Termíny zkoušek: Písemky 1.6.05, 8.6.05, 14.6.05, 22.6.05, 29.6.05 a 21.9.05 v K1 a dalších posluchárnách v Karlíně. Další informace (ústní část) viz SIS; zapisujte se prosím do SISu.

Písemná část zkoušky (prověření početní dovednosti):  trvá 2 hodiny a sestává ze 4 příkladů: primitivní funkce a Newtonův integrál (15 bodů), bodová a stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí (15 bodů), mocninná řada (10 bodů) a Fourierova řada (10 bodů); celkem maximálně 50 bodů. Pro složení písemné části zkoušky a pro postup k ústní části zkoušky je třeba získat alespoň 25 bodů (výsledek z jedné písemky se započítává do všech zkoušek, po úspěšném složení ji nemusíte opakovat).  Započítávají se vám bodové zisky z testu 8.4.2005 a bodové zisky z testu 20.5.2005, jsou-li alespoň 4 body z příkladu. Jsou povoleny běžné psací potřeby a písemné materiály (tj. poznámky z přednášek). Technické pomůcky (mobilní telefony, kalkulačky, notebooky, atd.) nejsou povoleny. Příklad zkouškové písemky je na www straně doc. L. Picka .

Ústní část zkoušky (prověření teoretických znalostí) obsahuje 2 otázky: (1) tematický okruh (několik k sobě tematicky patřících výsledků a vět, popř. příkladů, vyžadovaných bez důkazu)  a (2) věta (věty) s důkazem (důkazy). Otázky si budete losovat z níže uvedených seznamů. Rozumí se, že v ústní části nejsou povoleny ani technické pomůcky ani písemné materiály (poznámky z přednášek, učebnice atd.).

V celkovém hodnocení zkoušky mají písemná i ústní část stejnou váhu, např. 3 z písemky + 1 z ústní části = celková 2. Orientační bodové hodnocení písemné části: 25 - 33  bodů je za 3, 33  - 41 bodů je za 2 a 41 - 50 bodů je za 1. Pro hodnocení ústní části  nestanovuju žádné přesné bodové schéma.

Otázky pro ústní část

1. Tematické okruhy (věty a výsledky bez důkazů). 1. Popište postup integrace obecné racionální funkce. 2. Definujte Riemannův integrál funkce. 3. Uveďte základní výsledky o Riemannově integrálu a třídách riemannovsky integrovatelných funkcí (V1 až V6). 4.  Uveďte další výsledky o Riemannově integrálu a jeho aplikacích a souvislost s Newtonovým integrálem (V7 až V12). 5. Definujte jednotlivé typy konvergence posloupností funkcí a uveďte Bolzano-Cauchyovu podmínku stejnoměrné konvergence a souvislost mezi lokálně stejnoměrnou a stejnoměrnou konvergencí. 6. Uveďte věty o záměně pořadí limity a další operace, umožněné stejnoměrnou konvergencí, a to i pro řady funkcí (V2, V3 a V4 pro posloupnosti, V8 a V9 pro řady). 7. Uveďte kritéria stejnoměrné konvergence řad funkcí (V7, V10 a V11). 8. Definujte obecnou mocninnou řadu a uveďte výsledky o jejím poloměru konvergence (V1 a V2). 9. Uveďte výsledky o konvergenci mocninných řad a operacích s nimi (V3 až V6). 10. Definujte Fourierovu řadu funkce a uveďte výsledky o ortogonalitě funkcí sin(nx) a cos(nx). 11. Uveďte základní výsledky o Fourierových řadách (V1 až V5). 12. Uveďte základní definice a pojmy z teorie metrických prostorů (definice m. prostoru, koule, otevřené a uzavřené množiny, uzávěr a vnitřek množiny).

2. Věta(y) s důkazem(y). 1. Dokažte větu o aproximaci dolního a horního Riemannova integrálu riemannovskými sumami a kritérium existence Riemannova integrálu (V1 a V2). 2. Dokažte, že spojitá funkce má na kompaktním intervalu Riemannův integrál (V3 a V4). 3. Dokažte vlastnosti aditivity a monotonie Riemannova integrálu (V6). 4. Dokažte, že funkce spojitá na (a, b) má na (a, b) primitivní funkci (tj. V7). 5. Dokažte souvislost mezi Riemannovým a Newtonovým integrálem (V7.5). 6. Dokažte integrální kritérium konvergence řad (V10) a uveďte příklady na jeho použití. 7. Dokažte Mooreovu-Osgoodovu větu (V2) a větu o záměně limity a derivování (V3). 8. Dokažte větu o záměně limity a integrování (V4) a  Weierstrassovo kritérium  stejnoměrné konvergence řady funkcí  (V7). 9. Dokažte Abelovo nebo Dirichletovo kritérium  stejnoměrné konvergence řady funkcí (V10 nebo V11). 10. Dokažte vzorec pro poloměr konvergence mocninné řady (V2).  11. Dokažte vzorce pro derivování a integrování mocninné řady člen po členu (V4 a V5). 12. Dokažte Abelovu větu o mocninných řadách. 13. Dokažte Besselovu nerovnost a Riemannovo-Lebesgueovo lemma (V1 a V2). 14.Dokažte větu o bodové konvergenci Fourierovy řady po částech hladké funkce (V3). 15. Dokažte větu o stejnoměrné konvergenci Fourierovy řady spojité a po částech hladké funkce (V4). 16. Dokažte, že 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... =pi2/6   a  1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...= pi/4.      

květen 2005