnoměrně k funkci g a číselná řada f1(x) + f2(x) +... konverguje pro alespoň jedno x z (a, b), potom řada f1 + f2 + konverguje na (a, b) lokálně stejnoměrně k funkci f, jejíž derivace se na (a, b) rovná g. Poznámka: Je-li konvergence řady derivací stejnoměrná, potom i řada f1 + f2 + konverguje k f stejnoměrně. Příklad: Sečtení řady x - x3/3 + x5/5 - ... (M = (-1, 1)). Věta 9 (záměna pořadí sumace a integrování): Analogie V4 pro řady funkcí. Věta 10 (Abelovo kritérium): Konverguje-li řada f1 + f2 + f3 +... na M stejnoměrně, posloupnost funkcí (gn) je na M stejně omezená a pro každé x z M je posloupnost (gn(x)) monotónní, potom řada f1 g1 + f2 g2+ f3 g3+... na M konverguje stejnoměrně.  Věta 11 (Dirichletovo kritérium): Má-li řada f1 + f2 + f3 +... na M stejně omezené částečné součty, posloupnost funkcí (gn)  naM stejnoměrně konverguje k nulové funkci a pro každé x z M je posloupnost (gn(x)) monotónní, potom řada f1 g1 + f2 g2+ f3 g3+... na M konverguje stejnoměrně.  Důkazy V10 a V11 jsou v doplňkovém textu. MOCNINNÉ ŘADY. Vše v reálném oboru. Mocninná řada s koeficienty an a se středem v a: a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + ... (vše je reálné). Věta 1 (poloměr konvergence mocninné řady): Pro každou m. řadu (se středem v a) existuje právě jedno reálné číslo R z [0, oo], že pro x splňující |x - a| < R  řada absolutně konverguje a pro x splňující |x - a| > R  řada diverguje, o dvou krajních bodech x = a +- R se nic netvrdí. Věta 2 (výpočet poloměru konvergence m. řady): R = 1 / limsup |an|1/n. Důkazy V1 a V2 budou příště.
8. přednáška 25.4.2005. Důkazy Vět 1 a 2. Příklady m. řad, jejich středů a poloměrů konvergence. Věta 3 (lokálně stejnoměrná konvergence m. řady): Má-li m. řada střed a a poloměr konvergence R > 0, konverguje lokálně stejnoměrně na (a - R, a+ R). Věta 4 (derivace m. řady): Má-li m. řada M = a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + ... poloměr konvergence R>0, má i N = a1 + 2a2(x - a) + 3a3(x - a)2 ... poloměr konveregence R a N na intervalu (a - R, a + R) určuje funkci, jež je derivací funkce určené M. Věta 5 (primitivní funkce k m. řadě): Má-li m. řada M = a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + ... poloměr konvergence R>0, má i m. řada N = c + a0(x - a)+ a1(x - a)2/2 + a2(x - a)3 /3+ ...  poloměr konveregence R a N na intervalu (a - R, a + R) určuje funkci primitivní k funkci určené M. Věta 6 (Abelova): Má-li m. řada M = a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + ... poloměr konvergence 0 < R < oo a konverguje-li v x = a + R k číslu s, potom se s rovná limitě funkce určené M  v bodě a + R zleva. Příklad: sečtení číselné řady 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... pomocí Abelovy věty. Něco k motivaci mocninných řad. Jacobiho identita pro počet vyjádření čísla n jako součtu čtyř čtverců. Více příště.
