Příklad 1. (částečně hvězdičkový) Na množině $\mathbb N$ najděte co nejvíce vzájemně neizomorfních lineárních uspořádání.
(1 bod za 2, 2 body za 3, 3 body za nekonečně mnoho, 4 body za nespočetně mnoho (tj. například jedno uspořádání za každé reálné číslo). Do maxima se tato úloha počítá za 2 body)
Příklad 2. Pro každou funkci $f:X\rightarrow Y$, kde $X$ a $Y$ jsou neprázdné množiny, ukažte, že relace $R$ na množině $X$ definovaná jako $xRy \Leftrightarrow f(x)=f(y)$ je ekvivalence.
(1 bod)
Příklad 3. Vyvraťte následující tvrzení: Mějme částečné uspořádání $\preceq$ a lineární uspořádání $\leq$. Pak relace $\preccurlyeq: a\preccurlyeq b \Leftrightarrow a\preceq b \vee (\text {($a$ a $b$ jsou neporovnatelné pomocí $\preceq$})\; \wedge a \leq b)$ je nutně také lineární uspořádání.
(2 body)
Příklad 4. Mějme množinu $\{1,2,\dots,100\}^2$ uspořádanou tak, že $(a,b)\preceq (c,d) \Leftrightarrow a\leq c \wedge b\leq d$. Najděte v tomto uspořádání nějaký z nejdelších řetězců a nějaký nejdelší antiřetězec. Zdůvodněte, proč v této množině žádné delší řetězce či antiřetězce nejsou.
(3 body)
Vhodný způsob, jak dokazovat maximalitu řetězce $R$, je třeba rozdělit množinu na $|R|$ (ne nutně nejdelších) antiřetězců. Protože žádný řetězec nemůže obsahovat více než jeden prvek žádného antiřetězce, je tím maximalita $R$ dokázána. Naopak maximalitu antiřetězce $A$ podobně dokážeme rozdělením množiny na $|A|$ řetězců.