%%% HLAVIČKA 1. část -- nesahat!
%%% Upravená templata PraSete
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage[czech]{babel}
	\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb}
	\usepackage{graphicx, tabularx}
	\usepackage{lastpage}
	\setlength{\hoffset}{-10pt}
	\setlength{\voffset}{-20pt}
	\setlength{\marginparwidth }{0pt}
	\setlength{\marginparsep}{0pt}
	\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
	\setlength{\topmargin}{0pt}
	\setlength{\headheight}{50pt}
	\setlength{\headsep}{25pt}
	\setlength{\footskip}{0pt}
	\setlength{\textwidth}{473pt}
	\setlength{\textheight}{660pt}
	\setlength{\tabcolsep}{0pt}
	\usepackage{fancyhdr}
	\pagestyle{fancy}
	\fancyhf{}

%%% ====================================================================
%%% ZDE VYPLŇ / NAHRAĎ ÚDAJE:
%%% ====================================================================

\newcommand{\jmeno}{Pál Erdös}
\newcommand{\uloha}{1.1}   % POUZE číslo úlohy

%%% ====================================================================
%%% ====================================================================

%%% HLAVIČKA 2.část -- nesahat!
	\fancyhead[C]{
		{\small
		\begin{tabularx}{\textwidth}{X r}
			{\bf \jmeno}\\[1pt]
			Úloha: {\bf \uloha} & Stránka: \thepage/\pageref{LastPage}\\[-12pt]
		\end{tabularx}
		}
	}
%%% KONEC HLAVIČKY

%%% PÁR UŽITEČNÝCH ZKRATEK:
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}   % množina reálnách čísel
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}   % množina celých čísel
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}   % množina přirozených čísel
\newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P} ( #1 )}   % potenční množina -- množina všech podmnožin


\newtheorem{theorem}{Věta}[]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[]
\newtheorem{dus}{Důsledek}[]

\newcommand{\bigO}{\mathcal{O}}

%%% ====================================================================
%%% ZAČÁTEK DOKUMENTU
%%% ====================================================================

\begin{document}
	
Čau, jsem Pál Erdös a posílám řešení první série. Jako mojí přezdívku používej Pál Erdös a výsledky na webu klidně zveřejni.

Jako bonus posílám následující větu.

\begin{theorem}
Pro každý graf $G=(V,E)$ platí
$$\sum_{v\in V} \deg_G(v) = 2|E|.$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Dvěma způsoby spočítáme velikost množiny $A = \{(e, v) : v\in V, e\in E, (\exists u\in V)(e = \{u,v\})\}$. Na jednu stranu to můžeme spočítat přes vrcholy, každý vrchol $v\in V$ přispěje do $A$ přesně $\deg_G(v)$ prvky, tedy
$$|A| = \sum_{v\in V}\deg_G(v).$$
Na druhou stranu můžeme spočítat $|A|$ přes hrany. Každé hraně v $A$ odpovídají dvě dvojice (protože hrana má dva konce), takže $|A| = 2|E|$.

Když dáme tyhle nerovnosti dohromady, dostaneme kýžený výsledek.
\end{proof}

Zdar!

\end{document}
