1) Dokažte, že R_k(3) <= [e.k!]+1 ([x] značí celou část z x). Tj. ukažte, že jakkoliv obarvíme hrany úplného grafu s [e.k!]+1 vrcholy pomocí k barev, vždy dostaneme jednobarevný trojúhelník. Také dokažte, že pro k = 2 a 3 nastává rovnost.
2) Obarvíme hrany úplného grafu K_n (n >= 3) dvěma barvami. Dokažte, že existuje hamiltonovská kružnice, která je buď jednobarevná, nebo sestává ze dvou jednobarevných úseků.
3+4) Obarvíme body v rovině dvěma barvami. a) Dokažte, že nemusí existovat jednobarevný rovnostranný trojúhelník se stranou dělky jedna. b) Dokažte, že naproti tomu musí existovat jednobarevný trojúhelník se stranami odmocnina ze 2, odmocnina z 6, pi. Protože je úložka (zvláště část b) trochu těžší, rozdělíme ji do dvou částí.
a) Dokažte, že lze vybrat neklesající podposloupnost délky n. Tj. že existuje 1 <= a1 < a2 < ... < an <= m, že fa1 <= fa2 <= ... fan.
b) Dokažte, že pro m=2n-1-1 to už neplatí.
Tip: zkuste napřed b-čko. Jednak je lehčí, jednak třeba něco napoví.
6) Rozkladem přirozeného čísla budeme rozumět jeho zápis jako součet (libovolného počtu) přirozených čísel, přičemž nám nezáleží na pořadí. Kupříkladu 3 má tři rozklady: 3, 2+1 a 1+1+1.
Dokažte, že rozkladů čísla n na nejvýše k sčítanců je přesně tolik, kolik je rozkladů čísla n na libovolný počet sčítanců, z nichž každý je nejvýše roven k.
7) Pokud je $G$ rovinný 4-regulární graf, pak lze jeho hrany orientovat tak, že se u každého vrcholu pravidelně střídají hrany dovnitř a hrany ven---tj. dvě protilehlé jdou dovnitř, druhé dvě protilehlé ven.