9. přednáška 2.5.2005. Mocninné řady jsou hlavním nástrojem kombinatorické enumerace.  Příklad: 1 + p(1)x + p(2)x2 + ... = 1/((1 - x)(1 - x2)(1 - x3)...), kde p(n) je počet rozkladů čísla n. Důkaz pomocí m. řad toho, že počet rozkladů přirozeného čísla n na různé části je stejný jako počet rozkladů n  na liché části. FOURIEROVY ŘADY. Fourierova řada funkce f(x), která je 2pi-periodická a na [-pi, pi] má Riemannův integrál, je řada a0 / 2 + a1 cos(x) + b1 sin(x) + a2 cos(2x) + b2 sin(2x) + ..., kde an = (1/pi).int. f(x)cos(nx) na [-pi, pi] a pro bn máme stejnou formuli se sin(nx). Tvrzení (ortogonalita sinů a cosinů, základ všeho): Označme jako <f, g> integrál int. f(x)g(x) na [-pi, pi], potom (m, n jsou nezáporná celá čísla) <sin(mx), cos(nx)> je vždy 0  a  <sin(mx), sin(nx)> = <cos(mx), cos(nx)> = 0 pro m různé od n a = pi pro m=n > 0.
10. přednáška 9.5.2005. Vlastnosti skalárního součinu <. , .>: symetrie, bilinearita a <f, f > >= 0. Věta 1 (Besselova nerovnost):  Má-li f na [-pi, pi] Riemannův integrál, potom je součet čtverců jejích Fourierových koeficientů (a0 / 2 přejde na (a0)2/2) nanejvýš int. f(x)2 na [-pi, pi].  Věta 2 (Riemannnovo-Lebesgueovo lemma): Má-li f na [-pi, pi] Riemannův integrál, potom, pro n --> oo,  int f(x).sin(nx) na [-pi, pi] --> 0  a totéž pro cos(nx). Po částech spojité a po částech hladké funkce. Lemma: (1/2) + cos x + cos(2x) + ... + cos(nx) = (sin(n+1/2)x) / (2sin(x/2)). Důsledek: Předchozí funkce má přes interval [0, pi] integrál  pi a totéž přes interval [-pi, 0]. Věta 3 (O konvergenci Fourierovy řady): Nechť f je 2pi-periodická a na [-pi, pi] po částech hladká, potom její Fourierova řada na R bodově konverguje k funkci (f(x+0) + f(x-0)) / 2.
11. přednáška 16.5.2005. Věta 4 (O stejnoměrné konvergenci Fourierovy řady):  Je-li f 2pi-periodická, po částech hladká a spojitá na R, potom její Fourierova řada na R konverguje stejnoměrně k f. Věta 5:  Je-li f 2pi-periodická a  po částech hladká, pak její Fourierova řada k ní stejnoměrně konverguje na každém kompaktním intervalu spojitosti; bez důkazu. Dva příklady na Fourierovy řady: 1) f(x) = x2 na intervalu [0, pi), rozvoj do cosinové řady a 2) f(x) = pi - x  na intervalu (-pi, pi), rozvoj do Fourierovy řady; důsledky: číselné identity 1 + 1/4 +1/9 + ... = pi2/6 a 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... =pi/4. METRICKÉ PROSTORY. Definice, příklady metrických prostorů: l1-, l2-, loo- metriky na Rn, supremová metrika na množině funkcí.
12. přednáška 23.5.2005. Další příklady metr. prostorů (integrální metrika, diskrétní metrika), otevřená a uzavřená koule, otevřená a uzavřená množina.  Věta 1 (vlastnosti otevřených množin):  Prázdná množina a celý metr. prostor jsou otevřené  množiny, otevřené množiny  se zachovávají konečnými průniky a libovolnými sjednoceními. Věta 2 (vlastnosti uzavřených množin): Prázdná množina a celý metr. prostor jsou uzavřené  množiny, uzavřené množiny  se zachovávají konečnými sjednoceními a libovolnými průniky. Uzávěr a vnitřek množiny. Věta 3 (vlastnosti uzávěru množiny): (i) uzávěr  prázdné množiny a všeho je zase totéž, (ii) uzávěr  uzávěru je uzávěr, (iii) uzávěr  a sjednocení (dvou) množin jsou záměnné operace, (iv) uzávěr  množiny jsou presně ty prvky metr. prostoru, které od ní mají nulovou vzdálenost a (v) je-li A podmnožinou  B, totéž platí i pro uzávěry obou množin. 

květen 2005