Zpět na stránku cvika

12. cvičení

Definice. Pravděpodobnostní prostor je:

1. Množina $\Omega$ elementárních jevů,
2. Množina $\mathcal F\subseteq 2^\Omega$ jevů,
3. Pravděpodobnost $P:\mathcal F \rightarrow [0,1]$ splňující:
1. $P(\{\}) = 0$,
2. $P(\Omega) = 1$,
3. Pro $A, B\in \mathcal F$ disjunktní: $P(A)+P(B) = P(A\cup B)$

Definice. Podmíněná pravděpodobnost $A$ za podmínky $B$, kde $A, B \in \mathcal F$ je $P(A\mid B) = P(A\cap B)/P(B)$.

Definice. Jevy $A$ a $B$ jsou nezávislé, pokud $P(A\mid B) = P(A)$. Alternativně také platí, že $A$, $B$ jsou nezávislé, právě když $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$.

Definice. Jevy $\{A_1, A_2,\dots,A_n\}$ jsou nezávislé, pokud pro každé $N \subseteq [n]$ a $i\notin N$ platí $$P(A_i) = P\left(A_i \mid \bigcap _{j \in N} A_j\right).$$

Příklad 1. Hážeme $n$ šestistěnnými kostkami:

1. Kolik je v našem pravděpodobnostním prostoru elementárních jevů? Uveďte jeden příklad elementárního jevu.
2. Jaká je pravděpodobnost, že nám padl součet 16, pokud $n=3$?
3. Jaká je pravděpodobnost, že na kostkách máme:
1. Alespoň jedna šestka?
2. Právě dvě šestky?
3. Na všech to samé číslo?
4. Na každých dvou různá čísla?
4. Jsou jevy "Na první kostce padlo alespoň $j$" a "Na první kostce padlo sudé číslo" nezávislé pro $j$ rovno:
1. 4?
2. 5?
5. Jaká je podmíněná pravděpodobnost, že nám padla alespoň jedna šestka, když $n=3$ za podmínky, že součet hozených čísel je 8?
6. Jaká musí být hodnota parametru $n$, aby měl jev "Alespoň na 3 kostkách padne alespoň 4" pravděpodobnost přesně $1/2$?

Příklad 2. Vzácnou nemocí trpí tisícina populace. Existuje test. který nemocnému s $99\%$ pravděpodobností potvrdí, že je nemocný, zdravému člověku s $95\%$ pravděpodobností potvrdí, že je zdravý. Náhodně vybraný člověk podstoupí tento test. Jaká je pravděpodobnost, že je skutečně nemocný, pokud mu test vyšel pozitivní?

Příklad 3. Mějme tři krabice s žárovkami. V první je 10 žárovek, 4 z nich špatné. Ve druhé je 6 žárovek, jedna špatná. Ve třetí je 8 žárovek, 3 z nich špatné. Z náhodně zvolené krabice náhodně vytáhneme žárovku. Jaká je pravděpodobnost, že bude funkční?

Příklad 4. Mějme skupinu $n$ lidí. Jaká je pravděpodobnost, že dva z nich maí narozeniny ve stejný den? Předpokládejte, že se každý den v roce rodí stejně lidí, přestupné dny můžete zanedbat.

Příklad 5. Ve vhodném pravděpodobnostním prostoru najděte jevy $A$, $B$ a $C$ takové, že libovolná dvojice z nich je nezávislá, ale všechny tři dohromady nikoliv.

Příklad 6. Mějme klasický pravděpodobnostní prostor a dva nezávislé jevy v něm $A$, $B$. Dokažte, že z následujících výroků je nutně pravdivý alespoň jeden. Také dokažte, že může být pravdivý právě jeden libovolný z nich:

1. $A$ je triviální (tj. $A=\{\}$ nebo $A=\Omega$),
2. $B$ je triviální,
3. $|\Omega|$ je složené číslo (tj. není to prvočíslo ani jednička).

Příklad 7. Opilý člověk se snaží dostat z hospody domů. Hospoda je u dlouhé rovné cesty. Na jednu stranu je 2 kilometry od hospody opilcův domov, na druhou stranu je 3 kilometry od opilce les. Opilcův algoritmus vypadá následovně:

1. Pokud vidí domov, vejde dovnitř a vyspí se (ukončí algoritmus),
2. Pokud je v lese, rozhodne se přenocovat v něm (také ukončí algoritmus),
3. Jinak si vybere náhodný směr (oba možné směry se stejnou pravděpodobností) a v tomto směru ujde jeden kilometr, pak se vrátí zpátky na první bod algoritmu.

Příklad 8. Dva vězně čeká náhodně vybraný trest. Král před ně postaví dvě neprůhledné nádoby. V jedné z nich se nachází dva černé a jedne bílý míček, v druhé dva bílé a jeden černý. Vězni pak popořadě přistoupí k nádobám, jednu si vyberou a z ní si vytáhnou náhodný míček (který již do nádoby nevrátí). Bílý míček znamená svobodu, černý popravu. Prvnímu vězni nezbývá nic jiného, než vybrat si náhodnou nádobu. Druhý vězeň však vidí, co si první vězeň vytáhl, a může si vybrat buď tu samou nádobu, nebo druhou nádobu. Jak by se měl (v závislosti na tom, co uvidí) rozhodnout?

Příklad 9. Pan Černý, pan Šedý a pan Bílý se pohádali a rozhodli se, že svou rozepři vyřeší duelem. Duel ve třech lidech se provádí tak, že se účastníci v pevném pořadí střídají ve střelbě, dokud nestojí na nohou pouze jeden z nich. Pan Černý, Šedý a Bílý se rozhodli, že budou střílet v tomto pořadí. Pan Černý je nejhorší střelec, cíl, který si vybral, trefí pouze v $1/3$ případů. Pan Šedý se trefí v $2/3$ případů a pan Bílý se trefí vždy. Pravděpodobnost, že libovolný střelec trefí jiného protivníka, než na kterého mířil, je nula. Jak se má pan Černý při své první střelbě zachovat, aby maximalizoval svou šanci na výhru?