Analytická a kombinatorická teorie čísel NDMI045
Místo a čas přednášky: přednáška se konala v pondělí v S7 ve 14-15:30.
Plán přednášky pro LS 2013. Chci probrat, podle časových možností, následující
významné a pěkné výsledky z teorie čísel. 1. Dirichletova
věta o prvočíslech v aritmetické posloupnosti (jsou-li a a m nesoudělná
přirozená čísla, pak a + mn je prvočíslo pro nekonečně mnoho n = 1, 2,
...). 2. van
der Waerdenova věta (každé konečné obarvení čísel 1, 2, ... obsahuje
libovolně dlouhou jednobarevnou aritmetickou posloupnost). 3. Rothova
věta (každá podmnožina čísel 1, 2, ... s kladnou horní hustotou
obsahuje aritmetickou posloupnost délky 3). 4. Hilbertova
věta (řešení Waringova problému - každé přirozené číslo je součtem
omezeně mnoha k-tých mocnin 1=1^k, 2^k, 3^k, ..., pro každé pevné k=1,
2, 3, ...). Dále uvidíme.
Otázky ke zkoušce. 1. Dirichletova věta. 2. Rothova věta. 3. Hilbertova věta.
Literatura. Bude uvedena na přednášce.
1. přednáška 4. 3. 2013. Dirichletovu větu dokážeme ve tvaru: sum_{p=a+mn<x}(log p) / p = (log x) / fi(m) + O(1), pro x > 1. Tvrzení 1: pro každé m>1 existuje takových fi(m) funkcí chi ze Z do C, že (i) je mezi nimi chi_0 (char. funkce čísel nesoudělných s m) a jejich množina je uzavřená na komplexní konjugaci, (ii)
pro každé a, (a,m) = 1, lze char. funkci zbytkové třídy a + mn lineárně
nakombinovat z funkcí chi (plus jisté požadavky na koeficienty této
lin. kombinace) a konečně (iii)
každá chi je úplně multiplikativní a každá chi komě chi_0 je silně
omezená (což znamená, že množina součtů typu sum_{n in I} chi(n), kde I
je konečný interval celých čísel, je omezená). Důkaz později. Z T1 lze
odvodit Tvrzení 2: pro každou
z těchto funkcí chi kromě chi_0 platí, že L(1, chi) = chi(1) / 1 +
chi(2) / 2 + ... není 0. Důkaz později. Z T1 a T2 jsme na přednášce
odvodili Dirichletovu větu, příště budeme dokazovat T2 a pak T1.
2. přednáška 11. 3. 2013. Dokázali jsme skoro celé T2, ale ne úplně. Jestě zbývá vše sečíst a odvodit spor. Pak dokážeme T1.
3. přednáška 18. 3. 2013. Dokončili jsme důkaz T2. Dokázali jsme také T1, konstrukcí charakterů konečných Abelových grup G.
Tvrzení 3: Pro každou G má grupa jejích charakterů G^* stejný řád a charaktery splňují ortogonální relace. Odvození T1 z T3.
4. přednáška 25. 3. 2013. van der Waerdenova věta a Rothova věta. v.
d. W. věta: pro každá dvě celá čísla k, r > 0 existuje celé číslo n
= n(k,r) tak, že v každém obarvení {1, 2, ..., n} r barvami je
monochromatická aritmetická posloupnost délky k. Důkaz v. d. W. věty
pomocí (i, k)-konfigurací ((i, k)-konfigurace je sjednocení i aritm.
posloupností délky k a čísla f, které je všechny prodlužuje na aritm.
posloupnosti délky k + 1). Rothova věta: r_3(n) = o(n), kde
r_3(n) je maximální velikost podmnožiny X množiny {1, 2, ..., n}, kde X
neobsahuje aritm. posloupnost délky 3. Přeformulování pomocí
delta-posloupností. l-krychle. Lemma 1: každá delta-posloupnost
obsahuje
l-krychli pro každé l, důkaz příště.
5. přednáška 8. 4. 2013. Důkaz
Lemmatu 1. Nasycené delta-posloupnosti. Lemma 2: z každé
delta-posloupnosti lze vybrat nasycenou delta'-''podposloupnost'' s
delta' >= delta, důkaz. Definice d-rozkladu konečné množiny celých
čísel. Lemma 3: dvě vlastnosti d-rozkladů, důkaz. Začátek vlastního
důkazu Rothovy věty. Dokončíme příště.
6. přednáška 15. 4. 2013. Důkaz Rothovy věty. Celý je sepsaný
zde.
Hilbertova(-Waringova)
věta.
šnirelmanova hustota, její vlastnosti. šnirelmanovo lemma: má-li A
(podmnožina množiny {1, 2, ...}) kladnou š. hustotu, existuje konstanta
c, že každé přirozené číslo je součtem nejvýše c sčítanců z A. Začátek
důkazu, dokončení příště.
7. přednáška 22. 4. 2013. Dokazování Hilbertovy věty.
8. přednáška 29. 4. 2013. Dokazování Hilbertovy věty.
9. přednáška 6. 5. 2013. Přednáška odpadla (kvůli Jarní škole z kombinatoriky).
10. přednáška 13. 5. 2013. Znovu od začátku dokazujeme elementárně Hilbertovu větu, podle Něstěrenkova článku. Sepsal jsem to zde . Dokončení příště.
11. přednáška 20. 5. 2013.
květen 2013.